Juan Wallis

• Cambridge, MA, Oxford, DD
• Escuela secundaria en Tenterden, Kent, 1625-1631.
• Escuela de Martin Holbeach en Felsted, Essex, 1631-1632.
• Universidad de Cambridge, Emmanuel College, 1632–40; Licenciatura en Artes, 1637; Maestría en Artes, 1640.
• Doctorado en Teología por la Universidad de Oxford en 1654.

El 14 de marzo de 1645 se casó con Susanna Glynde ( c. 1600 – 16 de marzo de 1687). Tuvieron tres hijos:

1. Anne, Lady Blencowe (4 de junio de 1656 – 5 de abril de 1718), se casó con Sir John Blencowe (30 de noviembre de 1642 – 6 de mayo de 1726) en 1675, con descendencia ^{[ 7 ]}
2. John Wallis (26 de diciembre de 1650 – 14 de marzo de 1717), ^{[ 8 ]} diputado por Wallingford 1690–1695, se casó con Elizabeth Harris (f. 1693) el 1 de febrero de 1682, con descendencia: un hijo y dos hijas
3. Elizabeth Wallis (1658–1703 ^{[ 9 ]} ), se casó con William Benson (1649–1691) de Towcester y murió sin descendencia.

La visita parlamentaria a Oxford , que comenzó en 1647, destituyó a muchos académicos de alto rango, incluidos, en noviembre de 1648, los profesores Savilianos de Geometría y Astronomía. En 1649, Wallis fue nombrado profesor Saviliano de Geometría. Wallis parece haber sido elegido principalmente por motivos políticos (al igual que quizás su predecesor realista, Peter Turner , quien, a pesar de haber sido nombrado para dos cátedras, nunca publicó ninguna obra matemática); si bien Wallis fue quizás el criptógrafo más destacado del país y formó parte de un grupo informal de científicos que más tarde se convertiría en la Royal Society , no tenía una reputación particular como matemático. No obstante, el nombramiento de Wallis quedó ampliamente justificado por su trabajo posterior durante los 54 años que ejerció como profesor Saviliano. ^{[ 17 ]}

En 1655, Wallis publicó un tratado sobre secciones cónicas en el que las definía analíticamente. Este fue el primer libro en el que se consideraron y definieron estas curvas como curvas de segundo grado . Contribuyó a disipar parte de la dificultad y la oscuridad que se percibían en la obra de René Descartes sobre geometría analítica .

En su obra Tratado de las secciones cónicas , Wallis popularizó el símbolo ∞ para el infinito. Escribió: «Supongo que cualquier plano (siguiendo la Geometría de los indivisibles de Cavalieri) está formado por un número infinito de líneas paralelas, o como yo preferiría, por un número infinito de paralelogramos de la misma altura; (sea la altura de cada uno de ellos una parte infinitesimal 1/∞ de la altura total, y sea el símbolo ∞ el infinito) y la altura de todos ellos constituye la altura de la figura». ^{[ 18 ]}

Arithmetica Infinitorum , la obra más importante de Wallis, se publicó en 1656. En este tratado se sistematizaron y ampliaron los métodos de análisis de Descartes y Cavalieri , pero algunas ideas fueron objeto de crítica. Tras un breve tratado sobre secciones cónicas, comenzó desarrollando la notación estándar para potencias, extendiéndolas desde los enteros positivos hasta los números racionales .

${\displaystyle x^{0}=1}$

${\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}{\text{ etc.}}}$

${\displaystyle x^{1/2}={\sqrt {x}}}$

${\displaystyle x^{2/3}={\sqrt[{3}]{x^{2}}}{\text{ etc.}}}$

${\displaystyle x^{1/n}={\sqrt[{n}]{x}}}$

${\displaystyle x^{p/q}={\sqrt[{q}]{x^{p}}}}$

Dejando de lado las numerosas aplicaciones algebraicas de este descubrimiento, procedió a hallar, mediante integración , el área encerrada entre la curva y = x ^m , el eje x y cualquier ordenada x = h , y demostró que la razón de esta área con respecto a la del paralelogramo sobre la misma base y de la misma altura es 1/( m  + 1), extendiendo la fórmula de cuadratura de Cavalieri . Aparentemente supuso que el mismo resultado sería válido también para la curva y = ax ^m , donde a es cualquier constante y m cualquier número positivo o negativo, pero solo analizó el caso de la parábola en la que m = 2 y la hipérbola en la que m = −1. En este último caso, su interpretación del resultado es incorrecta. Luego demostró que se pueden escribir resultados similares para cualquier curva de la forma

${\displaystyle y=\sum _{m}^{}ax^{m}}$

y por lo tanto que, si la ordenada y de una curva se puede expandir en potencias de x , se puede determinar su área: así dice que si la ecuación de la curva es y = x ⁰ + x ¹ + x ² + ..., su área sería x + x ² /2 + x ³ /3 + ... . Luego aplicó esto a la cuadratura de las curvas y = ( x − x ² ) ⁰ , y = ( x − x ² ) ¹ , y = ( x − x ² ) ² , etc., tomadas entre los límites x  =  0 y x  =  1. Demuestra que las áreas son, respectivamente, 1, 1/6, 1/30, 1/140, etc. A continuación, consideró curvas de la forma y = x ^{1/ m} y estableció el teorema de que el área delimitada por esta curva y las rectas x  =  0 y x  =  1 es igual al área del rectángulo con la misma base y la misma altura que m  : m  + 1. Esto es equivalente a calcular

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{1/m}\,dx.}$

Lo ilustró con la parábola, en cuyo caso m = 2. Enunció, pero no demostró, el resultado correspondiente para una curva de la forma y = x ^{p / q} .

