Teorema de Pitágoras

En una demostración de reordenamiento, se utilizan dos cuadrados cuyos lados tienen una medida de${\displaystyle a+b}$y que contienen cuatro triángulos rectángulos cuyos lados son a , b y c , siendo la hipotenusa c . En el cuadrado del lado derecho, los triángulos se colocan de manera que las esquinas del cuadrado correspondan a las esquinas del ángulo recto en los triángulos, formando un cuadrado en el centro cuyos lados tienen longitud c. Cada cuadrado exterior tiene un área de (a + b)² así como 2ab + c², donde 2ab representa el área total de los cuatro ^triángulos . Dentro del cuadrado grande ^del lado izquierdo, los cuatro triángulos se mueven para formar dos rectángulos semejantes con lados de longitud a y b . Estos rectángulos en su nueva posición han delimitado dos nuevos cuadrados, uno con lado de longitud a se forma en la esquina inferior izquierda, y otro cuadrado de lado de longitud b se forma en la esquina superior derecha. En esta nueva posición, este lado izquierdo ahora tiene un cuadrado de área ( a + b ) ^² así como 2ab + a² ⁺ b² ^. Dado que ambos cuadrados tienen un área de ( a + b ) ^{², se} deduce que las demás medidas del área de los cuadrados también son iguales, de modo que ^{2ab + c² = 2ab + a²} + b² . Al restar el área de los cuatro triángulos ^de ambos lados de la ecuación, lo que ^queda es a² ⁺ b² = ^{c² . [ 27} ]

En otra demostración, los rectángulos en la segunda caja también se pueden colocar de manera que ambos tengan una esquina que corresponda a esquinas consecutivas del cuadrado. De esta forma, también forman dos cajas, esta vez en esquinas consecutivas, con áreas a ² y b ² que nuevamente darán como resultado un segundo cuadrado con un área de 2 ab + a ² + b ² .

El matemático inglés Sir Thomas Heath ofrece esta demostración en su comentario sobre la Proposición I.47 de los Elementos de Euclides , y menciona las propuestas de los matemáticos alemanes Carl Anton Bretschneider y Hermann Hankel de que Pitágoras pudo haber conocido esta demostración. El propio Heath favorece una propuesta diferente para una demostración pitagórica, pero reconoce desde el comienzo de su análisis que «la literatura griega que poseemos perteneciente a los primeros cinco siglos posteriores a Pitágoras no contiene ninguna afirmación que le atribuya este ni ningún otro gran descubrimiento geométrico en particular». ^{[ 28 ]} Estudios recientes han generado crecientes dudas sobre cualquier papel de Pitágoras como creador de las matemáticas, aunque el debate al respecto continúa. ^{[ 29 ]}

El teorema se puede demostrar algebraicamente utilizando cuatro copias del mismo triángulo dispuestas simétricamente alrededor de un cuadrado de lado c , como se muestra en la parte inferior del diagrama. ^{[ 30 ]} Esto da como resultado un cuadrado más grande, de lado a + b y área ( a + b ) ² . Los cuatro triángulos y el cuadrado de lado c deben tener la misma área que el cuadrado más grande, $${\displaystyle (b+a)^{2}=c^{2}+4{\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab,}$$ donación $${\displaystyle c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=b^{2}+2ab+a^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}.}$$

Una demostración similar utiliza cuatro copias de un triángulo rectángulo con lados a , b y c , dispuestas dentro de un cuadrado con lado c como en la mitad superior del diagrama. ^{[ 31 ]} Los triángulos son semejantes con área ⁠ 1 / 2 ⁠ ab , mientras que el cuadrado pequeño tiene lado b − a y área ( b − a ) ² . Por lo tanto, el área del cuadrado grande es $${\displaystyle (ba)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=(ba)^{2}+2ab=b^{2}-2ab+a^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}.}$$

Pero este es un cuadrado con lado c y área c² , por lo ^tanto$${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}.}$$

Esta demostración se basa en la proporcionalidad de los lados de tres triángulos semejantes , es decir, en el hecho de que la razón entre dos lados correspondientes de triángulos semejantes es la misma independientemente del tamaño de los triángulos.

Sea ABC un triángulo rectángulo, con el ángulo recto ubicado en C , como se muestra en la figura. Trazamos la altura desde el punto C y llamamos H a su intersección con el lado AB . El punto H divide la longitud de la hipotenusa c en partes d y e . El nuevo triángulo, ACH , es similar al triángulo ABC , porque ambos tienen un ángulo recto (por definición de la altura) y comparten el ángulo en A , lo que significa que el tercer ángulo también será el mismo en ambos triángulos, marcado como θ en la figura. Por un razonamiento similar, el triángulo CBH también es similar a ABC . La prueba de semejanza de los triángulos requiere el postulado del triángulo : La suma de los ángulos de un triángulo es dos ángulos rectos, y es equivalente al postulado de las paralelas . La semejanza de los triángulos conduce a la igualdad de las razones de los lados correspondientes: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {BC}{AB}}&={\frac {BH}{BC}}\\{\frac {AC}{AB}}&={\frac {AH}{AC}}.\end{aligned}}}$$

El primer resultado iguala los cosenos de los ángulos θ , mientras que el segundo resultado iguala sus senos .

