Mecánica analítica

En física teórica y física matemática , la mecánica analítica , o mecánica teórica, es un conjunto de formulaciones estrechamente relacionadas de la mecánica clásica . La mecánica analítica utiliza propiedades escalares del movimiento que representan el sistema en su conjunto, generalmente su energía cinética y energía potencial . Las ecuaciones de movimiento se derivan de la magnitud escalar mediante algún principio subyacente sobre su variación .

La mecánica analítica fue desarrollada por numerosos científicos y matemáticos durante el siglo XVIII y posteriormente, tras la mecánica newtoniana . La mecánica newtoniana considera magnitudes vectoriales del movimiento, en particular aceleraciones , momentos y fuerzas de los componentes del sistema; también se la conoce como mecánica vectorial . ^{[ 1 ]} Un escalar es una magnitud, mientras que un vector se representa mediante magnitud y dirección. Los resultados de ambos enfoques son equivalentes, pero el enfoque de la mecánica analítica presenta numerosas ventajas para problemas complejos.

La mecánica analítica aprovecha las restricciones de un sistema para resolver problemas. Estas restricciones limitan los grados de libertad del sistema y permiten reducir el número de coordenadas necesarias para calcular el movimiento. El formalismo se adapta bien a la elección arbitraria de coordenadas, conocidas en este contexto como coordenadas generalizadas . Las energías cinética y potencial del sistema se expresan mediante estas coordenadas generalizadas o momentos, y las ecuaciones de movimiento se pueden establecer fácilmente. De este modo, la mecánica analítica permite resolver numerosos problemas mecánicos con mayor eficiencia que los métodos totalmente vectoriales. Sin embargo, no siempre funciona para fuerzas no conservativas o disipativas como la fricción , en cuyo caso se puede recurrir a la mecánica newtoniana.

Dos ramas dominantes de la mecánica analítica son la mecánica lagrangiana (que utiliza coordenadas generalizadas y velocidades generalizadas correspondientes en el espacio de configuración ) y la mecánica hamiltoniana (que utiliza coordenadas y momentos correspondientes en el espacio de fases ). Ambas formulaciones son equivalentes mediante una transformación de Legendre sobre las coordenadas, velocidades y momentos generalizados; por lo tanto, ambas contienen la misma información para describir la dinámica de un sistema. Existen otras formulaciones como la teoría de Hamilton-Jacobi , la mecánica de Routh y la ecuación de movimiento de Appell . Todas las ecuaciones de movimiento para partículas y campos, en cualquier formalismo, pueden derivarse del resultado ampliamente aplicable llamado principio de mínima acción . Un resultado es el teorema de Noether , un enunciado que relaciona las leyes de conservación con sus simetrías asociadas .

La mecánica analítica no introduce nueva física ni es más general que la mecánica newtoniana. Más bien, es un conjunto de formalismos equivalentes con amplia aplicación. De hecho, los mismos principios y formalismos pueden utilizarse en mecánica relativista y relatividad general , y, con algunas modificaciones, en mecánica cuántica y teoría cuántica de campos .

La mecánica analítica se utiliza ampliamente, desde la física fundamental hasta las matemáticas aplicadas , en particular la teoría del caos .

Los métodos de la mecánica analítica se aplican a partículas discretas, cada una con un número finito de grados de libertad. Pueden modificarse para describir campos continuos o fluidos, que poseen un número infinito de grados de libertad. Las definiciones y ecuaciones guardan una estrecha analogía con las de la mecánica.

El objetivo de la teoría mecánica es resolver problemas mecánicos, como los que surgen en física e ingeniería. Partiendo de un sistema físico —como un mecanismo o un sistema estelar— se desarrolla un modelo matemático en forma de ecuación diferencial. Este modelo puede resolverse numérica o analíticamente para determinar el movimiento del sistema.

El enfoque vectorial de Newton para la mecánica describe el movimiento mediante magnitudes vectoriales como la fuerza , la velocidad y la aceleración . Estas magnitudes caracterizan el movimiento de un cuerpo idealizado como un "punto de masa" o una " partícula ", entendida como un punto único al que se le une una masa. El método de Newton se ha aplicado con éxito a una amplia gama de problemas físicos, incluyendo el movimiento de una partícula en el campo gravitatorio terrestre y el movimiento de los planetas alrededor del Sol. En este enfoque, las leyes de Newton describen el movimiento mediante una ecuación diferencial, y el problema se reduce a la resolución de dicha ecuación.