Wallis demostró considerable ingenio al reducir las ecuaciones de las curvas a las formas dadas anteriormente, pero, como desconocía el teorema del binomio , no pudo realizar la cuadratura del círculo , cuya ecuación es${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$, ya que no pudo expandir esto en potencias de x . Sin embargo, estableció el principio de interpolación . Así, como la ordenada del círculo${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$es la media geométrica de las ordenadas de las curvas${\displaystyle y=(1-x^{2})^{0}}$y${\displaystyle y=(1-x^{2})^{1}}$, podría suponerse que, como aproximación, el área del semicírculo${\displaystyle \int _{0}^{1}\!{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx}$que es${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi }$podría tomarse como la media geométrica de los valores de

${\displaystyle \int _{0}^{1}(1-x^{2})^{0}\,dx\ {\text{ y }}\int _{0}^{1}(1-x^{2})^{1}\,dx,}$

eso es,${\displaystyle 1}$y${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$; esto es equivalente a tomar${\displaystyle 4{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}$o 3,26... como el valor de π. Pero, argumentó Wallis, de hecho tenemos una serie${\displaystyle 1,{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{30}},{\tfrac {1}{140}},}$... y por lo tanto el término interpolado entre${\displaystyle 1}$y${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}$debe elegirse de manera que obedezca la ley de esta serie. Esto, mediante un método elaborado que no se describe aquí en detalle, conduce a un valor para el término interpolado que es equivalente a tomar

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots }$

(que ahora se conoce como el producto de Wallis ).

En este trabajo también se analizan la formación y las propiedades de las fracciones continuas , tema que cobró relevancia gracias al uso que Brouncker hizo de estas fracciones.

Unos años más tarde, en 1659, Wallis publicó un tratado que contenía la solución de los problemas sobre la cicloide propuestos por Blaise Pascal . En él, explicó incidentalmente cómo los principios expuestos en su Arithmetica Infinitorum podían utilizarse para la rectificación de curvas algebraicas y ofreció una solución al problema de rectificar (es decir, hallar la longitud de) la parábola semicúbica x³ = ^{ay² ,} descubierta en 1657 por su discípulo William Neile . Dado que todos los intentos de rectificar la elipse y la hipérbola habían sido (necesariamente) ineficaces, se suponía que ninguna curva podía rectificarse, como Descartes había afirmado categóricamente. La espiral logarítmica había sido rectificada por Evangelista Torricelli y fue la primera línea curva (aparte del círculo) cuya longitud se determinó, pero la extensión de Neile y Wallis a una curva algebraica fue novedosa. La siguiente curva rectificada fue la cicloide; esto lo hizo Christopher Wren en 1658.

A principios de 1658, van Heuraët realizó un descubrimiento similar, independiente del de Neile, que fue publicado por van Schooten en su edición de la Geometria de Descartes en 1659. El método de van Heuraët es el siguiente: supone que la curva está referida a ejes rectangulares; si esto es así, y si ( x , y ) son las coordenadas de cualquier punto en ella, y n es la longitud de la normal, y si se toma otro punto cuyas coordenadas son ( x , η ) tal que η  : h = n  : y , donde h es una constante; entonces, si ds es el elemento de la longitud de la curva requerida, tenemos por triángulos semejantes ds  : dx = n  : y . Por lo tanto, h ds = η dx . En consecuencia, si se puede encontrar el área del lugar geométrico del punto ( x , η ), la primera curva puede rectificarse. De esta forma ^, van Heuraët efectuó la rectificación de la curva y³ = ax² ^, pero añadió que la rectificación de la parábola y² = ax² es imposible ^{, ya que requiere la cuadratura de la hipérbola. Las soluciones proporcionadas por Neile y Wallis son algo similares a la de van Heuraët, aunque no se enuncia ninguna regla general y el análisis resulta engorroso.} Fermat propuso un tercer método en 1660, pero es poco elegante y laborioso.

La teoría de la colisión de cuerpos fue propuesta por la Royal Society en 1668 para la consideración de los matemáticos. Wallis, Christopher Wren y Christiaan Huygens enviaron soluciones correctas y similares, todas basadas en lo que hoy se conoce como la conservación del momento lineal ; pero, mientras que Wren y Huygens limitaron su teoría a cuerpos perfectamente elásticos ( colisión elástica ), Wallis también consideró cuerpos imperfectamente elásticos ( colisión inelástica ). A esto le siguió en 1669 un trabajo sobre estática (centros de gravedad) y en 1670 uno sobre dinámica : estos proporcionan una sinopsis útil de lo que se sabía entonces sobre el tema.