Estas razones se pueden escribir como $${\displaystyle {\begin{aligned}BC^{2}&=AB\times BH,\\AC^{2}&=AB\times AH.\end{aligned}}}$$ La suma de estas dos igualdades da como resultado: $${\displaystyle {\begin{aligned}BC^{2}+AC^{2}&=AB\times BH+AB\times AH\\&=AB(AH+BH),\end{aligned}}}$$ que, tras simplificarse, demuestra el teorema de Pitágoras: $${\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}.}$$

El papel de esta demostración en la historia es objeto de mucha especulación. La pregunta fundamental es por qué Euclides no utilizó esta demostración, sino que inventó otra. Una conjetura es que la demostración mediante triángulos semejantes implicaba una teoría de las proporciones, un tema que no se trató hasta más adelante en los Elementos , y que la teoría de las proporciones necesitaba un mayor desarrollo en aquel momento. ^{[ 33 ]}

En una demostración por disección, a veces atribuida a Albert Einstein , ^{[ 34 ]} no es necesario mover las piezas. La disección consiste en trazar una perpendicular desde el vértice del ángulo recto del triángulo hasta la hipotenusa, dividiendo así el triángulo en dos partes. Estas dos partes tienen la misma forma que el triángulo rectángulo original, y sus hipotenusas son los catetos del triángulo original; la suma de sus áreas es igual a la del triángulo original. Dado que la razón entre el área de un triángulo rectángulo y el cuadrado de su hipotenusa es la misma para triángulos semejantes, la relación entre las áreas de los tres triángulos también se cumple para los cuadrados de los lados del triángulo mayor. En otras palabras, como el área del triángulo original es la suma de las áreas de los dos triángulos más pequeños, y como al escalar un triángulo el área cambia por el cuadrado del factor de escala , el cuadrado de la hipotenusa original es la suma de los cuadrados de las hipotenusas más cortas. ^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}

En resumen, así es como se desarrolla la demostración en los Elementos de Euclides (Proposición 47 del Libro I). El cuadrado grande se divide en un rectángulo izquierdo y uno derecho. Se construye un triángulo con la mitad del área del rectángulo izquierdo. Luego, se construye otro triángulo con la mitad del área del cuadrado situado más a la izquierda. Se demuestra que estos dos triángulos son congruentes , lo que prueba que este cuadrado tiene la misma área que el rectángulo izquierdo. Este argumento se repite de forma similar para el rectángulo derecho y el cuadrado restante. Al unir los dos rectángulos para reformar el cuadrado sobre la hipotenusa, su área es igual a la suma de las áreas de los otros dos cuadrados. A continuación se detallan los pasos.

Sean A , B y C los vértices de un triángulo rectángulo con ángulo recto en A. Tracemos una perpendicular desde A al cateto opuesto a la hipotenusa, formando un cuadrado sobre la hipotenusa. Esta línea divide el cuadrado sobre la hipotenusa en dos rectángulos, cada uno con la misma área que uno de los cuadrados sobre los catetos.

Para la demostración formal, necesitamos cuatro lemas elementales :

1. Si dos triángulos tienen dos lados de uno iguales a dos lados del otro, cada uno con cada uno, y los ángulos incluidos por esos lados son iguales, entonces los triángulos son congruentes ( lado-ángulo-lado ).
2. El área de un triángulo es la mitad del área de cualquier paralelogramo que tenga la misma base y la misma altura.
3. El área de un rectángulo es igual al producto de dos lados adyacentes.
4. El área de un cuadrado es igual al producto de dos de sus lados (se deduce del punto 3).

A continuación, cada cuadrado superior está relacionado con un triángulo congruente con otro triángulo relacionado a su vez con uno de los dos rectángulos que forman el cuadrado inferior. ^{[ 37 ]}

La demostración es la siguiente:

1. Sea ACB un triángulo rectángulo con ángulo recto CAB .
2. En cada uno de los lados BC , AB y CA , se dibujan cuadrados, CBDE , BAGF y ACIH , en ese orden. La construcción de los cuadrados requiere los teoremas inmediatamente anteriores de Euclides y depende del postulado de las paralelas. ^{[ 38 ]}
3. Desde A , traza una línea paralela a BD y CE . Esta línea intersecará perpendicularmente a BC y DE en K y L , respectivamente.
4. Une CF y AD para formar los triángulos BCF y BDA .
5. Los ángulos CAB y BAG son ambos ángulos rectos; por lo tanto , C , A y G son colineales .
6. Los ángulos CBD y FBA son ambos ángulos rectos; por lo tanto, el ángulo ABD es igual al ángulo FBC , ya que ambos son la suma de un ángulo recto y el ángulo ABC .
7. Dado que AB es igual a FB , BD es igual a BC y el ángulo ABD es igual al ángulo FBC , el triángulo ABD debe ser congruente con el triángulo FBC .
8. Dado que A - K - L es una línea recta paralela a BD , entonces el rectángulo BDLK tiene el doble de área que el triángulo ABD porque comparten la base BD y tienen la misma altura BK , es decir, una línea normal a su base común que conecta las líneas paralelas BD y AL . (lema 2)
9. Dado que C es colineal con A y G , y esta línea es paralela a FB , entonces el cuadrado BAGF debe tener el doble de área que el triángulo FBC .
10. Por lo tanto, el rectángulo BDLK debe tener la misma área que el cuadrado BAGF = AB ² .
11. Aplicando los pasos 3 a 10 al otro lado de la figura, se puede demostrar de manera similar que el rectángulo CKLE debe tener la misma área que el cuadrado ACIH = AC ² .
12. Sumando estos dos resultados , AB² + AC² = BD × BK + KL ^{× KC}
13. Dado que BD = KL , BD × BK + KL × KC = BD ( BK + KC ) = BD × BC
14. Por lo tanto, AB ² + AC ² = BC ² , ya que CBDE es un cuadrado ( BD × BC = BC ² ) .