Sin embargo, cuando un sistema mecánico contiene muchas partículas (como un mecanismo complejo o un fluido ), el enfoque newtoniano resulta difícil de aplicar. Si bien es posible utilizarlo, tomando las precauciones necesarias, como aislar cada partícula y determinar todas las fuerzas que actúan sobre ella, este análisis es engorroso incluso en sistemas relativamente simples. Newton creía que su tercera ley, «acción es igual a reacción», resolvería todas las complicaciones. Esto es falso incluso para sistemas tan simples como la rotación de un cuerpo sólido . En sistemas más complejos, el enfoque vectorial no ofrece una descripción adecuada.

El enfoque analítico simplifica los problemas al tratar los sistemas mecánicos como conjuntos de partículas que interactúan entre sí, en lugar de considerar cada partícula como una unidad aislada. En el enfoque vectorial, las fuerzas deben determinarse individualmente para cada partícula, mientras que en el enfoque analítico basta con conocer una única función que contenga implícitamente todas las fuerzas que actúan sobre el sistema. Esta simplificación se suele realizar mediante ciertas condiciones cinemáticas que se establecen a priori . Sin embargo, el tratamiento analítico no requiere el conocimiento de estas fuerzas y da por sentadas dichas condiciones cinemáticas.

Sin embargo, la derivación de las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico complejo requiere una base unificadora de la que se deriven. Esta base la proporcionan diversos principios variacionales : detrás de cada conjunto de ecuaciones existe un principio que expresa el significado del conjunto completo. Dada una magnitud fundamental y universal denominada acción , el principio de que esta acción sea estacionaria ante pequeñas variaciones de alguna otra magnitud mecánica genera el conjunto de ecuaciones diferenciales requerido. El enunciado del principio no requiere ningún sistema de coordenadas especial , y todos los resultados se expresan en coordenadas generalizadas . Esto significa que las ecuaciones analíticas de movimiento no cambian ante una transformación de coordenadas , una propiedad de invariancia de la que carecen las ecuaciones vectoriales de movimiento. ^{[ 2 ]}

No está del todo claro qué se entiende por "resolver" un sistema de ecuaciones diferenciales. Un problema se considera resuelto cuando las coordenadas de las partículas en el instante t se expresan como funciones simples de t y de parámetros que definen las posiciones y velocidades iniciales. Sin embargo, "función simple" no es un concepto bien definido : hoy en día, una función f ( t ) no se considera una expresión formal en t ( función elemental ) como en la época de Newton, sino, en general, una magnitud determinada por t , y no es posible trazar una línea divisoria clara entre funciones "simples" y "no simples". Si hablamos simplemente de "funciones", entonces todo problema mecánico se resuelve en cuanto se ha formulado correctamente mediante ecuaciones diferenciales, ya que, dadas las condiciones iniciales, t determina las coordenadas en t . Esto es especialmente cierto en la actualidad con los métodos modernos de modelado computacional , que proporcionan soluciones aritméticas a problemas mecánicos con cualquier grado de precisión deseado, sustituyendo las ecuaciones diferenciales por ecuaciones en diferencias .

Aun sin definiciones precisas, es evidente que el problema de dos cuerpos tiene una solución simple, mientras que el de tres cuerpos no. El problema de dos cuerpos se resuelve mediante fórmulas que involucran parámetros; sus valores pueden modificarse para estudiar la clase de todas las soluciones, es decir, la estructura matemática del problema. Además, se puede crear una representación mental o gráfica precisa del movimiento de dos cuerpos, tan real y exacta como el movimiento e interacción de los cuerpos reales. En el problema de tres cuerpos, también se pueden asignar valores específicos a los parámetros; sin embargo, la solución con estos valores asignados, o un conjunto de dichas soluciones, no revela la estructura matemática del problema. Como en muchos otros problemas, la estructura matemática solo puede dilucidarse examinando las ecuaciones diferenciales mismas.

La mecánica analítica aspira a algo más: no a comprender la estructura matemática de un único problema mecánico, sino la de una clase de problemas tan amplia que abarca la mayor parte de la mecánica. Se concentra en sistemas a los que se aplican ecuaciones de movimiento lagrangianas o hamiltonianas, y que incluyen, de hecho, una gama muy amplia de problemas. ^{[ 3 ]}

El desarrollo de la mecánica analítica tiene dos objetivos: (i) ampliar el abanico de problemas resolubles mediante el desarrollo de técnicas estándar con un amplio rango de aplicabilidad, y (ii) comprender la estructura matemática de la mecánica. Sin embargo, a largo plazo, (ii) puede ser más útil que (i) que centrarse en problemas específicos para los que ya se han diseñado métodos.

