Transformación canónica

En mecánica hamiltoniana , una transformación canónica es un cambio de coordenadas canónicas $(q, p) \to (Q, P)$ que preserva la forma de las ecuaciones de Hamilton . Esto se conoce a veces como invariancia de forma . Si bien se preservan las ecuaciones de Hamilton , no necesariamente se preserva la forma explícita del hamiltoniano en sí. Las transformaciones canónicas son útiles por sí mismas y también constituyen la base de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi (un método útil para calcular cantidades conservadas ) y del teorema de Liouville (que a su vez es la base de la mecánica estadística clásica ).

Dado que la mecánica lagrangiana se basa en coordenadas generalizadas , las transformaciones de las coordenadas $q \to Q$ no afectan la forma de las ecuaciones de Lagrange y, por lo tanto, no afectan la forma de las ecuaciones de Hamilton si el momento se cambia simultáneamente mediante una transformación de Legendre en $P_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}\ ,$ dónde $\left\{\ (P_{1},Q_{1}),\ (P_{2},Q_{2}),\ (P_{3},Q_{3}),\ \ldots \ \right\}$ son las nuevas coordenadas, agrupadas en pares conjugados canónicos de momentos $P_{i}$ y posiciones correspondientes $Q_{i},$ para $i=1,2,\ldots \ N,$ con $N$ siendo el número de grados de libertad en ambos sistemas de coordenadas.

Por lo tanto, las transformaciones de coordenadas (también llamadas transformaciones de puntos ) son un tipo de transformación canónica. Sin embargo, la clase de transformaciones canónicas es mucho más amplia, ya que las coordenadas generalizadas, los momentos e incluso el tiempo pueden combinarse para formar las nuevas coordenadas y momentos generalizados. Las transformaciones canónicas que no incluyen el tiempo explícitamente se denominan transformaciones canónicas restringidas (muchos libros de texto solo consideran este tipo).

Las descripciones matemáticas modernas de las transformaciones canónicas se consideran dentro del tema más amplio del simplectomorfismo , que abarca el tema con prerrequisitos matemáticos avanzados como haces cotangentes , derivadas exteriores y variedades simplécticas .

Notación

Las variables en negrita como $q$ representan una lista de $N$ coordenadas generalizadas que no necesitan transformarse como un vector bajo rotación y de manera similar $p$ representa el momento generalizado correspondiente , por ejemplo, ${\begin{aligned}\mathbf {q} &\equiv \left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N}\right)\\\mathbf {p} &\equiv \left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N-1},p_{N}\right).\end{aligned}}$

Un punto sobre una variable o lista significa la derivada temporal , por ejemplo, ${\dot {\mathbf {q} }}\equiv {\frac {d\mathbf {q} }{dt}}$ y se lee que las igualdades se satisfacen para todas las coordenadas, por ejemplo: ${\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {q} }}\quad \Longleftrightarrow \quad {\dot {p_{i}}}=-{\frac {\partial f}{\partial {q_{i}}}}\quad (i=1,\dots ,N).$

La notación del producto escalar entre dos listas del mismo número de coordenadas es una forma abreviada de la suma de los productos de los componentes correspondientes, por ejemplo, $\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} \equiv \sum _ {k=1}^{N}p_{k}q_{k}.$

El producto escalar (también conocido como "producto interno") transforma las dos listas de coordenadas en una variable que representa un único valor numérico. Las coordenadas, tras la transformación, se etiquetan de forma similar con $Q$ para las coordenadas generalizadas transformadas y $P$ para el momento generalizado transformado.

Condiciones para la transformación canónica restringida

Las transformaciones canónicas restringidas son transformaciones de coordenadas donde las coordenadas transformadas $Q$ y $P$ no tienen una dependencia temporal explícita, es decir, ${\textstyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ y ${\textstyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ La forma funcional de las ecuaciones de Hamilton es

${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {p} }}&=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\,,&{\dot {\mathbf {q} }}&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\end{aligned}}$

En general, una transformación $(q, p) \to (Q, P)$ no conserva la forma de las ecuaciones de Hamilton , pero en el caso de una transformación independiente del tiempo, son posibles algunas simplificaciones. Siguiendo la definición formal de una transformación canónica, se puede demostrar que para este tipo de transformación, el nuevo hamiltoniano (a veces llamado kamiltoniano ^{[ 1 ]} ) se puede expresar como:

$K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(q(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ),p(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ),t)+{\frac {\partial G}{\partial t}}(t)$

donde difiere del hamiltoniano por una derivada parcial en el tiempo de una función conocida como generador, que se reduce a ser solo una función del tiempo para transformaciones canónicas restringidas.

Además de dejar la forma del hamiltoniano sin cambios, el kamiltoniano también permite el uso del hamiltoniano sin cambios en las ecuaciones de movimiento de Hamilton debido a la forma anterior como:

${\begin{alignedat}{3}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}&&=-\left({\frac {\partial H}{\partial \mathbf {Q} }}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&=\,\,\,\,{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}&&=\,\,\,\,\,\left({\frac {\partial H}{\partial \mathbf {P} }}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\end{alignedat}}$

Aunque la clase de transformaciones canónicas es mayor que la que se puede obtener con esta formulación restringida, la versión restringida proporciona un buen punto de partida para obtener resultados que pueden generalizarse posteriormente. Todas las condiciones siguientes, con excepción de la condición de invariancia bilineal, pueden generalizarse para toda la clase de transformaciones canónicas, incluyendo la dependencia temporal.