Esta demostración, que aparece en los Elementos de Euclides como la Proposición  47 del Libro  1, demuestra que el área del cuadrado sobre la hipotenusa es la suma de las áreas de los otros dos cuadrados. ^{[ 39 ] [ 40 ]} Esto es bastante distinto de la demostración por semejanza de triángulos, que se conjetura que es la demostración que usó Pitágoras. ^{[ 41 ] [ b ]}

Otro ejemplo de reordenamiento se muestra en la animación central. Se forma un cuadrado grande con área c² a partir de cuatro triángulos rectángulos idénticos de lados a , b y c , que rodean un cuadrado central pequeño. Luego, se forman dos rectángulos de lados ^a y b moviendo los triángulos. Al combinar el cuadrado más pequeño con estos rectángulos, se obtienen dos cuadrados de áreas ^{a² y} b² , que deben tener la misma área que el cuadrado grande inicial. ^{[ 42 ]}

La tercera imagen, la de la derecha, también lo demuestra. Los dos cuadrados superiores se dividen, como se muestra con el sombreado azul y verde, en piezas que, al reorganizarse, pueden encajar en el cuadrado inferior sobre la hipotenusa; o, a la inversa, el cuadrado grande puede dividirse, como se muestra, en piezas que llenan los otros dos. Esta forma de cortar una figura en piezas y reorganizarlas para obtener otra figura se llama disección . Esto demuestra que el área del cuadrado grande es igual a la de los dos cuadrados más pequeños. ^{[ 43 ]}

Como se muestra en la animación adjunta, las transformaciones de corte y las traslaciones que conservan el área pueden convertir los cuadrados de los lados adyacentes al ángulo recto en el cuadrado de la hipotenusa, cubriéndolo exactamente. ^{[ 44 ]} Cada corte deja la base y la altura sin cambios, por lo que el área también permanece inalterada. Las traslaciones también dejan el área sin cambios, ya que no alteran las formas en absoluto. Cada cuadrado se corta primero en un paralelogramo y luego en un rectángulo que se puede trasladar a una sección del cuadrado de la hipotenusa.

Una demostración relacionada del presidente estadounidense James A. Garfield fue publicada antes de que fuera elegido presidente; mientras era representante de los Estados Unidos . ^{[ 45 ] [ 46 ] [ 47 ]} En lugar de un cuadrado, utiliza un trapecio , que puede construirse a partir del cuadrado en la segunda de las demostraciones anteriores bisecando a lo largo de una diagonal del cuadrado interior, para obtener el trapecio como se muestra en el diagrama. El área del trapecio se puede calcular como la mitad del área del cuadrado, es decir $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(b+a)^{2}.}$$

El cuadrado interior se divide igualmente por la mitad, y solo hay dos triángulos, por lo que la demostración procede como se indicó anteriormente, excepto por un factor de ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$⁠ , que se elimina multiplicando por dos para obtener el resultado.

Se puede llegar al teorema de Pitágoras estudiando cómo los cambios en un lado producen un cambio en la hipotenusa y empleando cálculo . ^{[ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]}

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo, como se muestra en la parte superior del diagrama, con BC como hipotenusa. Asimismo, las longitudes de los triángulos se miden como se indica, con la hipotenusa de longitud y , el cateto AC de longitud x y el cateto AB de longitud a , como se observa en la parte inferior del diagrama.

Si x aumenta en una pequeña cantidad dx extendiendo ligeramente el lado AC hasta D , entonces y también aumenta en dy . Estos forman dos lados de un triángulo, CDE , que (con E elegido de modo que CE sea perpendicular a la hipotenusa) es un triángulo rectángulo aproximadamente similar a ABC . Por lo tanto, las razones de sus lados deben ser las mismas, es decir: $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{y}}.}$$ Esto se puede reescribir como y dy = x dx , que es una ecuación diferencial que se puede resolver mediante integración directa: $${\displaystyle \int y\,dy=\int x\,dx,}$$ donación $${\displaystyle y^{2}=x^{2}+C.}$$ La constante se puede deducir de x = 0 , y = a para obtener la ecuación. $${\displaystyle y^{2}=x^{2}+a^{2}.}$$ Esta es más una demostración intuitiva que formal: se puede hacer más rigurosa si se utilizan límites apropiados en lugar de dx y dy .

Una terna pitagórica tiene tres enteros positivos a , b y c , tales que a² ⁺ b² = c² ^. En otras palabras, una terna pitagórica representa las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo donde los tres lados tienen longitudes enteras. [ ^{2 ] Dicha terna} se escribe comúnmente ( a , b , c ) . Algunos ejemplos conocidos son (3, 4, 5) y (5, 12, 13) .

Una terna pitagórica primitiva es aquella en la que a , b y c son coprimos (el máximo común divisor de a , b y c es 1).

La siguiente es una lista de ternas pitagóricas primitivas con valores menores a 100:

Hay muchas fórmulas para generar ternas pitagóricas . De estas, la fórmula de Euclides es la más conocida: dados enteros positivos arbitrarios m y n , la fórmula establece que los enteros $${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2}}$$ forma una terna pitagórica.

Dado un triángulo rectángulo con lados${\displaystyle a,b,c}$y la altura d (una línea desde el ángulo recto y perpendicular a la hipotenusa c ). El teorema de Pitágoras establece que: $${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$$ mientras que el teorema inverso de Pitágoras relaciona los dos lados a, b con la altura d , ^{[ 57 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{d^{2}}}}$$ La ecuación se puede transformar en: $${\displaystyle {\frac {1}{(xz)^{2}}}+{\frac {1}{(yz)^{2}}}={\frac {1}{(xy)^{2}}}}$$ donde x² + y² = ^z² para cualesquiera números reales distintos ^de cero x, y, z . Si a, b, d son enteros , la solución más pequeña a > b > d ^es entonces $${\displaystyle {\frac {1}{20^{2}}}+{\frac {1}{15^{2}}}={\frac {1}{12^{2}}}}$$ utilizando la terna pitagórica más pequeña 3, 4, 5. El teorema de Pitágoras recíproco es un caso especial de la ecuación óptica.$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}}$$ donde los denominadores son cuadrados y también para un triángulo heptagonal cuyos lados p, q, r son números cuadrados.

