Anders Johan Lexell

Anders Johan Lexell nació en Åbo (Turku), hijo de Johan Lexell, orfebre, inspector de pesca de perlas y miembro del Riksdag sueco , y Madeleine-Catherine, de soltera Björkegren, hija del asesor Anders Björkegren. ^{[ 3 ] [ 4 ]} A los catorce años se matriculó en la Real Academia de Åbo y en 1760 recibió su título de Doctor en Filosofía con una disertación titulada Aphorismi mathematico-physici (director académico Jakob Gadolin ). En 1763, Lexell se trasladó a Uppsala y trabajó en la Universidad de Uppsala como profesor de matemáticas. Desde 1766 fue profesor de matemáticas en la Escuela Náutica de Uppsala.

En 1762, Catalina la Grande ascendió al trono ruso e inició la política del absolutismo ilustrado . Consciente de la importancia de la ciencia, ordenó que se le ofreciera a Leonhard Euler «exponer sus condiciones, tan pronto como se traslade a San Petersburgo sin demora». ^{[ 5 ]} Poco después de su regreso a Rusia, Euler sugirió que el director de la Academia Rusa de Ciencias invitara a Lexell a estudiar matemáticas y su aplicación a la astronomía, especialmente la geometría esférica . La invitación de Euler y los preparativos que se realizaron en ese momento para observar el tránsito de Venus de 1769 desde ocho lugares del vasto Imperio ruso impulsaron a Lexell a buscar la oportunidad de convertirse en miembro de la comunidad científica de San Petersburgo .

Para ser admitido en la Academia de Ciencias de Rusia , Lexell escribió en 1768 un artículo sobre cálculo integral titulado "Methodus integrandi nonnulis aequationum exemplis illustrata". El presidente de la Academia sospechó inicialmente que el manuscrito podría pertenecer a algún otro matemático talentoso al que Lexell simplemente había asistido, pero Euler desestimó esta posibilidad, comentando que Lexell difícilmente podría haber asistido a otro matemático en el mundo excepto a d'Alembert o al propio Euler. ^{[ 3 ]} Euler fue designado para evaluar el artículo y lo elogió mucho, y el conde Vladimir Orlov , director de la Academia de Ciencias de Rusia , invitó a Lexell al puesto de profesor adjunto de matemáticas, que Lexell aceptó. Ese mismo año recibió permiso del rey de Suecia para abandonar Suecia y se trasladó a San Petersburgo .

Su primera tarea fue familiarizarse con los instrumentos astronómicos que se utilizarían en las observaciones del tránsito de Venus . Participó en la observación del tránsito de 1769 en San Petersburgo junto con Christian Mayer , quien fue contratado por la Academia para trabajar en el observatorio mientras los astrónomos rusos se desplazaban a otros lugares.

Lexell realizó una importante contribución a la teoría lunar y, en especial, a la determinación de la paralaje del Sol a partir de los resultados de las observaciones del tránsito de Venus . Obtuvo reconocimiento universal y, en 1771, cuando la Academia de Ciencias de Rusia admitió nuevos miembros, Lexell fue admitido como académico de Astronomía . También se convirtió en miembro de la Academia de Estocolmo y de la Academia de Uppsala en 1773 y 1774, y pasó a ser miembro correspondiente de la Real Academia de Ciencias de París .

En 1775, el rey de Suecia nombró a Lexell catedrático del departamento de matemáticas de la Universidad de Åbo, con permiso para permanecer en San Petersburgo durante tres años más para finalizar su trabajo allí; este permiso se prorrogó posteriormente por dos años adicionales. Por lo tanto, en 1780, Lexell debía abandonar San Petersburgo y regresar a Suecia, lo que habría supuesto una gran pérdida para la Academia de Ciencias de Rusia . En consecuencia, el director Domashnev propuso que Lexell viajara a Alemania, Inglaterra y Francia, y que luego regresara a San Petersburgo vía Suecia. La Academia le ofreció este viaje con la condición de que renunciara a su cátedra en la Universidad de Åbo , lo que en la práctica le obligaba a elegir entre Finlandia y Rusia. ^{[ 3 ]} Lexell aceptó la condición, realizó el viaje y, para satisfacción de la Academia , obtuvo la autorización del rey de Suecia y regresó a San Petersburgo en 1781, tras más de un año de ausencia, muy satisfecho con su viaje.