Condiciones indirectas

Dado que las transformaciones restringidas no tienen una dependencia temporal explícita (por definición), la derivada temporal de una nueva coordenada generalizada $Q m$ es

${\begin{aligned}{\dot {Q}}_{m}&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}\\&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}-{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\\&=\lbrace Q_{m},H\rbrace \end{aligned}}$ donde ${\cdot, \cdot}$ es el corchete de Poisson .

De forma similar, para la identidad del momento conjugado, P _m, utilizando la forma del "Kamiltoniano", se deduce que:

${\begin{aligned}{\frac {\partial K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)}{\partial P_{m}}}&={\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\[1ex]&={\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\[1ex]&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\end{aligned}}$

Debido a la forma de las ecuaciones de movimiento hamiltonianas,

${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&=\,\,\,\,{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\end{aligned}}$

Si la transformación es canónica, los dos resultados derivados deben ser iguales, lo que da como resultado las ecuaciones:

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}$

El argumento análogo para los momentos generalizados P _m conduce a otros dos conjuntos de ecuaciones:

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}$

Estas son las condiciones indirectas para comprobar si una transformación dada es canónica.

condición simpléctica

A veces, las relaciones hamiltonianas se representan como:

${\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H$

Dónde ${\textstyle J:={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},}$

y ${\textstyle \mathbf {\eta } ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{n}\\p_{1}\\\vdots \\p_{n}\\\end{bmatrix}}}$ . De manera similar, dejemos ${\textstyle \mathbf {\varepsilon } ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{n}\\P_{1}\\\vdots \\P_{n}\\\end{bmatrix}}}$ .

A partir de la relación de derivadas parciales, convirtiendo la ${\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H$ relación en términos de derivadas parciales con nuevas variables da ${\dot {\eta }}=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)$ dónde ${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$ . De manera similar para ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$ ,

${\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H$

Debido a la forma de las ecuaciones hamiltonianas para ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$ ,

${\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=J\nabla _{\varepsilon }H$

dónde ${\textstyle \nabla _{\varepsilon }K=\nabla _{\varepsilon }H}$ puede utilizarse debido a la forma del kamiltoniano. Igualando las dos ecuaciones se obtiene la condición simpléctica como: ^{[ 2 ]}

$MJM^{T}=J$

El lado izquierdo de lo anterior se llama matriz de Poisson de $\varepsilon$ , denotado como ${\textstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}}$ . De manera similar, una matriz de Lagrange de $\eta$ puede construirse como ${\textstyle {\mathcal {L}}(\eta )=M^{T}JM}$ . ^{[ 3 ]} Se puede demostrar que la condición simpléctica también es equivalente a ${\textstyle M^{T}JM=J}$ mediante el uso del ${\textstyle J^{-1}=-J}$ propiedad. El conjunto de todas las matrices ${\textstyle M}$ que satisfacen condiciones simplécticas forman un grupo simpléctico . Las condiciones simplécticas son equivalentes a las condiciones indirectas, ya que ambas conducen a la ecuación. ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }H}$ , que se utiliza en ambas derivaciones.

Invariancia del corchete de Poisson

El corchete de Poisson, que se define como: $\{u,v\}_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial q_{i}}}\right)$ se puede representar en forma matricial como:

$\{u,v\}_{\eta }:=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)$

Por lo tanto, utilizando relaciones de derivadas parciales y la condición simpléctica se obtiene: ^{[ 4 ]} $\{u,v\}_{\eta }=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)=(M^{T}\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}MJM^{T}(\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(\nabla _{\varepsilon }v)=\{u,v\}_{\varepsilon }$

La condición simpléctica también puede recuperarse tomando ${\textstyle u=\varepsilon _{i}}$ y ${\textstyle v=\varepsilon _{j}}$ lo cual demuestra que ${\textstyle (MJM^{T})_{ij}=J_{ij}}$ Por lo tanto, estas condiciones son equivalentes a las condiciones simplécticas. Además, se puede observar que ${\textstyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=(MJM^{T})_{ij}}$ , que también es el resultado de calcular explícitamente el elemento de la matriz expandiéndolo. ^{[ 3 ]}

Invariancia del corchete de Lagrange

El corchete de Lagrange que se define como:

$[u,v]_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right)$

se puede representar en forma matricial como:

$[u,v]_{\eta }:=\left({\frac {\partial \eta }{\partial u}}\right)^{T}J\left({\frac {\partial \eta }{\partial v}}\right)$

Utilizando una derivación similar, se obtiene:

$[u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=[u,v]_{\eta }$

La condición simpléctica también puede recuperarse tomando ${\textstyle u=\eta _{i}}$ y ${\textstyle v=\eta _{j}}$ lo cual demuestra que ${\textstyle (M^{T}JM)_{ij}=J_{ij}}$ Por lo tanto, estas condiciones son equivalentes a las condiciones simplécticas. Además, se puede observar que ${\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}}$ , que también es el resultado de calcular explícitamente el elemento de la matriz expandiéndolo. ^{[ 3 ]}

Condiciones de invariancia bilineal

Este conjunto de condiciones solo se aplica a transformaciones canónicas restringidas o a transformaciones canónicas que son independientes de la variable tiempo.