Una de las consecuencias del teorema de Pitágoras es que se pueden construir segmentos de recta cuyas longitudes son inconmensurables (es decir, cuya razón no es un número racional ) utilizando una regla y un compás . El teorema de Pitágoras permite la construcción de longitudes inconmensurables porque la hipotenusa de un triángulo está relacionada con los catetos mediante la raíz cuadrada .

La figura de la derecha muestra cómo construir segmentos de línea cuyas longitudes están en proporción a la raíz cuadrada de cualquier entero positivo. ^{[ 58 ]} Cada triángulo tiene un lado (etiquetado como "1") que es la unidad de medida elegida. En cada triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras establece la longitud de la hipotenusa en términos de esta unidad. Si una hipotenusa está relacionada con la unidad por la raíz cuadrada de un entero positivo que no es un cuadrado perfecto, es una realización de una longitud inconmensurable con la unidad, como por ejemplo :${\displaystyle {\sqrt {2}}}$,​​${\displaystyle {\sqrt {3}}}$,​​${\displaystyle {\sqrt {5}}}$⁠ . Para más detalles, consulte Números irracionales cuadráticos .

Las longitudes inconmensurables entraban en conflicto con el concepto de la escuela pitagórica de que los números solo eran enteros. La escuela pitagórica trataba las proporciones mediante la comparación de múltiplos enteros de una subunidad común. ^{[ 59 ]} Según una leyenda, Hipaso de Metaponto ( c. 470  a. C. ) se ahogó en el mar por dar a conocer la existencia de lo irracional o inconmensurable. ^{[ 60 ]} Kurt von Fritz escribió un análisis detallado de las contribuciones de Hipaso. ^{[ 61 ]}

Para cualquier número complejo$${\displaystyle z=x+iy,}$$ El valor absoluto o módulo viene dado por $${\displaystyle r=|z|={\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}.}$$ Así pues, las tres cantidades, r , x e y, están relacionadas por la ecuación pitagórica, $${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}.}$$ Nótese que r se define como un número positivo o cero, pero x e y pueden ser negativos además de positivos. Geométricamente, r es la distancia de z desde cero o el origen O en el plano complejo .

Esto se puede generalizar para hallar la distancia entre dos puntos, z ₁ y z ₂ , por ejemplo. La distancia requerida viene dada por $${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}},}$$ así que de nuevo están relacionados por una versión de la ecuación pitagórica, $${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}.}$$

La fórmula de la distancia en coordenadas cartesianas se deriva del teorema de Pitágoras. ^{[ 62 ]} Si ( x ₁ , y ₁ ) y ( x ₂ , y ₂ ) son puntos en el plano, entonces la distancia entre ellos, también llamada distancia euclidiana , viene dada por

$${\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.}$$

De manera más general, en el espacio euclidiano n-dimensional , la distancia euclidiana entre dos puntos,${\displaystyle A=(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n})}$y${\displaystyle B=(b_{1},\,b_{2},\,\dots ,\,b_{n})}$, se define, por generalización del teorema de Pitágoras, como:

$${\displaystyle {\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$$

Si en lugar de la distancia euclidiana se utiliza el cuadrado de este valor (la distancia euclidiana al cuadrado , o SED), la ecuación resultante evita las raíces cuadradas y es simplemente una suma de las SED de las coordenadas:

$${\displaystyle (a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}.}$$

La forma cuadrática es una función suave y convexa de ambos puntos, y se utiliza ampliamente en la teoría de la optimización y la estadística , formando la base de los mínimos cuadrados .

Si no se utilizan coordenadas cartesianas, por ejemplo, si se emplean coordenadas polares en dos dimensiones o, en términos más generales, si se utilizan coordenadas curvilíneas , las fórmulas que expresan la distancia euclidiana son más complejas que el teorema de Pitágoras, pero pueden derivarse de él. Un ejemplo típico donde la distancia en línea recta entre dos puntos se convierte a coordenadas curvilíneas se encuentra en las aplicaciones de los polinomios de Legendre en física . Las fórmulas pueden obtenerse utilizando el teorema de Pitágoras con las ecuaciones que relacionan las coordenadas curvilíneas con las cartesianas. Por ejemplo, las coordenadas polares ( r , θ ) pueden introducirse como:

$${\displaystyle x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta .}$$

Entonces, dos puntos con ubicaciones ( r ₁ , θ ₁ ) y ( r ₂ , θ ₂ ) están separados por una distancia s :

$${\displaystyle s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.}$$ Al realizar los cuadrados y combinar los términos, la fórmula pitagórica para la distancia en coordenadas cartesianas produce la separación en coordenadas polares como: $${\displaystyle {\begin{aligned}s^{2}&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\left(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \Delta \theta ,\end{aligned}}}$$ utilizando las fórmulas trigonométricas de producto a suma . Esta fórmula es la ley de los cosenos , a veces llamada teorema generalizado de Pitágoras. ^{[ 63 ]} A partir de este resultado, para el caso en que los radios a las dos ubicaciones son perpendiculares, el ángulo encerrado Δ θ = π /2, y se recupera la forma correspondiente al teorema de Pitágoras:${\displaystyle s^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}.}$Por lo tanto, el teorema de Pitágoras, válido para triángulos rectángulos, es un caso especial de la ley más general de los cosenos, válida para triángulos arbitrarios.

