Suma de los ángulos de un triángulo

En geometría euclidiana , el postulado del triángulo establece que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos . Este postulado es equivalente al postulado de las paralelas . ^{[ 1 ]} En presencia de los demás axiomas de la geometría euclidiana, las siguientes afirmaciones son equivalentes: ^{[ 2 ]}

• Postulado del triángulo : La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos.
• Axioma de Playfair : Dada una línea recta y un punto que no está en esa línea, se puede trazar exactamente una línea recta que pase por el punto y sea paralela a la línea dada.
• Axioma de Proclo : Si una línea interseca a una de dos líneas paralelas, también debe intersecar a la otra. ^{[ 3 ]}
• Postulado de equidistancia : Las líneas paralelas son equidistantes en todos sus puntos (es decir, la distancia desde cada punto de una línea a la otra línea es siempre la misma).
• Propiedad del área de un triángulo : El área de un triángulo puede ser tan grande como queramos.
• Propiedad de tres puntos : Tres puntos se encuentran sobre una línea o sobre un círculo .
• Teorema de Pitágoras : En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos catetos. ^{[ 1 ]}

La geometría esférica no satisface varios de los axiomas de Euclides , incluido el postulado de las paralelas . Además, la suma de los ángulos no es 180°.

Para un triángulo esférico, la suma de los ángulos es mayor que 180° y puede llegar hasta 540°. La cantidad en la que la suma de los ángulos excede los 180° se llama exceso esférico , denotado como${\textstyle E}$o${\textstyle \Delta }$. ^{[ 4 ]} El exceso esférico y el área${\textstyle A}$Los elementos del triángulo se determinan mutuamente mediante la relación (llamada teorema de Girard ):$${\displaystyle E={\frac {A}{r^{2}}}}$$dónde${\displaystyle r}$es el radio de la esfera, igual a${\textstyle r={\frac {1}{\sqrt {\kappa }}}}$dónde${\textstyle \kappa >0}$es la curvatura constante.

El exceso esférico también se puede calcular a partir de las longitudes de los tres lados, las longitudes de dos lados y su ángulo, o la longitud de un lado y los dos ángulos adyacentes (véase trigonometría esférica ).

En el límite donde las longitudes de los tres lados tienden a${\displaystyle 0}$, el exceso esférico también tiende a${\displaystyle 0}$: la geometría esférica se asemeja localmente a la euclidiana. De manera más general, la ley euclidiana se recupera como un límite cuando el área tiende a${\displaystyle 0}$(lo cual no implica que las longitudes de los lados lo hagan).

Un triángulo esférico se determina salvo isometría por${\textstyle E}$, la longitud de un lado y un ángulo adyacente. Más precisamente, según el teorema de Lexell , dado un segmento esférico${\textstyle [A,B]}$como un lado fijo y un número${\textstyle 0^{\circ }<E<360^{\circ }}$, el conjunto de puntos${\textstyle C}$de tal manera que el triángulo${\textstyle ABC}$tiene exceso esférico${\displaystyle E}$es un círculo que pasa por las antípodas${\textstyle A',B'}$de${\textstyle A}$y${\textstyle B}$. Por lo tanto, los conjuntos de nivel de${\textstyle E}$forman una foliación de la esfera con dos singularidades${\displaystyle A',B'}$y el vector gradiente de${\textstyle E}$es ortogonal a esta foliación.

La geometría hiperbólica viola el axioma de Playfair, el axioma de Proclo (el paralelismo, definido como la no intersección, es intransitivo en un plano hiperbólico), el postulado de equidistancia (los puntos a un lado de una línea dada, y equidistantes de ella, no forman una línea) y el teorema de Pitágoras. Un círculo ^{[ 5 ]} no puede tener una curvatura arbitrariamente pequeña , ^{[ 6 ]} por lo que la propiedad de los tres puntos también falla.

A diferencia del caso esférico, la suma de los ángulos de un triángulo hiperbólico es menor que 180° y puede ser arbitrariamente cercana a 0°. Por lo tanto, se tiene un defecto angular.$${\displaystyle D=180^{\circ }-{\text{suma de ángulos}}.}$$Al igual que en el caso esférico, el defecto angular${\textstyle D}$y la zona${\textstyle A}$determinarse mutuamente: uno tiene$${\displaystyle D={\frac {A}{r^{2}}}}$$dónde${\textstyle r={\frac {1}{\sqrt {-\kappa }}}}$y${\textstyle \kappa <0}$es la curvatura constante . Esta relación fue demostrada por primera vez por Johann Heinrich Lambert . ^{[ 7 ]} Se observa que todos los triángulos tienen un área delimitada por${\textstyle 180^{\circ }\times r^{2}}$.

Como en el caso esférico,${\textstyle D}$se puede calcular utilizando las longitudes de los tres lados, las longitudes de dos lados y su ángulo, o la longitud de un lado y los dos ángulos adyacentes (véase trigonometría hiperbólica ).

Una vez más, la ley euclidiana se recupera como un límite cuando las longitudes de los lados (o, más generalmente, el área) tienden a${\displaystyle 0}$Sin embargo, dejar que todas las longitudes tiendan al infinito provoca${\textstyle D}$tender a 180°, es decir, los tres ángulos tienden a 0°. Este límite puede considerarse como el caso de triángulos ideales , que unen tres puntos en el infinito mediante tres geodésicas biinfinitas . Su área es el valor límite.${\textstyle A=180^{\circ }\times {r^{2}}}$.

El teorema de Lexell también tiene una contraparte hiperbólica: en lugar de círculos, los conjuntos de nivel se convierten en pares de curvas llamadas hiperciclos , y la foliación es no singular. ^{[ 8 ]}