Consideremos variaciones arbitrarias de dos tipos, en un único par de coordenadas generalizadas y el momento correspondiente: ^{[ 5 ]}

${\textstyle d\varepsilon =(dq_{1},dp_{1},0,0,\ldots ),\quad \delta \varepsilon =(\delta q_{1},\delta p_{1},0,0,\ldots ).}$

El área del paralelogramo infinitesimal viene dada por:

${\textstyle \delta a(12)=dq_{1}\delta p_{1}-\delta q_{1}dp_{1}={(\delta \varepsilon )}^{T}\,J\,d\varepsilon .}$

Se deduce de la ${\textstyle M^{T}JM=J}$ condición simpléctica de que el área infinitesimal se conserva bajo transformación canónica:

${\textstyle \delta a(12)={(\delta \varepsilon )}^{T}\,J\,d\varepsilon ={(M\delta \eta )}^{T}\,J\,Md\eta ={(\delta \eta )}^{T}\,M^{T}JM\,d\eta ={(\delta \eta )}^{T}\,J\,d\eta =\delta A(12).}$

Tenga en cuenta que las nuevas coordenadas no tienen por qué estar completamente orientadas en un único plano de momento coordenado.

Por lo tanto, la condición se enuncia de forma más general como una invariancia de la forma ${\textstyle {(d\varepsilon )}^{T}\,J\,\delta \varepsilon }$ bajo transformación canónica, expandida como:

$\sum \delta q\cdot dp-\delta p\cdot dq=\sum \delta Q\cdot dP-\delta P\cdot dQ$

Si lo anterior se cumple para cualquier variación arbitraria, solo sería posible si se cumplen las condiciones indirectas. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} La forma de la ecuación, ${\textstyle {v}^{T}\,J\,w}$ También se conoce como un producto simpléctico de los vectores ${\textstyle {v}}$ y ${\textstyle w}$ y la condición de invariancia bilineal puede enunciarse como una conservación local del producto simpléctico. ^{[ 8 ]}

Teorema de Liouville

Las condiciones indirectas nos permiten demostrar el teorema de Liouville , que establece que el volumen en el espacio de fases se conserva bajo transformaciones canónicas, es decir,

$\int \mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p} =\int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P}$

Mediante cálculo diferencial , la segunda integral debe ser igual a la primera multiplicada por el determinante del jacobiano $M.$

$\int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P} =\int \det(M)\,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p}$ Dónde ${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$

Aprovechar la propiedad de "división" de los jacobinos produce $M\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\right.$

Eliminar las variables repetidas da como resultado $M\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} )}{\partial (\mathbf {q} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {P} )}}\right.$

La aplicación de las condiciones indirectas anteriores produce $\operatorname {det} (M)=1$ . ^{[ 9 ]}

Enfoque de generación de funciones

Para garantizar una transformación válida entre $(q, p, H)$ y $(Q, P, K)$ , podemos recurrir a un enfoque de función generadora directa . Ambos conjuntos de variables deben obedecer el principio de Hamilton . Es decir, la integral de acción sobre los lagrangianos. ${\mathcal {L}}_{qp}=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ y ${\mathcal {L}}_{QP}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)$ , obtenido a partir del hamiltoniano respectivo mediante una transformación de Legendre "inversa" , debe ser estacionario en ambos casos (de modo que se puedan utilizar las ecuaciones de Euler-Lagrange para llegar a las ecuaciones de movimiento hamiltonianas de la forma designada; como se muestra, por ejemplo, aquí ):

${\begin{aligned}\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]dt&=0\\\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt&=0\end{aligned}}$

Una forma de que se satisfagan ambas igualdades integrales variacionales es tener

$\lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}$

$Los$ lagrangianos no son únicos: siempre se puede multiplicar por una constante $λ$ y sumar una derivada temporal total $dG / dt$ para obtener las mismas ecuaciones de movimiento (como $se$ explica en Wikibooks ). En general, el factor de escala $λ$ se establece igual a uno; las transformaciones canónicas para las que $λ \neq 1$ se denominan transformaciones canónicas extendidas . Se conserva $dG$ $/$ $dt$ $, de$ $lo$ contrario el problema se simplificaría y las nuevas variables canónicas no tendrían mucha libertad para diferir de las anteriores.

Aquí, $G$ es una función generadora de una coordenada canónica antigua ( $q$ o $p$ ), una nueva coordenada canónica ( $Q$ o $P$ ) y (posiblemente) el tiempo $t$ . Por lo tanto, existen cuatro tipos básicos de funciones generadoras (aunque pueden existir combinaciones de estos cuatro tipos), dependiendo de la elección de las variables. Como se mostrará más adelante, la función generadora definirá una transformación de coordenadas canónicas antiguas a nuevas , y cualquier transformación de este tipo $(q, p) \to (Q, P)$ tiene garantizada la naturaleza canónica.