En un triángulo rectángulo con catetos a , b e hipotenusa c , la trigonometría determina el seno y el coseno del ángulo θ entre el cateto a y la hipotenusa como: $${\displaystyle \sin \theta ={\frac {b}{c}},\quad \cos \theta ={\frac {a}{c}}.}$$

De ello se deduce: $${\displaystyle {\cos }^{2}\theta +{\sin }^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1,}$$ donde el último paso aplica el teorema de Pitágoras. Esta relación entre seno y coseno se denomina a veces identidad trigonométrica pitagórica fundamental. ^{[ 64 ]} En triángulos semejantes, las razones de los lados son las mismas independientemente del tamaño de los triángulos y dependen de los ángulos. En consecuencia, en la figura, el triángulo con hipotenusa de tamaño unitario tiene un lado opuesto de tamaño sen θ y un lado adyacente de tamaño cos θ en unidades de la hipotenusa.

El teorema de Pitágoras relaciona el producto vectorial y el producto escalar de manera similar: ^{[ 65 ]}$${\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}.}$$

Esto se puede observar en las definiciones del producto vectorial y del producto escalar, ya que $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=ab\,\mathbf {n} \sin {\theta }\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=ab\cos {\theta },\end{aligned}}}$$ donde n es un vector unitario normal tanto a a como a b . La relación se deduce de estas definiciones y de la identidad trigonométrica pitagórica.

Esto también se puede utilizar para definir el producto vectorial. Reordenando se obtiene la siguiente ecuación $${\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.}$$

Esto puede considerarse una condición del producto vectorial y, por lo tanto, parte de su definición, por ejemplo, en siete dimensiones . ^{[ 66 ] [ 67 ]}

Si se asume que los primeros cuatro axiomas de la geometría euclidiana son verdaderos, entonces el teorema de Pitágoras es equivalente al quinto. Es decir, el quinto postulado de Euclides implica el teorema de Pitágoras y viceversa.

El teorema de Pitágoras se generaliza más allá de las áreas de cuadrados de tres lados a cualquier figura similar . Esto era conocido por Hipócrates de Quíos en el siglo V a. C., ^{[ 68 ]} y fue incluido por Euclides en sus Elementos : ^{[ 69 ]}

Si se construyen figuras semejantes (véase geometría euclidiana ) con lados correspondientes sobre los lados de un triángulo rectángulo, entonces la suma de las áreas de las que se encuentran en los dos lados más pequeños es igual al área de la que se encuentra en el lado más grande.

Esta extensión supone que los lados del triángulo original son los lados correspondientes de las tres figuras congruentes (de modo que las razones comunes de los lados entre las figuras semejantes son a : b : c ). ^{[ 70 ]} Si bien la demostración de Euclides solo se aplicaba a polígonos convexos, el teorema también se aplica a polígonos cóncavos e incluso a figuras semejantes que tienen límites curvos (pero aún así, parte del límite de una figura es el lado del triángulo original). ^{[ 70 ]}

La idea básica detrás de esta generalización es que el área de una figura plana es proporcional al cuadrado de cualquier dimensión lineal, y en particular es proporcional al cuadrado de la longitud de cualquier lado. Por lo tanto, si se construyen figuras semejantes con áreas A , B y C sobre lados con longitudes correspondientes a , b y c, entonces: $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\\&\quad \implies A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C.\end{aligned}}}$$

Pero , por el teorema de Pitágoras, ^a² + b² = c² ^, por lo tanto A ⁺ B = C.

Por el contrario, si podemos demostrar que A + B = C para tres figuras semejantes sin usar el teorema de Pitágoras, entonces podemos trabajar a la inversa para construir una demostración del teorema. Por ejemplo, el triángulo central inicial se puede replicar y usar como un triángulo C sobre su hipotenusa, y dos triángulos rectángulos semejantes ( A y B ) se construyen sobre los otros dos lados, dividiendo el triángulo central por su altura . La suma de las áreas de los dos triángulos más pequeños es ^, por lo tanto, igual a la del tercero, de modo que A + B = C , y revirtiendo la lógica anterior se llega al teorema de Pitágoras a² + b² = ^c² . ( Véase también §  Demostración por disección y ^escalado ) .

El teorema de Pitágoras es un caso especial del teorema más general que relaciona las longitudes de los lados de cualquier triángulo, la ley de los cosenos, que establece que $${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2}}$$ dónde${\displaystyle \theta }$es el ángulo entre los lados${\displaystyle a}$y​${\displaystyle b}$⁠ . ^{[ 71 ]}

Cuando${\displaystyle \theta }$es${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$radianes o 90°, entonces${\displaystyle \cos {\theta }=0}$⁠ , y la fórmula se reduce al teorema de Pitágoras habitual.

En cualquier ángulo seleccionado de un triángulo general de lados a , b , c , inscriba un triángulo isósceles tal que los ángulos iguales en su base θ sean iguales al ángulo seleccionado. Supongamos que el ángulo seleccionado θ es opuesto al lado etiquetado como c . Al inscribir el triángulo isósceles se forma el triángulo CAD con ángulo θ opuesto al lado b y con lado r a lo largo de c . Se forma un segundo triángulo con ángulo θ opuesto al lado a y un lado de longitud s a lo largo de c , como se muestra en la figura. Thābit ibn Qurra afirmó que los lados de los tres triángulos estaban relacionados como: ^{[ 73 ] [ 74 ]}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c(r+s).}$$ A medida que el ángulo θ se aproxima a π /2, la base del triángulo isósceles se estrecha y las longitudes r y s se superponen cada vez menos. Cuando θ = π /2 , ADB se convierte en un triángulo rectángulo, r + s = c , y se recupera el teorema de Pitágoras original.