Introducción de las coordenadas generalizadas y la función lagrangiana fundamental:

${\displaystyle L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)-V(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$

donde T es la energía cinética total y V es la energía potencial total de todo el sistema, entonces, siguiendo el cálculo de variaciones o utilizando la fórmula anterior, se llega a las ecuaciones de Euler-Lagrange ;

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\,,}$

que son un conjunto de N ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden , una para cada q _i ( t ).

Esta formulación identifica la trayectoria real seguida por el movimiento como una selección de la trayectoria sobre la cual la integral temporal de la energía cinética es mínima, suponiendo que la energía total es fija y sin imponer condiciones sobre el tiempo de tránsito.

La formulación lagrangiana utiliza el espacio de configuración del sistema, el conjunto de todas las coordenadas generalizadas posibles:

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{\mathbf {q} \in \mathbb {R} ^{N}\}\,,}$

dónde${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$es un espacio real N -dimensional (véase también la notación de conjuntos ). La solución particular de las ecuaciones de Euler-Lagrange se denomina trayectoria o camino (de configuración) , es decir, una q ( t ) particular sujeta a las condiciones iniciales requeridas . Las soluciones generales forman un conjunto de configuraciones posibles en función del tiempo:

${\displaystyle \{\mathbf {q} (t)\in \mathbb {R} ^{N}\,:\,t\geq 0,t\in \mathbb {R} \}\subseteq {\mathcal {C}}\,,}$

El espacio de configuración puede definirse de forma más general, e incluso más profunda, en términos de variedades topológicas y del fibrado tangente .

La transformación de Legendre del lagrangiano reemplaza las coordenadas y velocidades generalizadas ( q , q̇ ) con ( q , p ); las coordenadas generalizadas y los momentos generalizados conjugados a las coordenadas generalizadas:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{1}}},{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{2}}},\cdots {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{N}}}\right)=(p_{1},p_{2}\cdots p_{N})\,,}$

y presenta el hamiltoniano (que se expresa en términos de coordenadas y momentos generalizados):

${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$

dónde${\displaystyle \cdot }$denota el producto escalar , lo que también conduce a las ecuaciones de Hamilton :

${\displaystyle \mathbf {\dot {p}} =-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\,,\quad \mathbf {\dot {q}} =+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\,,}$

que ahora son un conjunto de 2N ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, una para cada q _i ( t ) y p _i ( t ). Otro resultado de la transformación de Legendre relaciona las derivadas temporales del lagrangiano y el hamiltoniano:

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,,}$

que a menudo se considera una de las ecuaciones de movimiento de Hamilton, además de las demás. Los momentos generalizados se pueden escribir en términos de las fuerzas generalizadas de la misma manera que la segunda ley de Newton:

${\displaystyle \mathbf {\dot {p}} ={\boldsymbol {\mathcal {Q}}}\,.}$

De forma análoga al espacio de configuración, el conjunto de todos los momentos es el espacio de momentos generalizado :

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{N}\}\,.}$

("El "espacio de momento" también se refiere al " espacio k "; el conjunto de todos los vectores de onda (dados por las relaciones de De Broglie ) tal como se utiliza en la mecánica cuántica y la teoría de ondas ).

El conjunto de todas las posiciones y momentos forma el espacio de fases :

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\mathcal {C}}\times {\mathcal {M}}=\{(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )\in \mathbb {R} ^{2N}\}\,,}$

es decir, el producto cartesiano del espacio de configuración y el espacio de momento generalizado.

Una solución particular a las ecuaciones de Hamilton se denomina trayectoria de fase , una curva particular ( q ( t ), p ( t )) sujeta a las condiciones iniciales requeridas. El conjunto de todas las trayectorias de fase, la solución general a las ecuaciones diferenciales, es el retrato de fase :

${\displaystyle \{(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t))\in \mathbb {R} ^{2N}\,:\,t\geq 0,t\in \mathbb {R} \}\subseteq {\mathcal {P}}\,,}$

A continuación se muestran las propiedades superpuestas entre las funciones lagrangianas y hamiltonianas. ^{[ 5 ] [ 8 ]}

