Postulado paralelo

En geometría , el postulado de las paralelas es el quinto postulado de los Elementos de Euclides y un axioma distintivo de la geometría euclidiana . Establece que, en geometría bidimensional:

Si una línea recta interseca a otras dos líneas rectas formando dos ángulos interiores en el mismo lado que son menores que dos ángulos rectos , entonces las dos líneas, si se extienden indefinidamente, se encuentran en ese lado en el que la suma de los ángulos es menor que dos ángulos rectos.

Esto también puede formularse como:

Si una línea recta interseca a otras dos líneas rectas, la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado es menor que dos ángulos rectos si y solo si las dos líneas, si se extienden indefinidamente, se encuentran en ese lado.

La diferencia entre las dos formulaciones radica en la inversa de la primera formulación:

Si una línea recta interseca a otras dos líneas rectas que se intersecan en algún lado de la primera línea, la suma de los dos ángulos interiores de ese lado es menor que dos ángulos rectos.

Esta última afirmación se demuestra en los Elementos de Euclides utilizando el hecho de que dos rectas distintas tienen como máximo un punto de intersección. A la inversa, esta última afirmación implica que dos rectas distintas no pueden tener dos puntos de intersección (traza una recta que pase entre los dos puntos de intersección y aplica la afirmación a ambos lados de esta recta).

Esta formulación original del postulado no habla específicamente de líneas paralelas; ^{[ 1 ]} sin embargo, su recíproco y la segunda formulación implican la existencia de líneas paralelas, puesto que, si la suma de los ángulos interiores es igual a dos ángulos rectos, entonces las dos líneas no se intersecan. Euclides dio la definición de líneas paralelas en el Libro I, Definición 23 ^{[ 2 ]} justo antes de los cinco postulados. ^{[ 3 ]}

La geometría euclidiana es aquella que satisface todos los axiomas de Euclides, incluyendo el postulado de las paralelas y su recíproco. Las geometrías no euclidianas son aquellas que no satisfacen la segunda forma del postulado. Una geometría hiperbólica es aquella que no satisface el postulado original. Una geometría elíptica es aquella que no satisface el recíproco del postulado. En particular, en geometría esférica , dos rectas se intersecan en exactamente dos puntos.

Durante mucho tiempo, el postulado se consideró obvio o inevitable, pero las demostraciones resultaban difíciles de obtener. Finalmente, se descubrió que invertir el postulado daba lugar a geometrías válidas, aunque diferentes. Una geometría en la que no se cumple el postulado de las paralelas ni su recíproco se conoce como geometría no euclidiana . Una geometría independiente del quinto postulado de Euclides que asume que dos líneas distintas tienen como máximo un punto de intersección (es decir, que solo asume el equivalente moderno de los cuatro primeros postulados) se conoce como geometría absoluta (o a veces «geometría neutral»).

Probablemente el equivalente más conocido del postulado de las paralelas de Euclides, supeditado a sus otros postulados, es el axioma de Playfair , que recibe su nombre del matemático escocés John Playfair y que establece:

En un plano, dada una línea y un punto que no está en ella, se puede trazar como máximo una línea paralela a la línea dada que pase por el punto. ^{[ 4 ]}

Este axioma por sí solo no es lógicamente equivalente al postulado de las paralelas euclidianas, ya que existen geometrías en las que uno es verdadero y el otro no. Sin embargo, en presencia de los demás axiomas que dan lugar a la geometría euclidiana, uno puede utilizarse para demostrar el otro, por lo que son equivalentes en el contexto de la geometría absoluta . ^{[ 5 ]}

Se han sugerido muchas otras afirmaciones equivalentes al postulado de las paralelas, algunas de las cuales, en un principio, parecían no estar relacionadas con el paralelismo, y otras tan evidentes que fueron asumidas inconscientemente por quienes afirmaban haber demostrado el postulado de las paralelas a partir de otros postulados de Euclides. Estas afirmaciones equivalentes incluyen:

1. Existe exactamente una línea que puede trazarse paralela a otra línea dada que pase por un punto externo. ( Axioma de Playfair )
2. La suma de los ángulos de todo triángulo es 180° ( postulado del triángulo ).
3. Existe un triángulo cuyos ángulos suman 180°.
4. La suma de los ángulos es la misma para todos los triángulos.
5. Existe un par de triángulos semejantes , pero no congruentes .
6. Todo triángulo puede ser circunscrito .
7. Si tres ángulos de un cuadrilátero son ángulos rectos , entonces el cuarto ángulo también es un ángulo recto.
8. Existe un cuadrilátero en el que todos los ángulos son ángulos rectos, es decir, un rectángulo .
9. Existe un par de líneas rectas que se encuentran a una distancia constante entre sí.
10. Dos líneas que son paralelas a la misma línea también son paralelas entre sí.
11. En un triángulo rectángulo , el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos catetos ( teorema de Pitágoras ). ^{[ 6 ] [ 7 ]}
12. La ley de los cosenos , una generalización del teorema de Pitágoras.
13. No existe un límite superior para el área de un triángulo. ( Axioma de Wallis ) ^{[ 8 ]}
14. Los ángulos superiores del cuadrilátero de Saccheri son de 90°.
15. Si una línea interseca a una de dos líneas paralelas, ambas coplanares con la línea original, entonces también interseca a la otra. ( Axioma de Proclo ) ^{[ 9 ]}

Sin embargo, las alternativas que emplean la palabra "paralelo" dejan de parecer tan simples cuando uno se ve obligado a explicar a cuál de las cuatro definiciones comunes de "paralelo" se refiere  : separación constante, nunca intersecarse, mismos ángulos donde son cruzados por una tercera línea, o mismos ángulos donde son cruzados por cualquier tercera línea  , ya que la equivalencia de estas cuatro es en sí misma una de las suposiciones inconscientemente obvias equivalentes al quinto postulado de Euclides. En la lista anterior, siempre se entiende que se refiere a líneas que no se intersecan. Por ejemplo, si la palabra "paralelo" en el axioma de Playfair se entiende como "separación constante" o "mismos ángulos donde son cruzados por cualquier tercera línea", entonces ya no es equivalente al quinto postulado de Euclides, y se puede demostrar a partir de los cuatro primeros (el axioma dice "Hay como máximo una línea...", lo cual es consistente con la ausencia de tales líneas). Sin embargo, si se considera que las líneas paralelas son aquellas que no se intersecan o que tienen alguna línea que las interseca en el mismo ángulo, el axioma de Playfair es contextualmente equivalente al quinto postulado de Euclides y, por lo tanto, lógicamente independiente de los cuatro primeros postulados. Cabe señalar que las dos últimas definiciones no son equivalentes, ya que en geometría hiperbólica la segunda definición solo es válida para líneas ultraparalelas .

Desde el principio, el postulado fue atacado por ser demostrable y, por lo tanto, no un postulado, y durante más de dos mil años, se hicieron muchos intentos para probar (derivar) el postulado paralelo usando los primeros cuatro postulados de Euclides. ^{[ 10 ]} La razón principal por la que tal prueba era tan buscada era que, a diferencia de los primeros cuatro postulados, el postulado paralelo no es autoevidente. Si el orden en que se enumeraron los postulados en los Elementos es significativo, indica que Euclides incluyó este postulado solo cuando se dio cuenta de que no podía probarlo ni continuar sin él. ^{[ 11 ]} Se hicieron muchos intentos para probar el quinto postulado a partir de los otros cuatro, muchos de ellos fueron aceptados como pruebas durante largos períodos hasta que se encontró el error. Invariablemente, el error era asumir alguna propiedad "obvia" que resultó ser equivalente al quinto postulado (el axioma de Playfair ). Aunque conocido desde la época de Proclo, este axioma pasó a llamarse Axioma de Playfair después de que John Playfair escribiera un famoso comentario sobre Euclides en 1795, en el que proponía reemplazar el quinto postulado de Euclides por su propio axioma. Hoy, más de dos mil doscientos años después, el quinto postulado de Euclides sigue siendo un postulado.

Proclo (410-485) escribió un comentario sobre Los Elementos donde analiza los intentos de deducir el quinto postulado a partir de los cuatro anteriores; en particular, señala que Ptolomeo había presentado una «prueba» falsa. A continuación, Proclo ofrece una prueba falsa propia. Sin embargo, sí formuló un postulado equivalente al quinto.