Las distintas funciones generadoras y sus propiedades, que se muestran en la tabla a continuación, se analizan en detalle:

Función generadora de tipo 1

La función generadora de tipo 1 $G 1$ depende únicamente de las coordenadas generalizadas antiguas y nuevas. ${\textstyle G\equiv G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}$ Para derivar la transformación implícita, desarrollamos la ecuación definitoria anterior. $\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}$

Dado que las coordenadas nuevas y antiguas son independientes, deben cumplirse las siguientes $2N + 1 ecuaciones .$

${\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}\end{aligned}}$

Estas ecuaciones definen la transformación $(q, p) \to (Q, P)$ de la siguiente manera: El primer conjunto de $N$ ecuaciones ${\textstyle \ \mathbf {p} ={\frac {\ \partial G_{1}\ }{\partial \mathbf {q} }}\ }$ Definir relaciones entre las nuevas coordenadas generalizadas $Q$ y las antiguas coordenadas canónicas $(q, p)$ . Idealmente, se pueden invertir estas relaciones para obtener fórmulas para cada $Q k$ en función de las antiguas coordenadas canónicas. Sustitución de estas fórmulas para las coordenadas $Q$ en el segundo conjunto de $N$ ecuaciones. ${\textstyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}}$ produce fórmulas análogas para los nuevos momentos generalizados $P$ en términos de las antiguas coordenadas canónicas $(q, p)$ . Luego invertimos ambos conjuntos de fórmulas para obtener las antiguas coordenadas canónicas $(q, p)$ como funciones de las nuevas coordenadas canónicas $(Q, P)$ . Sustitución de las fórmulas invertidas en la ecuación final ${\textstyle K=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}}$ produce una fórmula para $K$ en función de las nuevas coordenadas canónicas $(Q, P)$ .

En la práctica, este procedimiento es más fácil de lo que parece, porque la función generadora suele ser simple. Por ejemplo, sea ${\textstyle G_{1}\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {Q} }$ Esto da como resultado el intercambio de las coordenadas generalizadas por los momentos y viceversa.

${\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} \\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} \end{aligned}}$

y $K = H.$ Este ejemplo ilustra cuán independientes son las coordenadas y los momentos en la formulación hamiltoniana; son variables equivalentes.

Función generadora de tipo 2

La función generadora de tipo 2 $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ depende únicamente de las antiguas coordenadas generalizadas y los nuevos momentos generalizados. ${\textstyle G\equiv G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$ donde el $-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P}$ Los términos representan una transformación de Legendre para cambiar el lado derecho de la ecuación siguiente. Para derivar la transformación implícita, desarrollamos la ecuación definitoria anterior.

$\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}$

Dado que las coordenadas antiguas y los nuevos momentos son independientes, deben cumplirse las siguientes $2N + 1 ecuaciones .$

${\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\end{aligned}}$

Estas ecuaciones definen la transformación $(q, p) \to (Q, P)$ de la siguiente manera: El primer conjunto de $N$ ecuaciones ${\textstyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}}$ definir relaciones entre los nuevos momentos generalizados $P$ y las antiguas coordenadas canónicas $(q, p)$ . Idealmente, se pueden invertir estas relaciones para obtener fórmulas para cada $Pk$ en función de las antiguas coordenadas canónicas. Sustitución de estas fórmulas para las coordenadas $P$ en el segundo conjunto $de$ $N$ ecuaciones ${\textstyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}}$ produce fórmulas análogas para las nuevas coordenadas generalizadas $Q$ en términos de las antiguas coordenadas canónicas $(q, p)$ . Luego invertimos ambos conjuntos de fórmulas para obtener las antiguas coordenadas canónicas $(q, p)$ como funciones de las nuevas coordenadas canónicas $(Q, P)$ . Sustitución de las fórmulas invertidas en la ecuación final ${\textstyle K=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}}$ produce una fórmula para $K$ en función de las nuevas coordenadas canónicas $(Q, P)$ .

En la práctica, este procedimiento es más fácil de lo que parece, porque la función generadora suele ser simple. Por ejemplo, sea ${\textstyle G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)\cdot \mathbf {P} }$ donde $g$ es un conjunto de $N$ funciones. Esto da como resultado una transformación de puntos de las coordenadas generalizadas. ${\textstyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)}$ .

Función generadora de tipo 3

La función generadora de tipo 3 $G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)$ depende únicamente de los momentos generalizados antiguos y las nuevas coordenadas generalizadas. ${\textstyle G\equiv G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)+\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} }$ donde el $\mathbf {q} \cdot \mathbf {p}$ Los términos representan una transformación de Legendre para cambiar el lado izquierdo de la ecuación siguiente. Para derivar la transformación implícita, desarrollamos la ecuación definitoria anterior. $-\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}$

Dado que las coordenadas nuevas y antiguas son independientes, deben cumplirse las siguientes $2N + 1 ecuaciones .$

${\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}\end{aligned}}$

Estas ecuaciones definen la transformación $(q, p) \to (Q, P)$ de la siguiente manera: El primer conjunto de $N$ ecuaciones ${\textstyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}}$ Definir relaciones entre las nuevas coordenadas generalizadas $Q$ y las antiguas coordenadas canónicas $(q, p)$ . Idealmente, se pueden invertir estas relaciones para obtener fórmulas para cada $Q k$ en función de las antiguas coordenadas canónicas. Sustitución de estas fórmulas para las coordenadas $Q$ en el segundo conjunto de $N$ ecuaciones. ${\textstyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}}$ produce fórmulas análogas para los nuevos momentos generalizados $P$ en términos de las antiguas coordenadas canónicas $(q, p)$ . Luego invertimos ambos conjuntos de fórmulas para obtener las antiguas coordenadas canónicas $(q, p)$ como funciones de las nuevas coordenadas canónicas $(Q, P)$ . Sustitución de las fórmulas invertidas en la ecuación final ${\textstyle K=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}}$ produce una fórmula para $K$ en función de las nuevas coordenadas canónicas $(Q, P)$ .