El envío de académicos al extranjero era bastante raro en aquella época (a diferencia de los primeros años de la Academia de Ciencias de Rusia ), por lo que Lexell aceptó de buen grado el viaje. Se le encargó que redactara su itinerario, que Domashnev firmó sin modificaciones . Los objetivos eran los siguientes: dado que Lexell visitaría importantes observatorios durante su viaje, debía aprender cómo se construían, anotar el número y los tipos de instrumentos científicos utilizados y, si encontraba algo nuevo e interesante, adquirir los planos y los dibujos de diseño. También debía aprender todo sobre cartografía e intentar conseguir nuevos mapas geográficos , hidrográficos , militares y mineralógicos . Asimismo, debía escribir cartas a la Academia con regularidad para informar sobre noticias interesantes de ciencia, arte y literatura. ^{[ 6 ]}

Lexell partió de San Petersburgo a finales de julio de 1780 en un velero y, vía Swinemünde , llegó a Berlín , donde permaneció un mes y viajó a Potsdam , buscando en vano una audiencia con el rey Federico II . En septiembre partió hacia Baviera , visitando Leipzig , Gotinga y Mannheim . En octubre viajó a Estrasburgo y luego a París , que resultó ser la parada más importante de su viaje. Pasó cinco meses allí, participando activamente en el trabajo de la Real Academia de Ciencias de París y conociendo a los principales matemáticos franceses de la época. ^{[ 3 ]} Sus impresiones de la Academia y sus miembros se conservan en las 27 cartas que escribió a Johann Euler durante el viaje. ^{[ 3 ]} En marzo de 1781 se trasladó a Londres . En agosto partió de Londres hacia Bélgica, donde visitó Flandes y Brabante , luego se trasladó a los Países Bajos, visitó La Haya , Ámsterdam y Sarre , y finalmente regresó a Alemania en septiembre. Visitó Hamburgo y luego embarcó en Kiel rumbo a Suecia; de camino, pasó tres días en Copenhague . En Suecia, pasó un tiempo en su ciudad natal, Åbo , y también visitó Estocolmo , Uppsala y Åland . A principios de diciembre de 1781, Lexell regresó a San Petersburgo, tras haber viajado durante casi un año y medio.

En el archivo de la academia se conservan 28 cartas que Lexell escribió durante su viaje a Johann Euler , mientras que los informes oficiales que Euler escribió al director de la academia, Domashnev , se perdieron. Sin embargo, las cartas no oficiales a Johann Euler suelen contener descripciones detalladas de los lugares y las personas que Lexell conoció, así como sus impresiones. ^{[ 7 ]} Lexell regresó a San Petersburgo a principios de diciembre de 1781 muy satisfecho con su viaje, y la Academia se alegró igualmente de su regreso. ^{[ 3 ] [ 7 ]}

Lexell se encariñó mucho con Leonhard Euler, quien perdió la vista en sus últimos años pero continuó trabajando con la ayuda de su hijo mayor, Johann Euler, quien le leía. Lexell ayudó enormemente a Leonhard Euler, especialmente en la aplicación de las matemáticas a la física y la astronomía . Le ayudó a escribir cálculos y a preparar artículos. El 18 de septiembre de 1783, después de almorzar con su familia, durante una conversación con Lexell sobre el recién descubierto Urano y su órbita , Euler se sintió indispuesto. Murió pocas horas después. ^{[ 5 ]}

Tras el fallecimiento de Euler, la directora de la Academia, la princesa Dashkova , nombró a Lexell sucesor de Euler en 1783. Lexell se convirtió en miembro correspondiente de la Real Academia de Turín, y la Junta de Longitud de Londres lo incluyó en la lista de científicos que recibían sus actas.