• Todas las coordenadas generalizadas individuales q _i ( t ), velocidades q̇ _i ( t ) y momentos p _i ( t ) para cada grado de libertad son mutuamente independientes. La dependencia temporal explícita de una función significa que la función incluye el tiempo t como una variable además de q ( t ) y p ( t ), y no simplemente como un parámetro a través de q ( t ) y p ( t ), lo que implicaría una independencia temporal explícita.
• El lagrangiano es invariante bajo la suma de la derivada temporal total de cualquier función de q' y t , es decir:$${\displaystyle L'=L+{\frac {d}{dt}}F(\mathbf {q} ,t)\,,}$$Por lo tanto, cada lagrangiano L y L describen exactamente el mismo movimiento . En otras palabras, el lagrangiano de un sistema no es único.
• Análogamente, el hamiltoniano es invariante bajo la suma de la derivada parcial temporal de cualquier función de q , p y t , es decir:$${\displaystyle K=H+{\frac {\partial }{\partial t}}G(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\,,}$$( K es una letra de uso frecuente en este caso). Esta propiedad se utiliza en transformaciones canónicas (véase más abajo).
• Si el lagrangiano es independiente de algunas coordenadas generalizadas, entonces los momentos generalizados conjugados a esas coordenadas son constantes del movimiento , es decir, se conservan ; esto se deduce inmediatamente de las ecuaciones de Lagrange:$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\,\rightarrow \,{\frac {dp_{j}}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0}$$Dichas coordenadas son " cíclicas " o "ignorables". Se puede demostrar que el hamiltoniano también es cíclico en las mismas coordenadas generalizadas.
• Si el lagrangiano es independiente del tiempo, el hamiltoniano también lo es (es decir, ambos son constantes en el tiempo).
• Si la energía cinética es una función homogénea de grado 2 de las velocidades generalizadas, y el lagrangiano es explícitamente independiente del tiempo, entonces:$${\displaystyle T((\lambda {\dot {q}}_{i})^{2},(\lambda {\dot {q}}_{j}\lambda {\dot {q}}_{k}),\mathbf {q} )=\lambda ^{2}T(({\dot {q}}_{i})^{2},{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k},\mathbf {q} )\,,\quad L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )\,,}$$donde λ es una constante, entonces el hamiltoniano será la energía total conservada , igual a la suma de las energías cinética y potencial del sistema:$${\displaystyle H=T+V=E\,.}$$Esta es la base de la ecuación de Schrödinger ; al insertar operadores cuánticos directamente, se obtiene.

La acción es otra magnitud en mecánica analítica definida como un funcional del lagrangiano:

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt\,.}$

Una forma general de hallar las ecuaciones de movimiento a partir de la acción es el principio de mínima acción : ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt=0\,,}$

donde los tiempos de salida t ₁ y llegada t ₂ son fijos. ^{[ 1 ]} El término "camino" o "trayectoria" se refiere a la evolución temporal del sistema como un camino a través del espacio de configuración.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, en otras palabras q ( t ) trazando un camino en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$El camino que requiere menos acción es el que sigue el sistema.

A partir de este principio, se pueden derivar todas las ecuaciones de movimiento en mecánica clásica. Este enfoque puede extenderse a campos en lugar de a un sistema de partículas (véase más adelante), y subyace a la formulación de la integral de trayectoria de la mecánica cuántica , ^{[ 11 ] [ 12 ]} y se utiliza para calcular el movimiento geodésico en la relatividad general . ^{[ 13 ]}

transformaciones canónicas

La invariancia del hamiltoniano (bajo la suma de la derivada parcial temporal de una función arbitraria de p , q y t ) permite que el hamiltoniano en un conjunto de coordenadas q y momentos p se transforme en un nuevo conjunto Q = Q ( q , p , t ) y P = P ( q , p , t ), de cuatro maneras posibles:

${\displaystyle {\begin{aligned}&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)\\\end{aligned}}}$

Con la restricción sobre P y Q tal que el sistema hamiltoniano transformado sea:

${\displaystyle \mathbf {\dot {P}} =-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}\,,\quad \mathbf {\dot {Q}} =+{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\,,}$

Las transformaciones anteriores se denominan transformaciones canónicas ; cada función G _n se denomina función generadora de " n- ésima clase" o "tipo n ". La transformación de coordenadas y momentos permite simplificar la resolución de las ecuaciones de Hamilton para un problema dado.

La elección de Q y P es completamente arbitraria, pero no toda elección conduce a una transformación canónica. Un criterio simple para que una transformación q → Q y p → P sea canónica es que el corchete de Poisson sea la unidad,

${\displaystyle \{Q_{i},P_{i}\}=1}$

para todo i = 1, 2,... N . Si esto no se cumple, entonces la transformación no es canónica. ^{[ 5 ]}

La ecuación de Hamilton-Jacobi

Al establecer el hamiltoniano transformado canónicamente K = 0, y la función generadora de tipo 2 igual a la función principal de Hamilton (también la acción${\displaystyle {\mathcal {S}}}$) más una constante arbitraria C :

${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,t)={\mathcal {S}}(\mathbf {q} ,t)+C\,,}$

Los momentos generalizados se convierten en:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \mathbf {q} }}}$

y P es constante, entonces la ecuación de Hamiltoniano-Jacobi (HJE) se puede derivar de la transformación canónica de tipo 2:

${\displaystyle H=-{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial t}}}$

donde H es el hamiltoniano como antes:

${\displaystyle H=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \mathbf {q} }},t\right)}$

Otra función relacionada es la función característica de Hamilton.

