Geometría del punto de masa

La geometría de puntos de masa , conocida coloquialmente como puntos de masa , es una técnica de resolución de problemas en geometría que aplica el principio físico del centro de masa a problemas de geometría que involucran triángulos y cevianas que se intersecan . ^[1] Todos los problemas que se pueden resolver utilizando la geometría de puntos de masa también se pueden resolver utilizando triángulos similares , vectores o razones de áreas, ^[2] pero muchos estudiantes prefieren usar puntos de masa. Aunque la geometría de puntos de masa moderna fue desarrollada en la década de 1960 por estudiantes de secundaria de Nueva York, ^[3] se ha descubierto que el concepto fue utilizado ya en 1827 por August Ferdinand Möbius en su teoría de coordenadas homogéneas . ^[4]

La teoría de puntos de masa se define según las siguientes definiciones: ^[5]

• Punto de masa : Un punto de masa es un par , también escrito como , que incluye una masa, y un punto ordinario, en un plano.${\estilo de visualización (m,P)}$${\estilo de visualización mP}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización P}$
• Coincidencia - Decimos que dos puntos y coinciden si y sólo si y .${\estilo de visualización mP}$${\estilo de visualización nQ}$${\displaystyle m=n}$${\estilo de visualización P=Q}$
• Adición : la suma de dos puntos de masa y tiene masa y punto donde es el punto en tal que . En otras palabras, es el punto de apoyo que equilibra perfectamente los puntos y . A la derecha se muestra un ejemplo de adición de puntos de masa. La adición de puntos de masa es cerrada , conmutativa y asociativa .${\estilo de visualización mP}$${\estilo de visualización nQ}$${\estilo de visualización m+n}$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización PQ}$${\displaystyle PR:RQ=n:m}$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización Q}$
• Multiplicación escalar : dado un punto de masa y un escalar real positivo , definimos la multiplicación como . La multiplicación escalar de un punto de masa es distributiva sobre la suma de puntos de masa.${\estilo de visualización mP}$ ${\estilo de visualización k}$${\displaystyle k(m,P)=(km,P)}$

En primer lugar, se asigna una masa a un punto (a menudo un número entero, pero depende del problema) de la misma forma que otras masas también son números enteros. El principio de cálculo es que el pie de una ceviana es la suma (definida anteriormente) de los dos vértices (son los puntos finales del lado donde se encuentra el pie). Para cada ceviana, el punto de concurrencia es la suma del vértice y el pie. Cada razón de longitud puede calcularse a partir de las masas en los puntos. Véase el Problema Uno para ver un ejemplo.

La división de masas es el método ligeramente más complicado que se necesita cuando un problema contiene transversales además de cevianas. Cualquier vértice que esté en ambos lados de la transversal que cruza tendrá una masa dividida . Un punto con una masa dividida puede tratarse como un punto de masa normal, excepto que tiene tres masas: una que se usa para cada uno de los dos lados en los que se encuentra y otra que es la suma de las otras dos masas divididas y se usa para cualquier ceviana que pueda tener. Vea el Problema Dos para ver un ejemplo.

• Teorema de Routh : muchos problemas que involucran triángulos con cevianas pedirán áreas, y los puntos de masa no proporcionan un método para calcular áreas. Sin embargo, el teorema de Routh , que va de la mano con los puntos de masa, utiliza proporciones de longitudes para calcular la proporción de áreas entre un triángulo y un triángulo formado por tres cevianas.
• Cevianas especiales : cuando se dan cevianas con propiedades especiales, como una bisectriz de un ángulo o una altitud , se pueden utilizar otros teoremas junto con la geometría del punto de masa que determinan las relaciones de longitud. Un teorema muy común que también se utiliza es el teorema de la bisectriz del ángulo .
• Teorema de Stewart - Cuando no se pregunta por las razones de las longitudes sino por las longitudes reales en sí, el teorema de Stewart se puede utilizar para determinar la longitud de todo el segmento, y luego se pueden utilizar puntos de masa para determinar las razones y, por lo tanto, las longitudes necesarias de las partes de los segmentos.
• Dimensiones superiores : Los métodos involucrados en la geometría de puntos de masa no se limitan a dos dimensiones; los mismos métodos pueden usarse en problemas que involucran tetraedros, o incluso formas de dimensiones superiores, aunque es raro que un problema que involucre cuatro o más dimensiones requiera el uso de puntos de masa.