Lexell no disfrutó de su cargo por mucho tiempo: murió el 11 de diciembre de 1784 de una fiebre maligna progresiva. ^{[ 3 ]}

Al solicitar un puesto en la Academia Rusa de Ciencias, Lexell presentó un artículo titulado "Método para analizar algunas ecuaciones diferenciales, ilustrado con ejemplos" ^{[ 8 ]} , que fue muy elogiado por Leonhard Euler en 1768. El método de Lexell es el siguiente: para una ecuación diferencial no lineal dada (por ejemplo, de segundo orden), elegimos una integral intermedia: una ecuación diferencial de primer orden con coeficientes y exponentes indefinidos. Después de derivar esta integral intermedia, la comparamos con la ecuación original y obtenemos las ecuaciones para los coeficientes y exponentes de la integral intermedia. Después de expresar los coeficientes indeterminados mediante los coeficientes conocidos, los sustituimos en la integral intermedia y obtenemos dos soluciones particulares de la ecuación original. Restando una solución particular de la otra, eliminamos los diferenciales y obtenemos una solución general, que analizamos para varios valores de constantes. El método para reducir el orden de la ecuación diferencial era conocido en ese momento, pero de otra forma. El método de Lexell fue significativo porque era aplicable a una amplia gama de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes que eran importantes para aplicaciones físicas. En el mismo año, Lexell publicó otro artículo "Sobre la integración de la ecuación diferencial a ⁿ d ⁿ y + ba ^n-1 d ^m-1 ydx + ca ^n-2 d ^m-2 ydx ² + ... + rydx ⁿ = Xdx ⁿ " ^{[ 9 ]} presentando un método general altamente algorítmico para resolver ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes.

Lexell también buscó criterios de integrabilidad de ecuaciones diferenciales. Intentó encontrar criterios para ecuaciones diferenciales completas y también para diferenciales individuales. En 1770 derivó un criterio para integrar funciones diferenciales, lo demostró para cualquier número de términos y encontró los criterios de integrabilidad para${\textstyle dx\int {Vdx}}$,${\textstyle dx\int {dx\int {Vdx}}}$,${\textstyle dx\int {dx\int {dx\int {Vdx}}}}$Sus resultados coincidían con los de Leonhard Euler, pero eran más generales y se derivaron sin utilizar el cálculo de variaciones . A petición de Euler, en 1772 Lexell comunicó estos resultados a Lagrange ^{[ 10 ]} y Lambert ^{[ 11 ]} .

Simultáneamente con Euler, Lexell trabajó en la extensión del método del factor integrante a ecuaciones diferenciales de orden superior. Desarrolló el método de integración de ecuaciones diferenciales con dos o tres variables mediante el factor integrante . Afirmó que su método podía extenderse al caso de cuatro variables: «Las fórmulas serán más complejas, mientras que los problemas que conducen a tales ecuaciones son poco frecuentes en análisis». ^{[ 12 ]}

También resulta interesante la integración de ecuaciones diferenciales en el artículo de Lexell «Sobre la reducción de fórmulas integrales a la rectificación de elipses e hipérboles» ^{[ 13 ]} , que analiza las integrales elípticas y su clasificación, y en su artículo «Integración de una fórmula diferencial con logaritmos y funciones circulares» ^{[ 14 ]} , que fue reimpreso en las actas de la Academia Sueca de Ciencias . Asimismo, integró algunas ecuaciones diferenciales complejas en sus artículos sobre mecánica de medios continuos , incluyendo una ecuación diferencial parcial de cuarto orden en un artículo sobre el enrollamiento de una placa flexible en un anillo circular. ^{[ 15 ]}

En el archivo de la Academia Rusa de Ciencias se encuentra un documento inédito de Lexell titulado "Métodos de integración de algunas ecuaciones diferenciales", en el que se presenta una solución completa de la ecuación.${\displaystyle x=y\phi (x')+\psi (x')}$, ahora conocida como la ecuación de Lagrange-d'Alembert , se presenta. ^{[ 16 ]}