En la práctica, este procedimiento es más fácil de lo que parece, porque la función generadora suele ser sencilla.

Función generadora de tipo 4

La función generadora de tipo 4 $G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$ depende únicamente de los momentos generalizados antiguos y nuevos. ${\textstyle G\equiv G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)+\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$ donde el $\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P}$ Los términos representan una transformación de Legendre para cambiar ambos lados de la ecuación siguiente. Para derivar la transformación implícita, desarrollamos la ecuación definitoria anterior.

$-\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}$

Dado que las coordenadas nuevas y antiguas son independientes, deben cumplirse las siguientes $2N + 1 ecuaciones .$

${\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}\end{aligned}}$

Estas ecuaciones definen la transformación $(q, p) \to (Q, P)$ de la siguiente manera: El primer conjunto de $N$ ecuaciones ${\textstyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}}$ definir relaciones entre los nuevos momentos generalizados $P$ y las antiguas coordenadas canónicas $(q, p)$ . Idealmente, se pueden invertir estas relaciones para obtener fórmulas para cada $Pk$ en función de las antiguas coordenadas canónicas. Sustitución de estas fórmulas para las coordenadas $P$ en el segundo conjunto $de$ $N$ ecuaciones ${\textstyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}}$ produce fórmulas análogas para las nuevas coordenadas generalizadas $Q$ en términos de las antiguas coordenadas canónicas $(q, p)$ . Luego invertimos ambos conjuntos de fórmulas para obtener las antiguas coordenadas canónicas $(q, p)$ como funciones de las nuevas coordenadas canónicas $(Q, P)$ . Sustitución de las fórmulas invertidas en la ecuación final ${\textstyle K=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}}$ produce una fórmula para $K$ en función de las nuevas coordenadas canónicas $(Q, P)$ .

Limitaciones en los cuatro tipos de funciones generadoras

En vista de $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ Como ejemplo, utilizando una función generadora de segundo tipo: ${\textstyle {p}_{i}={\frac {\partial G_{2}}{\partial {q}_{i}}}}$ y ${\textstyle {Q}_{i}={\frac {\partial G_{2}}{\partial {P}_{i}}}}$ , el primer conjunto de ecuaciones que consta de variables ${\textstyle \mathbf {p} }$ , ${\textstyle \mathbf {q} }$ y ${\textstyle \mathbf {P} }$ tiene que ser invertido para obtener ${\textstyle \mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ Este proceso es posible cuando la matriz definida por ${\textstyle a_{ij}={\frac {\partial {p}_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}{\partial P_{j}}}}$ es no singular usando el teorema de la función inversa , y puede reformularse como la siguiente relación. ^{[ 11 ]}

$\left|{\begin{array}{l l l}{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{1}\partial q_{1}}}}&{\cdots }&{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{1}\partial q_{n}}}}\\{\quad \vdots }&{\ddots }&{\quad \vdots }\\{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{n}\partial q_{1}}}}&{\cdots }&{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{n}\partial q_{n}}}}\end{array}}\right|{\neq 0}$

Por lo tanto, se imponen restricciones a las funciones generadoras para que tengan las siguientes matrices: ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{1}}{\partial Q_{j}\partial q_{i}}}\right]}$ , ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{j}\partial q_{i}}}\right]}$ , ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{3}}{\partial p_{j}\partial Q_{i}}}\right]}$ y ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{4}}{\partial p_{j}\partial P_{i}}}\right]}$ , siendo no singular. ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} Estas condiciones también corresponden a la invertibilidad local de las coordenadas. A partir de estas restricciones, se puede afirmar que las funciones generadoras de tipo 1 y tipo 4 siempre tienen un no singular. ${\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$ matriz mientras que las funciones generadoras de tipo 2 y tipo 3 siempre tienen una matriz no singular ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$ matriz. Por lo tanto, las transformaciones canónicas resultantes de estas cuatro funciones generadoras por sí solas no son completamente generales. ^{[ 14 ]}

Uso generalizado de funciones generadoras

En otras palabras, dado que $(Q, P)$ y $(q, p)$ son cada una $2 N$ funciones independientes, se deduce que para tener una función generadora de la forma ${\textstyle G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}$ y $G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$ o $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ y $G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)$ , las matrices jacobianas correspondientes ${\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}}{\partial p_{j}}}\right]}$ y ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{j}}}\right]}$ Se restringen a ser no singulares, asegurando que la función generadora sea una función de $2N + 1 variables independientes. Sin embargo, como característica de las$ transformaciones canónicas, siempre es posible elegir $2N$ funciones independientes de los conjuntos $(q, p)$ o $($ $Q$ $,$ $P$ $) para formar una representación de la función generadora de las transformaciones canónicas, incluyendo la variable tiempo. Por lo tanto, se puede demostrar que toda transformación canónica$ $finita$ puede expresarse como una forma cerrada pero implícita que es una variante de las cuatro formas simples dadas. ^{[ 15 ]}