Problema. En el triángulo , está en tal que y está en tal que . Si y se intersecan en y la recta se interseca en , calcule y . ${\estilo de visualización ABC}$${\estilo de visualización E}$${\displaystyle AC}$${\displaystyle CE=3AE}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización AB}$${\estilo de visualización BF=3AF}$${\displaystyle SER}$${\estilo de visualización CF}$${\estilo de visualización O}$${\estilo de visualización AO}$${\displaystyle BC}$${\estilo de visualización D}$${\displaystyle {\tfrac {OB}{OE}}}$${\displaystyle {\tfrac {OD}{OA}}}$

Solución. Podemos asignar arbitrariamente la masa del punto como . Por razones de longitudes, las masas en y deben ser ambas . Al sumar las masas, las masas en y son ambas . Además, la masa en es , por lo que la masa en debe ser . Por lo tanto, y . Vea el diagrama a la derecha. ${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización 3}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización 1}$${\estilo de visualización E}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización 4}$${\estilo de visualización O}$${\estilo de visualización 4+1=5}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización 5-3=2}$${\displaystyle {\tfrac {OB}{OE}}}$ ${\estilo de visualización = 4}$${\displaystyle {\tfrac {OD}{OA}}={\tfrac {3}{2}}}$

Problema. En el triángulo , , , y están en , , y , respectivamente, de modo que , , y . Si y se intersecan en , calcule y . ${\estilo de visualización ABC}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización E}$${\estilo de visualización F}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle CA}$${\estilo de visualización AB}$${\displaystyle AE=AF=CD=2}$${\displaystyle BD=CE=3}$${\estilo de visualización BF=5}$${\displaystyle DE}$${\estilo de visualización CF}$${\estilo de visualización O}$${\displaystyle {\tfrac {OD}{OE}}}$${\displaystyle {\tfrac {OC}{OF}}}$

Solución. Como este problema implica una transversal, debemos usar masas divididas en el punto . Podemos asignar arbitrariamente la masa del punto como . Por razones de longitudes, la masa en debe ser y la masa en se divide hacia y hacia . Al sumar masas, obtenemos que las masas en , , y son , , y , respectivamente. Por lo tanto y . ${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización 15}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización 6}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización 10}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización 9}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización E}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización 15}$${\estilo de visualización 25}$${\estilo de visualización 21}$${\displaystyle {\tfrac {OD}{OE}}={\tfrac {25}{15}}={\tfrac {5}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {OC}{OF}}={\tfrac {21}{10+9}}={\tfrac {21}{19}}}$

Problema. En el triángulo , los puntos y están en los lados y , respectivamente, y los puntos y están en el lado con entre y . se interseca en el punto y se interseca en el punto . Si , , y , calcule . ${\estilo de visualización ABC}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización E}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle CA}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización AB}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización B}$${\displaystyle SER}$${\estilo de visualización CF}$${\displaystyle O_{1}}$${\displaystyle SER}$${\estilo de visualización DG}$$Estilo de visualización O2$${\displaystyle FG=1}$${\displaystyle AE=AF=DB=DC=2}$${\displaystyle BG=CE=3}$${\displaystyle {\tfrac {O_{1}O_{2}}{BE}}}$

Solución. Este problema involucra dos puntos de intersección centrales, y , por lo que debemos utilizar múltiples sistemas. ${\displaystyle O_{1}}$$Estilo de visualización O2$

• Sistema Uno. Para el primer sistema, elegiremos como nuestro punto central, y por lo tanto podemos ignorar el segmento y los puntos , , y . Podemos asignar arbitrariamente la masa en como , y por razones de longitudes las masas en y son y , respectivamente. Al sumar masas, obtenemos que las masas en , , y son 10, 9 y 13, respectivamente. Por lo tanto, y .${\displaystyle O_{1}}$${\estilo de visualización DG}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización G}$$Estilo de visualización O2$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización 6}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización 3}$${\estilo de visualización 4}$${\estilo de visualización E}$${\estilo de visualización F}$${\displaystyle O_{1}}$${\displaystyle {\tfrac {EO_{1}}{BO_{1}}}={\tfrac {3}{10}}}$${\displaystyle {\tfrac {EO_{1}}{BE}}={\tfrac {3}{13}}}$
• Sistema Dos. Para el segundo sistema, elegiremos como nuestro punto central, y por lo tanto podemos ignorar el segmento y los puntos y . Como este sistema implica una transversal, debemos usar masas divididas en el punto . Podemos asignar arbitrariamente la masa en como , y por razones de longitudes, la masa en es y la masa en se divide hacia y 2 hacia . Al sumar masas, obtenemos que las masas en , , y son 4, 6 y 10, respectivamente. Por lo tanto, y .$Estilo de visualización O2$${\estilo de visualización CF}$${\estilo de visualización F}$${\displaystyle O_{1}}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización 3}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización 2}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización 3}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización G}$$Estilo de visualización O2$${\displaystyle {\tfrac {BO_{2}}{EO_{2}}}={\tfrac {5}{3+2}}=1}$${\displaystyle {\tfrac {BO_{2}}{BE}}={\tfrac {1}{2}}}$
• Sistema original. Ya conocemos todas las razones necesarias para construir la razón que nos piden. La respuesta final se puede encontrar de la siguiente manera:$${\displaystyle {\frac {O_{1}O_{2}}{BE}}={\frac {BE-BO_{2}-EO_{1}}{BE}}=1-{\frac {BO_{2}}{BE}}-{\frac {EO_{1}}{BE}}=1-{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{13}}={\frac {7}{26}}.}$$

• Medios relacionados con Geometría de punto de masa en Wikimedia Commons