Una demostración observa que el triángulo ABC tiene los mismos ángulos que el triángulo CAD , pero en orden opuesto. (Los dos triángulos comparten el ángulo en el vértice A , ambos contienen el ángulo θ , y por lo tanto también tienen el mismo tercer ángulo por el postulado del triángulo ). En consecuencia, ABC es similar a la reflexión de CAD , el triángulo DAC en el panel inferior. Tomando la razón de los lados opuesto y adyacente a θ , $${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {b}{r}}.}$$ De igual modo, para la reflexión del otro triángulo, $${\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{s}}.}$$Simplificando las fracciones y sumando estas dos relaciones: $${\displaystyle cs+cr=a^{2}+b^{2},}$$ el resultado requerido.

El teorema sigue siendo válido si el ángulo θ es obtuso, de modo que las longitudes r y s no se superponen.

El teorema del área de Pappus es una generalización adicional que se aplica a triángulos que no son rectángulos, utilizando paralelogramos en los tres lados en lugar de cuadrados (los cuadrados son un caso especial, por supuesto). La figura superior muestra que, para un triángulo escaleno, el área del paralelogramo en el lado más largo es la suma de las áreas de los paralelogramos en los otros dos lados, siempre que el paralelogramo en el lado largo se construya como se indica (las dimensiones marcadas con flechas son las mismas y determinan los lados del paralelogramo inferior). Esta sustitución de cuadrados por paralelogramos guarda un claro parecido con el teorema original de Pitágoras y fue considerada una generalización por Pappus de Alejandría en el año 4  d. C. ^{[ 75 ] [ 76 ]}

La figura inferior muestra los elementos de la demostración. Concéntrese en el lado izquierdo de la figura. El paralelogramo verde de la izquierda tiene la misma área que la porción azul izquierda del paralelogramo inferior, ya que ambos tienen la misma base b y altura h . Sin embargo, el paralelogramo verde de la izquierda también tiene la misma área que el paralelogramo verde de la izquierda de la figura superior, porque tienen la misma base (el lado superior izquierdo del triángulo) y la misma altura perpendicular a ese lado del triángulo. Repitiendo el razonamiento para el lado derecho de la figura, el paralelogramo inferior tiene la misma área que la suma de los dos paralelogramos verdes.

El teorema de Ptolomeo establece que cuando un cuadrilátero puede inscribirse en un círculo (es decir, cuando es un cuadrilátero cíclico ), el producto de las longitudes de un par de lados opuestos más el producto de las longitudes del otro par de lados opuestos es igual al producto de las longitudes de las diagonales. Esto se reduce al teorema de Pitágoras cuando el cuadrilátero es un rectángulo. ^{[ 77 ]} El teorema de Ptolomeo también puede utilizarse para demostrar la ley de los cosenos. ^{[ 78 ]}

En términos de geometría sólida , el teorema de Pitágoras se puede aplicar a tres dimensiones de la siguiente manera. Consideremos el cuboide que se muestra en la figura. La longitud de la diagonal de la cara AC se obtiene a partir del teorema de Pitágoras como: $${\displaystyle {\overline {AC}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2},}$$

donde estos tres lados forman un triángulo rectángulo. Usando la diagonal AC y la arista horizontal CD , la longitud de la diagonal del cuerpo AD se obtiene mediante una segunda aplicación del teorema de Pitágoras como: $${\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2},}$$ o bien, hacerlo todo en un solo paso: $${\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}.}$$

Este resultado es la expresión tridimensional para la magnitud de un vector v (la diagonal AD ) en términos de sus componentes ortogonales { v _k } (los tres lados mutuamente perpendiculares): $${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}=\sum _ {k=1}^{3}\|\mathbf {v} _ {k}\|^{2}.}$$

Esta formulación de un solo paso puede considerarse una generalización del teorema de Pitágoras a dimensiones superiores. Sin embargo, este resultado no es más que la aplicación repetida del teorema de Pitágoras original a una sucesión de triángulos rectángulos en una secuencia de planos ortogonales.

Una generalización sustancial del teorema de Pitágoras a tres dimensiones es el teorema de De Gua , que recibe su nombre de Jean Paul de Gua de Malves : Si un tetraedro tiene un vértice de ángulo recto (como un vértice de un cubo ), entonces el cuadrado del área de la cara opuesta al vértice de ángulo recto es la suma de los cuadrados de las áreas de las otras tres caras. Este resultado puede generalizarse como en el " teorema de Pitágoras n -dimensional": ^{[ 79 ]}

Dejar${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$sean vectores ortogonales en R ⁿ . Consideremos el simplex n- dimensional S con vértices ⁠${\displaystyle 0,x_{1},\ldots ,x_{n}}$⁠ . (Piensa en el simplex ( n − 1) -dimensional con vértices${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$(sin incluir el origen como la "hipotenusa" de S y las caras restantes de dimensión ( n − 1) de S como sus "catetos"). Entonces, el cuadrado del volumen de la hipotenusa de S es la suma de los cuadrados de los volúmenes de los n catetos.

Esta afirmación se ilustra en tres dimensiones mediante el tetraedro de la figura. La "hipotenusa" es la base del tetraedro en la parte posterior de la figura, y los "catetos" son los tres lados que parten del vértice en primer plano. A medida que aumenta la profundidad de la base desde el vértice, aumenta el área de los "catetos", mientras que la de la base permanece fija. El teorema sugiere que cuando esta profundidad alcanza el valor que crea un vértice recto, se aplica la generalización del teorema de Pitágoras. En otras palabras: ^{[ 80 ]}

Dado un simplex n -rectangular n -dimensional, el cuadrado del contenido ( n − 1) de la faceta opuesta al vértice derecho será igual a la suma de los cuadrados de los contenidos ( n − 1) de las facetas restantes.