Condiciones de transformación canónicas

Relaciones de transformación canónicas

De: $K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}$ calcular ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}}$ :

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}\right)_{Q,P,t}&={\frac {\partial K}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\left({\frac {\partial t}{\partial P}}\right)_{Q,P,t}\\&={\dot {Q}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial P}}\\&={\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial Q}{\partial q}}\cdot {\dot {q}}+{\frac {\partial Q}{\partial p}}\cdot {\dot {p}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial P}}\\&={\dot {q}}\left({\frac {\partial Q}{\partial q}}-{\frac {\partial p}{\partial P}}\right)+{\dot {p}}\left({\frac {\partial q}{\partial P}}+{\frac {\partial Q}{\partial p}}\right)+{\frac {\partial Q}{\partial t}}\end{aligned}}$ Dado que el lado izquierdo es ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial }{\partial P}}\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right){\bigg |}_{Q,P,t}}$ que es independiente de la dinámica de las partículas, igualando los coeficientes de ${\textstyle {\dot {q}}}$ y ${\textstyle {\dot {p}}}$ A cero, se obtienen las reglas de transformación canónicas. Este paso es equivalente a igualar el lado izquierdo como ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}$ .

Dado que el lado izquierdo es ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial }{\partial P}}\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right){\bigg |}_{Q,P,t}}$ que es independiente de la dinámica de las partículas, igualando los coeficientes de ${\textstyle {\dot {q}}}$ y ${\textstyle {\dot {p}}}$ A cero, se obtienen las reglas de transformación canónicas. Este paso es equivalente a igualar el lado izquierdo como ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}$ .

Similarmente:

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}\right)_{Q,P,t}&={\frac {\partial K}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\left({\frac {\partial t}{\partial Q}}\right)_{Q,P,t}\\&=-{\dot {P}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}\\&=-{\frac {\partial P}{\partial t}}-{\frac {\partial P}{\partial q}}\cdot {\dot {q}}-{\frac {\partial P}{\partial p}}\cdot {\dot {p}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}\\&=-\left({\dot {q}}\left({\frac {\partial P}{\partial q}}+{\frac {\partial p}{\partial Q}}\right)+{\dot {p}}\left({\frac {\partial P}{\partial p}}-{\frac {\partial q}{\partial Q}}\right)+{\frac {\partial P}{\partial t}}\right)\end{aligned}}$

De manera similar, las reglas de transformación canónicas se obtienen igualando el lado izquierdo como ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}=-{\frac {\partial P}{\partial t}}}$ .

Las dos relaciones anteriores se pueden combinar en forma matricial de la siguiente manera: ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ (que también conservará la misma forma para la transformación canónica extendida) donde el resultado ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-H}$ , se ha utilizado. Por lo tanto, se dice que las relaciones de transformación canónicas son equivalentes a ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ en este contexto.

Ahora se pueden reformular las relaciones de transformación canónicas para incluir la dependencia temporal:

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}$

Desde ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}$ y ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}=-{\frac {\partial P}{\partial t}}}$ , si $Q$ y $P$ no dependen explícitamente del tiempo, ${\textstyle K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}(t)}$ puede tomarse. Por lo tanto, el análisis de las transformaciones canónicas restringidas es consistente con esta generalización.

condición simpléctica

Aplicando la fórmula de transformación de coordenadas para $\nabla _{\eta }H=M^{T}\nabla _{\varepsilon }H$ , en las ecuaciones de Hamiltoniano se obtiene:

${\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)$

De manera similar para ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$ :

${\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}$

o:

${\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=J\nabla _{\varepsilon }H+J\nabla _{\varepsilon }\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right)$

Donde los últimos términos de cada ecuación se cancelan debido a ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ condición derivada de las transformaciones canónicas. Por lo tanto, dejando la relación simpléctica: ${\textstyle MJM^{T}=J}$ lo cual también es equivalente a la condición ${\textstyle M^{T}JM=J}$ De las dos ecuaciones anteriores se deduce que la condición simpléctica implica la ecuación ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ , a partir de las cuales se pueden recuperar las condiciones indirectas. Por lo tanto, se puede decir que las condiciones simplécticas y las condiciones indirectas son equivalentes en el contexto del uso de funciones generadoras.

Invariancia de los corchetes de Poisson y Lagrange

Desde ${\textstyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=(MJM^{T})_{ij}=J_{ij}}$ y ${\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}=J_{ij}}$ donde se utiliza la condición simpléctica en las últimas igualdades. ${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }=J_{ij}}$ las igualdades ${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }}$ y ${\textstyle [\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }}$ se obtienen lo que implica la invariancia de los corchetes de Poisson y Lagrange.

Transformación canónica extendida

Relaciones de transformación canónicas

Al resolver para:

$\lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}$

con diversas formas de función generadora, la relación entre K y H va como ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}$ en cambio, lo cual también se aplica a ${\textstyle \lambda =1}$ caso.