En 1685, Wallis publicó Álgebra , precedida por una reseña histórica del desarrollo de la materia, que contiene mucha información valiosa. La segunda edición, publicada en 1693 y que constituye el segundo volumen de su Obra , fue considerablemente ampliada. Esta álgebra es notable por contener el primer uso sistemático de fórmulas. Una magnitud dada se representa aquí por la razón numérica que guarda con la unidad del mismo tipo de magnitud: así, cuando Wallis quiere comparar dos longitudes, considera que cada una contiene tantas unidades de longitud. Esto quizás se aclare al observar que la relación entre el espacio descrito en cualquier tiempo por una partícula que se mueve con velocidad uniforme es denotada por Wallis mediante la fórmula

s = vt ,

donde s es el número que representa la razón del espacio descrito a la unidad de longitud; mientras que los autores anteriores habrían denotado la misma relación al afirmar lo que es equivalente a la proposición

s ₁  : s ₂ = v ₁ t ₁  : v ₂ t ₂ .

A Wallis se le ha atribuido la creación de la recta numérica "para cantidades negativas" ^{[ 19 ]} y "para fines operacionales". ^{[ 20 ]} Esto se basa en un pasaje de su tratado de álgebra de 1685 en el que introdujo una recta numérica para ilustrar la legitimidad de las cantidades negativas: ^{[ 21 ]}

Sin embargo, ¿no es esa suposición (de cantidades negativas) inútil o absurda, cuando se entiende correctamente? Y aunque, en cuanto a la mera notación algebraica, importa una cantidad menor que nada: sin embargo, cuando se trata de una aplicación física, denota como real una cantidad como si el signo fuera${\displaystyle +}$; pero debe interpretarse en sentido contrario...${\displaystyle +3}$, significa${\displaystyle 3}$Yardas hacia adelante; y${\displaystyle -3}$, significa${\displaystyle 3}$Yardas hacia atrás.

Se ha observado que, en un trabajo anterior, Wallis llegó a la conclusión de que la razón entre un número positivo y uno negativo es mayor que infinito. El argumento involucra el cociente.${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$y considerando lo que sucede como${\displaystyle x}$se acerca y luego cruza el punto${\displaystyle x=0}$desde el lado positivo. ^{[ 22 ]} Wallis no fue el único en pensar así: Leonhard Euler llegó a la misma conclusión al considerar la serie geométrica${\displaystyle {\tfrac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+\cdots }$, evaluado en${\displaystyle x=2}$, seguido de un razonamiento similar al de Wallis (él resolvió la paradoja distinguiendo diferentes tipos de números negativos). ^{[ 19 ]}

Generalmente se le atribuye la demostración del teorema de Pitágoras mediante triángulos semejantes . Sin embargo, Thabit Ibn Qurra (901 d. C.), un matemático árabe, había generalizado el teorema de Pitágoras seis siglos antes, aplicándolo a todos los triángulos. Es razonable suponer que Wallis conocía el trabajo de Thabit. ^{[ 23 ]}

Wallis también se inspiró en la obra del matemático islámico Sadr al-Tusi, hijo de Nasir al-Din al-Tusi , en particular en el libro de al-Tusi escrito en 1298 sobre el postulado de las paralelas . El libro se basaba en las ideas de su padre y presentaba uno de los primeros argumentos a favor de una hipótesis no euclidiana equivalente al postulado de las paralelas. Tras leerlo, Wallis escribió sobre sus ideas mientras desarrollaba su propio razonamiento sobre el postulado, intentando demostrarlo también con triángulos semejantes. ^{[ 24 ]}

Descubrió que el quinto postulado de Euclides es equivalente al que actualmente se denomina «postulado de Wallis» en su honor. Este postulado establece que «sobre una línea recta finita dada, siempre es posible construir un triángulo semejante a un triángulo dado». Este resultado se enmarcó en una tendencia que intentaba deducir el quinto postulado de Euclides a partir de los otros cuatro, lo cual hoy se sabe que es imposible. A diferencia de otros autores, comprendió que el crecimiento ilimitado de un triángulo no estaba garantizado por los cuatro primeros postulados. ^{[ 25 ]}

Otro aspecto de las habilidades matemáticas de Wallis era su capacidad para realizar cálculos mentales. Dormía mal y a menudo hacía cálculos mentales mientras yacía despierto en su cama. Una noche calculó mentalmente la raíz cuadrada de un número de 53 dígitos. A la mañana siguiente dictó la raíz cuadrada de 27 dígitos del mismo número, todavía de memoria. Fue una hazaña considerada extraordinaria, y Henry Oldenburg , secretario de la Royal Society, envió a un colega a investigar cómo lo había logrado Wallis. Se consideró lo suficientemente importante como para merecer un análisis en las Philosophical Transactions of the Royal Society de 1685. ^{[ 26 ] [ 27 ]}

Wallis demostró una solución al cubo del Príncipe Rupert , que consiste en encontrar el cubo más grande que pueda pasar a través de un agujero cortado en un cubo unitario sin dividirlo en piezas separadas. ^{[ 28 ]}