El teorema de Pitágoras puede generalizarse a espacios con producto interno , ^{[ 81 ]} que son generalizaciones de los conocidos espacios euclidianos bidimensionales y tridimensionales . Por ejemplo, una función puede considerarse como un vector con infinitas componentes en un espacio con producto interno, como en el análisis funcional . ^{[ 82 ]}

En un espacio con producto interno, el concepto de perpendicularidad se reemplaza por el concepto de ortogonalidad : dos vectores v y w son ortogonales si su producto interno es igual a 1.${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle }$es cero. El producto escalar es una generalización del producto escalar de vectores. El producto escalar se denomina producto escalar estándar o producto escalar euclidiano . Sin embargo, son posibles otros productos escalares. ^{[ 83 ]}

El concepto de longitud se reemplaza por el concepto de norma ‖ v ‖ de un vector v , definido como: ^{[ 84 ]}$${\displaystyle \lVert \mathbf {v} \rVert \equiv {\textstyle {\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\,\mathbf {v} \rangle }}{\vphantom {\big |}}}.}$$

En un espacio con producto interno, el teorema de Pitágoras establece que para cualesquiera dos vectores ortogonales v y w se cumple que $${\displaystyle \left\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2}.}$$ Aquí, los vectores v y w son similares a los lados de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa está dada por la suma vectorial v + w . Esta forma del teorema de Pitágoras es consecuencia de las propiedades del producto interno : $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \right\|^{2}&=\langle \mathbf {v+w} ,\ \mathbf {v+w} \rangle \\[3mu]&=\langle \mathbf {v} ,\,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {w} ,\,\mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v,\,w} \rangle +\langle \mathbf {w,\,v} \rangle \\[3mu]&=\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2},\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle \langle \mathbf {v,\,w} \rangle =\langle \mathbf {w,\,v} \rangle =0}$debido a la ortogonalidad.

Una generalización adicional del teorema de Pitágoras en un espacio con producto interno a vectores no ortogonales es la ley del paralelogramo : ^{[ 84 ]}$${\displaystyle 2\|\mathbf {v} \|^{2}+2\|\mathbf {w} \|^{2}=\|\mathbf {v+w} \|^{2}+\|\mathbf {vw} \|^{2},}$$

que dice que el doble de la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales. Cualquier norma que satisfaga esta igualdad es ipso facto una norma correspondiente a un producto interno. ^{[ 84 ]}

La identidad pitagórica puede extenderse a sumas de más de dos vectores ortogonales. Si v ₁ , v ₂ , ..., v _n son vectores ortogonales por pares en un espacio de producto interno, entonces la aplicación del teorema de Pitágoras a pares sucesivos de estos vectores (como se describe para 3 dimensiones en la sección sobre geometría sólida ) da como resultado la ecuación ^{[ 85 ].}$${\displaystyle {\biggl \|}\sum _ {k=1}^{n}\mathbf {v} _ {k}{\biggr \|}^{2}=\sum _ {k=1}^{n}\|\mathbf {v} _ {k}\|^{2}}$$

Otra generalización del teorema de Pitágoras se aplica a conjuntos de objetos medibles según Lebesgue en cualquier número de dimensiones. Específicamente, el cuadrado de la medida de un conjunto de objetos m -dimensionales en uno o más planos m- dimensionales paralelos en el espacio euclidiano n -dimensional es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de las proyecciones ortogonales del/de los objeto(s) sobre todos los subespacios de coordenadas m- dimensionales. ^{[ 86 ]}

En términos matemáticos: $${\displaystyle \mu _{ms}^{2}=\sum _{i=1}^{x}\mu _{mp_{i}}^{2}}$$ dónde:

• ${\displaystyle \mu _{m}}$es una medida en m dimensiones (una longitud en una dimensión, un área en dos dimensiones, un volumen en tres dimensiones, etc.).
• ${\displaystyle s}$es un conjunto de uno o más objetos m- dimensionales no superpuestos en uno o más planos m- dimensionales paralelos en el espacio euclidiano n -dimensional.
• ${\displaystyle \mu _{ms}}$es la medida total (suma) del conjunto de objetos m -dimensionales.
• ${\displaystyle p}$representa una proyección m -dimensional del conjunto original sobre un subespacio de coordenadas ortogonales.
• ${\displaystyle \mu _{mp_{i}}}$es la medida de la proyección de un conjunto m -dimensional sobre un subespacio de coordenadas m- dimensional i . Debido a que las proyecciones de objetos pueden superponerse en un subespacio de coordenadas, la medida de cada proyección de objeto en el conjunto debe calcularse individualmente, y luego se deben sumar las medidas de todas las proyecciones para proporcionar la medida total para el conjunto de proyecciones en el subespacio de coordenadas dado.
• ${\displaystyle x}$es el número de subespacios de coordenadas ortogonales de dimensión m en el espacio de dimensión n ( R ⁿ ) sobre los cuales se proyectan los objetos de dimensión m ( m ≤ n ) :

$${\displaystyle x={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(nm)!}}}$$

El teorema de Pitágoras se deriva de los axiomas de la geometría euclidiana y, de hecho, si el teorema de Pitágoras fallara para algún triángulo rectángulo, entonces el plano en el que está contenido este triángulo no puede ser euclidiano. Más precisamente, el teorema de Pitágoras implica, y es implicado por, el Postulado de las Paralelas (Quinto) de Euclides . ^{[ 87 ] [ 88 ]} Por lo tanto, los triángulos rectángulos en una geometría no euclidiana ^{[ 89 ]} no satisfacen el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, en geometría esférica , los tres lados del triángulo rectángulo (digamos a , b , y c ) que delimitan un octante de la esfera unitaria tienen una longitud igual a π /2, y todos sus ángulos son ángulos rectos, lo que viola el teorema de Pitágoras porque a ² + b ² = 2 c ² > c ² .