Ibn al-Haytham (Alhazen) (965–1039), matemático árabe , intentó demostrar el postulado de las paralelas mediante una demostración por contradicción , ^{[ 12 ]} en cuyo transcurso introdujo el concepto de movimiento y transformación en la geometría. ^{[ 13 ]} Formuló el cuadrilátero de Lambert , que Boris Abramovich Rozenfeld denomina «cuadrilátero de Ibn al-Haytham-Lambert», ^{[ 14 ]} y su intento de demostración contiene elementos similares a los que se encuentran en los cuadriláteros de Lambert y el axioma de Playfair . ^{[ 15 ]}

El matemático, astrónomo, filósofo y poeta persa Omar Khayyám (1050-1123) intentó demostrar el quinto postulado a partir de otro postulado dado explícitamente (basado en el cuarto de los cinco principios debidos al filósofo ( Aristóteles ), a saber, "Dos líneas rectas convergentes se intersecan y es imposible que dos líneas rectas convergentes diverjan en la dirección en la que convergen"). ^{[ 16 ]} Derivó algunos de los resultados anteriores pertenecientes a la geometría elíptica y la geometría hiperbólica , aunque su postulado excluía esta última posibilidad. ^{[ 17 ]} El cuadrilátero de Saccheri también fue considerado por primera vez por Omar Khayyám a finales del siglo XI en el Libro I de Explicaciones de las dificultades en los postulados de Euclides . ^{[ 14 ]} A diferencia de muchos comentaristas de Euclides antes y después de él (incluido Giovanni Girolamo Saccheri ), Khayyám no intentaba demostrar el postulado paralelo como tal, sino derivarlo de su postulado equivalente. Reconoció que al omitir el quinto postulado de Euclides surgían tres posibilidades: si dos perpendiculares a una recta cruzan otra, una elección adecuada de esta última puede hacer que los ángulos internos en sus intersecciones sean iguales (en ese caso, paralela a la primera recta). Si esos ángulos internos iguales son rectos, se cumple el quinto postulado de Euclides; de lo contrario, deben ser agudos u obtusos. Demostró que los casos agudos y obtusos generaban contradicciones al usar su postulado, pero actualmente se sabe que este es equivalente al quinto postulado.

Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274), en su obra Al-risala al-shafiya'an al-shakk fi'l-khutut al-mutawaziya ( Discusión que elimina la duda sobre las líneas paralelas ) (1250), escribió críticas detalladas del postulado de las paralelas y de la demostración que Khayyám intentó realizar un siglo antes. Nasir al-Din intentó obtener una demostración por contradicción del postulado de las paralelas. ^{[ 18 ]} También consideró los casos de lo que hoy se conoce como geometría elíptica e hiperbólica, aunque descartó ambos. ^{[ 17 ]}

El hijo de Nasir al-Din, Sadr al-Din, escribió un libro sobre el tema en 1298, basado en las reflexiones posteriores de su padre, que presentó uno de los primeros argumentos a favor de una hipótesis no euclidiana equivalente al postulado de las paralelas. «Revisó esencialmente tanto el sistema euclidiano de axiomas y postulados como las demostraciones de muchas proposiciones de los Elementos ». ^{[ 18 ] [ 19 ]} Su obra se publicó en Roma en 1594 y fue estudiada por geómetras europeos. Esta obra marcó el punto de partida del trabajo de Saccheri sobre el tema ^{[ 18 ]} , que comenzó con una crítica a la obra de Sadr al-Din y a la de Wallis. ^{[ 20 ]}

Giordano Vitale (1633–1711), en su libro Euclide restituto (1680, 1686), utilizó el cuadrilátero de Khayyam-Saccheri para demostrar que si tres puntos equidistan en la base AB y el vértice CD, entonces AB y CD son equidistantes en todos los puntos. Girolamo Saccheri (1667–1733) profundizó en el mismo razonamiento, obteniendo correctamente la absurdidad del caso obtuso (partiendo, como Euclides, de la suposición implícita de que las líneas pueden extenderse indefinidamente y tienen longitud infinita), pero sin lograr refutar el caso agudo (aunque se convenció erróneamente de que sí lo había hecho).