Todos los resultados que se presentan a continuación también se pueden obtener reemplazando ${\textstyle q\rightarrow {\sqrt {\lambda }}q}$ , ${\textstyle p\rightarrow {\sqrt {\lambda }}p}$ y ${\textstyle H\rightarrow {\lambda }H}$ a partir de soluciones conocidas, ya que conserva la forma de las ecuaciones de Hamilton . Por lo tanto, se dice que las transformaciones canónicas extendidas son el resultado de una transformación canónica ( ${\textstyle \lambda =1}$ ) y una transformación canónica trivial ( ${\textstyle \lambda \neq 1}$ ) que tiene ${\textstyle MJM^{T}=\lambda J}$ (para el ejemplo dado, ${\textstyle M={\sqrt {\lambda }}I}$ que satisface la condición). ^{[ 16 ]}

Utilizando los mismos pasos utilizados previamente en la generalización anterior, con ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}$ en el caso general, y manteniendo la ecuación ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial g}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ Las relaciones diferenciales parciales de transformación canónica extendida se obtienen como:

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\lambda \left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\lambda \left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\lambda \left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\lambda \left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}$

condición simpléctica

Siguiendo los mismos pasos para derivar las condiciones simplécticas, como:

${\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)$

y

${\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}$ donde se utiliza ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}$ En cambio, da:

${\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=\lambda J\nabla _{\varepsilon }H+J\nabla _{\varepsilon }\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right)$

La segunda parte de cada ecuación se cancela. Por lo tanto, la condición para la transformación canónica extendida se convierte en: ${\textstyle MJM^{T}=\lambda J}$ . ^{[ 17 ]}

Corchetes de Poisson y Lagrange

Los corchetes de Poisson se modifican de la siguiente manera:

$\{u,v\}_{\eta }=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)=(M^{T}\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}MJM^{T}(\nabla _{\varepsilon }v)=\lambda (\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(\nabla _{\varepsilon }v)=\lambda \{u,v\}_{\varepsilon }$

mientras que los corchetes de Lagrange se modifican de la siguiente manera:

$[u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=\lambda (\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=\lambda [u,v]_{\eta }$

Por lo tanto, el corchete de Poisson escala por el inverso de ${\textstyle \lambda }$ mientras que el corchete de Lagrange se escala por un factor de ${\textstyle \lambda }$ . ^{[ 18 ]}

Transformación canónica infinitesimal

Consideremos la transformación canónica que depende de un parámetro continuo. $\alpha$ , de la siguiente manera:

${\begin{aligned}&Q(q,p,t;\alpha )\quad \quad \quad &Q(q,p,t;0)=q\\&P(q,p,t;\alpha )\quad \quad {\text{with}}\quad &P(q,p,t;0)=p\\\end{aligned}}$

Para valores infinitesimales de $\alpha$ Las transformaciones correspondientes se denominan transformaciones canónicas infinitesimales , también conocidas como transformaciones canónicas diferenciales.

Construcción explícita

Consideremos la siguiente función generadora:

$G_{2}(q,P,t)=qP+\alpha G(q,P,t)$

Desde que para $\alpha =0$ , $G_{2}=qP$ tiene la transformación canónica resultante, $Q=q$ y $P=p$ , este tipo de función generadora puede utilizarse para la transformación canónica infinitesimal restringiendo $\alpha$ a un valor infinitesimal.

A partir de las condiciones de los generadores de segundo tipo:

${\begin{aligned}{p}&={\frac {\partial G_{2}}{\partial {q}}}=P+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {q}}}(q,P,t)\\{Q}&={\frac {\partial G_{2}}{\partial {P}}}=q+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {P}}}(q,P,t)\\\end{aligned}}$

Desde $P=P(q,p,t;\alpha )$ cambiando las variables de la función $G$ a $G(q,p,t)$ y descuidando términos de orden superior de $\alpha$ , da: ^{[ 19 ]}

${\begin{aligned}{p}&=P+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {q}}}(q,p,t)\\{Q}&=q+\alpha {\frac {\partial G}{\partial p}}(q,p,t)\\\end{aligned}}$

También se pueden derivar transformaciones canónicas infinitesimales utilizando la forma matricial de la condición simpléctica. ^{[ 20 ]} La función $G(q,p,t)$ es muy significativo en las transformaciones canónicas infinitesimales y se le conoce como el generador de la transformación canónica infinitesimal.

Transformaciones activas y pasivas

En la visión activa de las transformaciones, el sistema de coordenadas cambia sin que cambie el sistema físico , mientras que en la visión pasiva de la transformación, el sistema de coordenadas se mantiene y se dice que el sistema físico sufre transformaciones.

Visión activa de la transformación

Así, utilizando las relaciones de las transformaciones canónicas infinitesimales, se dice que el cambio en los estados del sistema bajo la vista activa de la transformación canónica es:

${\begin{aligned}&\delta q=\alpha {\frac {\partial G}{\partial p}}(q,p,t)\quad {\text{and}}\quad \delta p=-\alpha {\frac {\partial G}{\partial q}}(q,p,t),\\\end{aligned}}$

o como $\delta \eta =\alpha J\nabla _{\eta }G$ en forma matricial.

