Teoría de cuerdas bosónicas

Se puede decir ^{[ 2 ]} que la teoría de cuerdas bosónicas está definida por la cuantización de la integral de camino de la acción de Polyakov :

${\displaystyle I_{0}[g,X]={\frac {T}{8\pi }}\int _{M}d^{2}\xi {\sqrt {g}}g^{mn}\partial _{m}x^{\mu }\partial _{n}x^{\nu }G_{\mu \nu }(x)}$

${\displaystyle x^{\mu }(\xi )}$es el campo en la hoja de mundo que describe la incrustación más grande de la cuerda en el espaciotiempo 25 +1; en la formulación de Polyakov,${\displaystyle g}$no debe entenderse como la métrica inducida por la incrustación, sino como un campo dinámico independiente.${\displaystyle G}$es la métrica en el espaciotiempo objetivo, que generalmente se toma como la métrica de Minkowski en la teoría perturbativa. Bajo una rotación de Wick , esto se convierte en una métrica euclidiana.${\displaystyle G_{\mu \nu }=\delta _ {\mu \nu }}$. M es la hoja de mundo como una variedad topológica parametrizada por el${\displaystyle \xi }$coordenadas.${\displaystyle T}$es la tensión de la cuerda y está relacionada con la pendiente de Regge como${\displaystyle T={\frac {1}{2\pi \alpha '}}}$.

${\displaystyle I_{0}}$posee difeomorfismo e invariancia de Weyl . La simetría de Weyl se rompe al cuantizarse ( anomalía conforme ) y, por lo tanto, esta acción debe complementarse con un contra-término, junto con un hipotético término puramente topológico, proporcional a la característica de Euler :

${\displaystyle I=I_{0}+\lambda \chi (M)+\mu _{0}^{2}\int _{M}d^{2}\xi {\sqrt {g}}}$

La ruptura explícita de la invariancia de Weyl por el contra-término puede cancelarse en la dimensión crítica 26.

Las cantidades físicas se construyen a partir de la función de partición (euclidiana) y la función de N puntos :

${\displaystyle Z=\sum _{h=0}^{\infty }\int {\frac {{\mathcal {D}}g_{mn}{\mathcal {D}}X^{\mu }}{\mathcal {N}}}\exp(-I[g,X])}$

${\displaystyle \left\langle V_{i_{1}}(k_{1}^{\mu })\cdots V_{i_{p}}(k_{p}^{\mu })\right\rangle =\sum _ {h=0}^{\infty }\int {\frac {{\mathcal {D}}g_{mn}{\mathcal {D}}X^{\mu }}{\mathcal {N}}}\exp(-I[g,X])V_{i_{1}}(k_{1}^{\mu })\cdots V_{i_{p}}(k_{p}^{\mu })}$

La suma discreta es una suma sobre topologías posibles, que para cuerdas cerradas orientables bosónicas euclidianas son superficies riemannianas orientables compactas y, por lo tanto, se identifican mediante un género.${\displaystyle h}$Un factor de normalización${\displaystyle {\mathcal {N}}}$se introduce para compensar el sobreconteo de las simetrías. Mientras que el cálculo de la función de partición corresponde a la constante cosmológica , la función de N puntos, incluyendo${\displaystyle p}$Los operadores de vértice describen la amplitud de dispersión de las cuerdas.

El grupo de simetría de la acción reduce drásticamente el espacio de integración a una variedad de dimensión finita.${\displaystyle g}$La integral de trayectoria en la función de partición es a priori una suma sobre posibles estructuras riemannianas; sin embargo, cocientear con respecto a las transformaciones de Weyl nos permite considerar únicamente estructuras conformes , es decir, clases de equivalencia de métricas bajo las identificaciones de métricas relacionadas por

${\displaystyle g'(\xi )=e^{\sigma (\xi )}g(\xi )}$

Dado que la superficie de mundo es bidimensional, existe una correspondencia biunívoca entre estructuras conformes y estructuras complejas . Aún es necesario eliminar los difeomorfismos mediante cocientes. Esto nos deja con una integración sobre el espacio de todas las posibles estructuras complejas módulo difeomorfismos, que es simplemente el espacio de módulos de la superficie topológica dada, y que de hecho es una variedad compleja de dimensión finita . El problema fundamental de las cuerdas bosónicas perturbativas se convierte, por lo tanto, en la parametrización del espacio de módulos, que no es trivial para el género${\displaystyle h\geq 4}$.

h = 1

El género 1 es el toro, y corresponde al nivel de un bucle . La función de partición es:

${\displaystyle Z_{1}=\int _{{\mathcal {M}}_{1}}{\frac {d^{2}\tau }{8\pi ^{2}\tau _{2}^{2}}}{\frac {1}{(4\pi ^{2}\tau _{2})^{12}}}\left|\eta (\tau )\right|^{-48}}$

${\displaystyle \tau }$es un número complejo con parte imaginaria positiva${\displaystyle \tau _{2}}$;${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$, holomorfo al espacio de módulos del toro, es cualquier dominio fundamental para el grupo modular.${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )}$actuando sobre el semiplano superior , por ejemplo${\displaystyle \left\{\tau _{2}>0,|\tau |^{2}>1,-{\frac {1}{2}}<\tau _{1}<{\frac {1}{2}}\right\}}$.${\displaystyle \eta (\tau )}$es la función eta de Dedekind . El integrando es, por supuesto, invariante bajo el grupo modular: la medida${\displaystyle {\frac {d^{2}\tau }{\tau _{2}^{2}}}}$es simplemente la métrica de Poincaré que tiene PSL(2,R) como grupo de isometría; el resto del integrando también es invariante en virtud de${\displaystyle \tau _{2}\rightarrow |c\tau +d|^{2}\tau _{2}}$y el hecho de que${\displaystyle \eta (\tau )}$es una forma modular de peso 1/2.

Esta integral diverge. Esto se debe a la presencia del taquión y está relacionado con la inestabilidad del vacío perturbativo.