${\displaystyle W(\mathbf {q} )={\mathcal {S}}(\mathbf {q} ,t)+Et}$

utilizado para resolver la ecuación de Hamilton-Jacobi mediante separación aditiva de variables para un hamiltoniano H independiente del tiempo .

El estudio de las soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi conduce naturalmente al estudio de las variedades simplécticas y la topología simpléctica . ^{[ 14 ] [ 15 ]} En esta formulación, las soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son las curvas integrales de los campos vectoriales hamiltonianos .

La mecánica de Routh es una formulación híbrida de la mecánica lagrangiana y hamiltoniana, no se usa con frecuencia pero es especialmente útil para eliminar coordenadas cíclicas. Si el lagrangiano de un sistema tiene s coordenadas cíclicas q = q ₁ , q ₂ , ... q _s con momentos conjugados p = p ₁ , p ₂ , ... p _s , con el resto de las coordenadas no cíclicas y denotadas ζ = ζ ₁ , ζ ₁ , ..., ζ _{N − s} , se pueden eliminar introduciendo el Routhiano :

${\displaystyle R=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,{\boldsymbol {\zeta }},{\dot {\boldsymbol {\zeta }}})\,,}$

lo que conduce a un conjunto de 2 ecuaciones hamiltonianas para las coordenadas cíclicas q ,

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=+{\frac {\partial R}{\partial \mathbf {p} }}\,,\quad {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial R}{\partial \mathbf {q} }}\,,}$

y ecuaciones lagrangianas N − s en las coordenadas no cíclicas ζ .

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\boldsymbol {\zeta }}}}}={\frac {\partial R}{\partial {\boldsymbol {\zeta }}}}\,.}$

Configurado de esta manera, aunque el Routhiano tiene la forma del hamiltoniano, puede pensarse como un lagrangiano con N − s grados de libertad.

Las coordenadas q no tienen por qué ser cíclicas; la separación entre las coordenadas que intervienen en las ecuaciones hamiltonianas y las que intervienen en las ecuaciones lagrangianas es arbitraria. Simplemente resulta conveniente que las ecuaciones hamiltonianas eliminen las coordenadas cíclicas, dejando las coordenadas no cíclicas para las ecuaciones de movimiento lagrangianas.

La ecuación de movimiento de Appell involucra aceleraciones generalizadas, las segundas derivadas temporales de las coordenadas generalizadas:

${\displaystyle \alpha _{r}={\ddot {q}}_{r}={\frac {d^{2}q_{r}}{dt^{2}}}\,,}$

así como las fuerzas generalizadas mencionadas anteriormente en el principio de D'Alembert. Las ecuaciones son

${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{r}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}}\,,\quad S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}^{2}\,,}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {a} _{k}={\ddot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d^{2}\mathbf {r} _{k}}{dt^{2}}}}$

es la aceleración de la partícula k , la segunda derivada temporal de su vector de posición. Cada aceleración a _k se expresa en términos de las aceleraciones generalizadas α _r , de igual manera cada r _k se expresa en términos de las coordenadas generalizadas q _r .

Transformaciones de simetría en el espacio y el tiempo clásicos.

Cada transformación puede describirse mediante un operador (es decir, una función que actúa sobre las variables de posición r o momento p para modificarlas). A continuación se muestran los casos en los que el operador no modifica r ni p , es decir, las simetrías. ^{[ 11 ]}

donde R ( n̂ , θ) es la matriz de rotación alrededor de un eje definido por el vector unitario n̂ y el ángulo θ.

Teorema de Noether

El teorema de Noether establece que una transformación de simetría continua de la acción corresponde a una ley de conservación , es decir, la acción (y por lo tanto el lagrangiano) no cambia bajo una transformación parametrizada por un parámetro s : $${\displaystyle L[q(s,t),{\dot {q}}(s,t)]=L[q(t),{\dot {q}}(t)]}$$ El lagrangiano describe el mismo movimiento independientemente de s , que puede ser la longitud, el ángulo de rotación o el tiempo. Los momentos correspondientes a q se conservarán. ^{[ 5 ]}

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