La poligonometría fue una parte significativa del trabajo de Lexell. Utilizó el enfoque trigonométrico aprovechando los avances en trigonometría realizados principalmente por Euler y presentó un método general para resolver polígonos simples en dos artículos titulados "Sobre la resolución de polígonos rectilíneos". ^{[ 17 ]} Lexell analizó dos grupos distintos de problemas: el primero tenía el polígono definido por sus lados y ángulos , el segundo por sus diagonales y ángulos entre diagonales y lados. Para los problemas del primer grupo, Lexell derivó dos fórmulas generales que dan${\displaystyle n}$ecuaciones que permiten resolver un polígono con${\displaystyle n}$lados. Utilizando estos teoremas, derivó fórmulas explícitas para triángulos y tetrágonos , y también proporcionó fórmulas para pentágonos , hexágonos y heptágonos . Asimismo, presentó una clasificación de problemas para tetrágonos, pentágonos y hexágonos. Para el segundo grupo de problemas, Lexell demostró que sus soluciones pueden reducirse a unas pocas reglas generales y presentó una clasificación de estos problemas, resolviendo los problemas combinatorios correspondientes . En el segundo artículo, aplicó su método general a tetrágonos específicos y mostró cómo aplicarlo a un polígono con cualquier número de lados, tomando un pentágono como ejemplo.

El sucesor del enfoque trigonométrico de Lexell (en contraposición al enfoque de coordenadas ) fue el matemático suizo L'Huilier . Tanto L'Huilier como Lexell destacaron la importancia de la poligonometría para aplicaciones teóricas y prácticas.

El primer trabajo de Lexell en la Academia de Ciencias de Rusia consistió en analizar los datos recopilados de la observación del tránsito de Venus de 1769. Publicó cuatro artículos en "Novi Commentarii Academia Petropolitanae" y finalizó su trabajo con una monografía sobre la determinación de la paralaje del Sol , publicada en 1772. ^{[ 18 ]}

Lexell ayudó a Euler a terminar su teoría lunar y fue acreditado como coautor en la obra de Euler de 1772, "Theoria motuum Lunae". ^{[ 19 ]}

Posteriormente, Lexell dedicó la mayor parte de su tiempo a la astronomía de cometas (aunque su primer trabajo sobre el cálculo de la órbita de un cometa data de 1770). En los diez años siguientes, calculó las órbitas de todos los cometas recién descubiertos, entre ellos el que Charles Messier descubrió en 1770. Lexell calculó su órbita, demostró que el cometa había tenido un perihelio mucho mayor antes del encuentro con Júpiter en 1767 y predijo que, tras un nuevo encuentro con Júpiter en 1779, sería expulsado por completo del sistema solar interior . Este cometa fue posteriormente bautizado como el Cometa de Lexell .

Lexell también calculó de forma independiente la órbita de Urano y demostró que era un planeta y no un cometa , un descubrimiento que realizó simultáneamente con Pierre-Simon Laplace . ^{[ 3 ]} Hizo cálculos preliminares mientras viajaba por Europa en 1781 basándose en las observaciones de Hershel y Maskelyne . Al regresar a Rusia, estimó la órbita con mayor precisión basándose en nuevas observaciones, pero debido al largo período orbital , aún no había suficientes datos para probar que la órbita no fuera parabólica . Lexell entonces encontró el registro de una estrella observada en 1759 por Christian Mayer en Piscis que no estaba ni en los catálogos de Flamsteed ni en el cielo cuando Bode la buscó. Lexell supuso que se trataba de un avistamiento anterior del mismo objeto astronómico y utilizando estos datos calculó la órbita exacta, que resultó ser elíptica, y demostró que el nuevo objeto era en realidad un planeta . Además de calcular los parámetros de la órbita, Lexell también estimó el tamaño del planeta con mayor precisión que sus contemporáneos, utilizando Marte , que se encontraba en las proximidades del nuevo planeta en aquel momento. Lexell también observó que la órbita de Urano estaba siendo perturbada . Posteriormente, afirmó que, basándose en sus datos sobre diversos cometas , el tamaño del Sistema Solar podría ser de 100 UA o incluso mayor, y que podrían ser otros planetas allí los que perturbaran la órbita de Urano (aunque la posición del futuro Neptuno no fue calculada hasta mucho más tarde por Urbain Le Verrier ).