En 1766, Johann Lambert escribió, aunque no publicó, Theorie der Parallellinien , en la que intentó, al igual que Saccheri, demostrar el quinto postulado. Trabajó con una figura que hoy conocemos como cuadrilátero de Lambert , un cuadrilátero con tres ángulos rectos (que puede considerarse la mitad de un cuadrilátero de Saccheri). Descartó rápidamente la posibilidad de que el cuarto ángulo fuera obtuso, como habían hecho Saccheri y Khayyám, y procedió a demostrar numerosos teoremas bajo la suposición de un ángulo agudo. A diferencia de Saccheri, nunca sintió que hubiera llegado a una contradicción con esta suposición. Había demostrado el resultado no euclidiano de que la suma de los ángulos de un triángulo aumenta a medida que disminuye el área del triángulo, lo que le llevó a especular sobre la posibilidad de un modelo del caso agudo en una esfera de radio imaginario. No profundizó en esta idea. ^{[ 21 ]}

Mientras que Khayyám y Saccheri habían intentado demostrar la quinta de Euclides refutando las únicas alternativas posibles, el siglo XIX finalmente vio a los matemáticos explorar esas alternativas y descubrir las geometrías lógicamente consistentes que resultan. En 1829, Nikolai Ivanovich Lobachevsky publicó un relato sobre geometría aguda en una oscura revista rusa (reeditado posteriormente en 1840 en alemán). En 1831, János Bolyai incluyó, en un libro de su padre, un apéndice que describía la geometría aguda, que, sin duda, había desarrollado independientemente de Lobachevsky. Carl Friedrich Gauss también había estudiado el problema, pero no publicó ninguno de sus resultados. Al enterarse de los resultados de Bolyai en una carta de su padre, Farkas Bolyai , Gauss declaró:

Si comenzara diciendo que soy incapaz de elogiar esta obra, sin duda se sorprendería por un instante. Pero no puedo decir otra cosa. Elogiarla sería elogiarme a mí mismo. De hecho, todo el contenido de la obra, el camino recorrido por su hijo, los resultados a los que ha sido conducido, coinciden casi por completo con mis meditaciones, que han ocupado mi mente en parte durante los últimos treinta o treinta y cinco años. ^{[ 22 ]}

Las geometrías resultantes fueron desarrolladas posteriormente por Lobachevsky , Riemann y Poincaré en geometría hiperbólica (el caso agudo) y geometría elíptica (el caso obtuso). La independencia del postulado de las paralelas respecto de los demás axiomas de Euclides fue finalmente demostrada por Eugenio Beltrami en 1868.

Euclides no postuló el recíproco de su quinto postulado, lo cual es una forma de distinguir la geometría euclidiana de la geometría elíptica . Los Elementos contienen la demostración de una afirmación equivalente (Libro I, Proposición 27): Si una línea recta que incide sobre dos líneas rectas forma ángulos alternos internos iguales, dichas líneas serán paralelas entre sí. Como señaló De Morgan ^{[ 23 ]} , esto es lógicamente equivalente a (Libro I, Proposición 16). Estos resultados no dependen del quinto postulado, pero sí requieren el segundo postulado ^{[ 24 ]} , que se incumple en la geometría elíptica.

Los intentos de demostrar lógicamente el postulado de las paralelas, en lugar de la Noción Común 4 de Euclides (que las figuras que coinciden son iguales), fueron criticados por Arthur Schopenhauer en El mundo como voluntad e idea . Sin embargo, el argumento de Schopenhauer era que el postulado resulta evidente por la percepción, no que no fuera una consecuencia lógica de los demás axiomas. ^{[ 25 ]}

El postulado de las paralelas es equivalente a la conjunción del Lotschnittaxiom y del axioma de Aristóteles . ^{[ 26 ] [ 27 ]} El primero afirma que las perpendiculares a los lados de un ángulo recto se intersecan, mientras que el segundo afirma que no hay límite superior para las longitudes de las distancias de un cateto de un ángulo al otro cateto. Como se muestra en, ^{[ 28 ]} el postulado de las paralelas es equivalente a la conjunción de las siguientes formas geométricas de incidencia del Lotschnittaxiom y del axioma de Aristóteles :

Dadas tres líneas paralelas, existe una línea que las interseca a las tres.

Dada una línea a y dos líneas distintas que se intersecan m y n , cada una diferente de a , existe una línea g que interseca a y m , pero no n .

La división del postulado de las paralelas en la conjunción de estos axiomas de incidencia-geometría solo es posible en presencia de geometría absoluta . ^{[ 29 ]}

• Línea en el infinito

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• En las montañas de Gauss

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