Aquí se consideran dos casos de geometría no euclidiana: la geometría esférica y la geometría del plano hiperbólico ; en cada caso, al igual que en el caso euclidiano para triángulos no rectángulos, el resultado que reemplaza el teorema de Pitágoras se deduce de la ley de los cosenos correspondiente.

Sin embargo, el teorema de Pitágoras sigue siendo válido en geometría hiperbólica y elíptica si se reemplaza la condición de que el triángulo sea rectángulo por la condición de que la suma de dos de los ángulos sea igual al tercero, por ejemplo, A + B = C. Los lados se relacionan entonces de la siguiente manera: la suma de las áreas de los círculos con diámetros a y b es igual al área del círculo con diámetro c . ^{[ 90 ]}

Geometría esférica

Para cualquier triángulo rectángulo en una esfera de radio R (por ejemplo, si γ en la figura es un ángulo recto), con lados a , b y c , la relación entre los lados toma la forma: ^{[ 91 ]}$${\displaystyle \cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\,\cos {\frac {b}{R}}.}$$

Esta ecuación se puede derivar como un caso especial de la ley esférica de los cosenos que se aplica a todos los triángulos esféricos: $${\displaystyle \cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\,\cos {\frac {b}{R}}+\sin {\frac {a}{R}}\,\sin {\frac {b}{R}}\,\cos {\gamma }.}$$

Para triángulos infinitesimales en la esfera (o equivalentemente, para triángulos esféricos finitos en una esfera de radio infinito), la relación esférica entre los lados de un triángulo rectángulo se reduce a la forma euclidiana del teorema de Pitágoras. Para ver cómo, supongamos que tenemos un triángulo esférico de longitudes de lado fijas a , b y c en una esfera con radio creciente R. Cuando R tiende a infinito, las cantidades a / R , b / R y c / R tienden a cero y la identidad pitagórica esférica se reduce a {{{1}}} , por lo que debemos observar su expansión asintótica .

La serie de Maclaurin para la función coseno se puede escribir como${\textstyle \cos x=1-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+O{\left(x^{4}\right)}}$con el término restante en notación O grande . Dejando${\displaystyle x=c/R}$Sea un lado del triángulo y, tratando la expresión como una expansión asintótica en términos de R para un c fijo , $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {c}{R}}=1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}\end{aligned}}}$$

y de igual manera para a y b . Sustituyendo el desarrollo asintótico de cada uno de los cosenos en la relación esférica para un triángulo rectángulo se obtiene $${\displaystyle {\begin{aligned}1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}&=\left(1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}\right)\left(1-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}\right)\\&=1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}.\end{aligned}}}$$

Restando 1 y luego negando cada lado, $${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2R^{2}}}={\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}.}$$

Multiplicando por 2 R ² , la expansión asintótica para c en términos de a , b fijos y R variable es $${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+O{\left(R^{-2}\right)}.}$$

La relación euclidiana-pitagórica${\estilo de texto c^{2}=a^{2}+b^{2}}$se recupera en el límite, ya que el resto se desvanece cuando el radio R tiende a infinito.

Para cálculos prácticos en trigonometría esférica con triángulos rectángulos pequeños, los cosenos se pueden reemplazar por senos utilizando la identidad del ángulo doble.${\displaystyle \cos {2\theta }=1-2\sin ^{2}{\theta }}$para evitar la pérdida de significado . Entonces, el teorema de Pitágoras esférico puede escribirse alternativamente como $${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}-2\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}\,\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}.}$$

Geometría hiperbólica

En un espacio hiperbólico con curvatura gaussiana uniforme −1/ R ² , para un triángulo rectángulo con catetos a , b , e hipotenusa c , la relación entre los lados toma la forma: ^{[ 92 ]}$${\displaystyle \cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\,\cosh {\frac {b}{R}}}$$

donde cosh es el coseno hiperbólico . Esta fórmula es una forma especial de la ley hiperbólica de los cosenos que se aplica a todos los triángulos hiperbólicos: ^{[ 93 ]}$${\displaystyle \cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\,\cosh {\frac {b}{R}}-\sinh {\frac {a}{R}}\,\sinh {\frac {b}{R}}\,\cos \gamma ,}$$ donde γ es el ángulo en el vértice opuesto al lado c .

Al utilizar la serie de Maclaurin para el coseno hiperbólico, cosh x ≈ 1 + x ² /2 , se puede demostrar que cuando un triángulo hiperbólico se vuelve muy pequeño (es decir, cuando a , b y c se aproximan a cero), la relación hiperbólica para un triángulo rectángulo se aproxima a la forma del teorema de Pitágoras.

Para triángulos rectángulos pequeños ( a , b ≪ R ) , los cosenos hiperbólicos pueden eliminarse para evitar la pérdida de significado , dando como resultado $${\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}+2\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}.}$$

El teorema de Pitágoras se aplica a triángulos infinitesimales que se ven en la geometría diferencial . En el espacio tridimensional, la distancia entre dos puntos infinitesimalmente separados satisface $${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},}$$

donde ds es el elemento de distancia y ( dx , dy , dz ) son las componentes del vector que separa los dos puntos. Dicho espacio se denomina espacio euclidiano . Sin embargo, en geometría riemanniana , una generalización de esta expresión, útil para coordenadas generales (no solo cartesianas) y espacios generales (no solo euclidianos), toma la forma: ^{[ 94 ]}$${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j}^{n}g_{ij}\,dx_{i}\,dx_{j}}$$

que se denomina tensor métrico . ^{[ c ]} Puede ser una función de la posición y a menudo describe el espacio curvo . Un ejemplo sencillo es el espacio euclidiano (plano) expresado en coordenadas curvilíneas . Por ejemplo, en coordenadas polares : $${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}.}$$