Teorema de la bandera británica

En geometría euclidiana , el teorema de la bandera británica dice que si se elige un punto P dentro de un rectángulo ABCD , entonces la suma de los cuadrados de las distancias euclidianas desde P a dos esquinas opuestas del rectángulo es igual a la suma de las otras dos esquinas opuestas. ^{[1] [2] [3]} Como ecuación : $${\displaystyle AP^{2}+CP^{2}=BP^{2}+DP^{2}.}$$

El teorema también se aplica a puntos fuera del rectángulo, y más generalmente a las distancias desde un punto en el espacio euclidiano a las esquinas de un rectángulo incrustado en el espacio. ^[4] Aún más generalmente, si se comparan las sumas de los cuadrados de las distancias desde un punto P a los dos pares de esquinas opuestas de un paralelogramo , las dos sumas en general no serán iguales, sino que la diferencia entre las dos sumas dependerá solo de la forma del paralelogramo y no de la elección de P. [ ^5]

El teorema también puede considerarse como una generalización del teorema de Pitágoras . Si se coloca el punto P en cualquiera de los cuatro vértices del rectángulo, se obtiene que el cuadrado de la diagonal del rectángulo es igual a la suma de los cuadrados del ancho y el largo del rectángulo, que es el teorema de Pitágoras.

Desde el punto P se trazan líneas perpendiculares a los lados del rectángulo, encontrando los lados AB , BC , CD y AD en los puntos W , X , Y y Z respectivamente, como se muestra en la figura. Estos cuatro puntos WXYZ forman los vértices de un cuadrilátero ortodiagonal . Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo AWP , y observando que WP = AZ , se deduce que

${\displaystyle AP^{2}=AW^{2}+WP^{2}=AW^{2}+AZ^{2}}$

y por un argumento similar los cuadrados de las longitudes de las distancias desde P a las otras tres esquinas se pueden calcular como

${\displaystylePC^{2}=WB^{2}+ZD^{2},}$

${\displaystyle BP^{2}=WB^{2}+AZ^{2},}$y

${\displaystyle PD^{2}=ZD^{2}+AW^{2}.}$

Por lo tanto:

${\displaystyle {\begin{aligned}AP^{2}+PC^{2}&=\left(AW^{2}+AZ^{2}\right)+\left(WB^{2}+ZD^{2}\right)\\[4pt]&=\left(WB^{2}+AZ^{2}\right)+\left(ZD^{2}+AW^{2}\right)\\[4pt]&=BP^{2}+PD^{2}\end{aligned}}}$

El teorema de la bandera británica se puede generalizar en una afirmación sobre los trapecios isósceles (convexos) . Más precisamente, para un trapecio con lados paralelos y un punto interior, se cumple la siguiente ecuación: ${\estilo de visualización ABCD}$${\estilo de visualización AB}$${\estilo de visualización CD}$${\estilo de visualización P}$

${\displaystyle |AP|^{2}+{\frac {|AB|}{|CD|}}\cdot |PC|^{2}=|BP|^{2}+{\frac {|AB|}{|CD|}}\cdot |PD|^{2}}$

En el caso de un rectángulo, la fracción se evalúa como 1 y, por lo tanto, se obtiene el teorema original. ^[6]${\displaystyle {\tfrac {|AB|}{|CD|}}}$

Este teorema toma su nombre del hecho de que, cuando se dibujan los segmentos de línea desde P hasta las esquinas del rectángulo, junto con las líneas perpendiculares utilizadas en la prueba, la figura completa se asemeja a una bandera de la Unión .

• Teorema de la pizza

• Nguyen Minh Ha, Dao Thanh Oai: Una aplicación interesante del teorema de la bandera británica. Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, volumen 4 (2015), número 1, págs. 31–34.
• Martin Gardner , Dana S. Richards (ed.): El colosal libro de problemas y acertijos breves . WW Norton, 2006, ISBN 978-0-393-06114-7 , págs. 147, 159 (problema 6.16) 

• Teorema de la bandera británica en artofproblemsolving.com
• ¿Puedes resolver la pregunta de la entrevista de Microsoft sobre las esquinas rectangulares? (video, 5:41 min)
• Ilustración interactiva del teorema de la bandera británica para rectángulos y trapecios isósceles