Para cualquier función $u(\eta )$ , cambia bajo la visión activa de la transformación según:

$\delta u=u(\eta +\delta \eta )-u(\eta )=(\nabla _{\eta }u)^{T}\delta \eta =\alpha (\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }G)=\alpha \{u,G\}.$

Visión pasiva de la transformación

Considerando el cambio de hamiltonianos en la visión pasiva , es decir, para un punto fijo, $K(Q=q_{0},P=p_{0},t)-H(q=q_{0},p=p_{0},t)=\left(H(q_{0}',p_{0}',t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\right)-H(q_{0},p_{0},t)=-\delta H+\alpha {\frac {\partial G}{\partial t}}=\alpha \left(\{G,H\}+{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)=\alpha {\frac {dG}{dt}}$

dónde ${\textstyle (q=q_{0}',p=p_{0}')}$ están mapeados hasta el punto, ${\textstyle (Q=q_{0},P=p_{0})}$ mediante la transformación canónica infinitesimal y un cambio de variables similar para $G(q,P,t)$ a $G(q,p,t)$ se considera hasta primer orden de $\alpha$ Por lo tanto, si el hamiltoniano es invariante para transformaciones canónicas infinitesimales, su generador es una constante de movimiento.

Generadores de transformaciones de simetría dinámica

Consideremos la transformación en la que el cambio de coordenadas también depende de las velocidades generalizadas.

${\begin{aligned}q^{r}\to q^{r}+\delta q^{r}\\\delta q^{r}=\epsilon \phi ^{r}(q,{\dot {q}},t)\\\end{aligned}}$

Si lo anterior es una simetría dinámica, entonces el lagrangiano cambia en:

$\delta L=\epsilon {\frac {d}{dt}}F(q,{\dot {q}},t)$

and the new Lagrangian is said to be dynamically equivalent to the old Lagrangian as it ensures the resultant equations of motion being the same. The change in generalized velocity and momentum term can be derived as:

${\begin{aligned}p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}},\quad &{\dot {q}}={\frac {dq}{dt}}\\\delta p_{r}={\frac {\partial ^{2}L}{\partial q^{s}\partial {\dot {q}}^{r}}}\delta q^{s}+{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}^{s}\partial {\dot {q}}^{r}}}\delta {\dot {q}}^{s},\quad &\delta {\dot {q}}^{r}=\epsilon {\frac {\partial \phi ^{r}}{\partial q^{s}}}{\dot {q}}^{s}+\epsilon {\frac {\partial \phi ^{r}}{\partial {\dot {q}}^{s}}}{\ddot {q}}^{s}+\epsilon {\frac {\partial \phi ^{r}}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

Generator of transformation

Using the change in Lagrangian property of a dynamical symmetry:

${\frac {d}{dt}}F={\frac {\partial F}{\partial q^{r}}}{\dot {q}}^{r}+{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\ddot {q}}^{r}+{\frac {\partial F}{\partial t}}={\frac {\delta L}{\epsilon }}=\left({\frac {\partial L}{\partial q^{r}}}\phi ^{r}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\frac {\partial \phi ^{r}}{\partial t}}\right)+p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial q^{r}}}{\dot {q}}^{r}+p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\ddot {q}}^{r}$

Since the ${\ddot {q}}$ terms appear only once in either side and the equation must hold independent of dynamics or equation of motion that relate ${\ddot {q}}$ to $(q,{\dot {q}},t)$ , it's coefficients must be equal for this to be true, giving the relation: ${\textstyle p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}={\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}^{r}}}}$ using which, it can be shown that

$\{q^{r},\epsilon (p_{s}\phi ^{s}-F)\}=\delta q^{r},\quad \{p_{r},\epsilon (p_{s}\phi ^{s}-F)\}=\delta p_{r}+\epsilon \left({\frac {\partial L}{\partial q^{s}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{s}}}\right){\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}$

Hence, the term $p\phi -F$ generates the canonical dynamical symmetry transformation if either the Euler Lagrange relation gives zero, or if ${\frac {\partial \phi _{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}=0\,\forall s,r$ which is a infinitesimal point transformation. Note that in the point transformation condition, the quantity generates the transformation regardless of if the Euler Lagrange equations are satisfied and since they do not depend on the dynamics of the problem are said to be a purely kinematic relation.^[21]^[22]

Similar results are obtained in classical field theory, for example, in a Lorentz invariant Lagrangian density where corresponding conserved charges, momentum density $P^{\mu }$ generates translation of fields and $M^{\mu \nu }$ of Lorentz invariance generates Lorentz transformation of fields.^[23]

Noether Invariant

Using Euler Lagrange relation for the provided Lagrangian, the invariants of motion can be derived as: $\delta L-\epsilon {\frac {d}{dt}}F(q,{\dot {q}},t)=\epsilon \phi {\cancelto {=0}{\left({\frac {\partial }{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}\right)L}}+\epsilon {\frac {d}{dt}}\left(\phi {\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}L-F\right)=\epsilon {\frac {d}{dt}}\left(\phi {\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}L-F\right)=0$

Hence $\left(\phi {\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}L-F\right)=p\phi -F$ is a constant of motion. Hence, the derived Noether invariant also generates the same symmetry transformation as shown previously.

Examples of ICT

Time evolution

Taking $G(q,p,t)=H(q,p,t)$ and $\alpha =dt$ , then $\delta \eta =(J\nabla _{\eta }H)dt={\dot {\eta }}dt=d\eta$ . Thus the continuous application of such a transformation maps the coordinates $\eta (\tau )$ to $\eta (\tau +t)$ . Hence if the Hamiltonian is time translation invariant, i.e. does not have explicit time dependence, its value is conserved for the motion.

Translation

Taking $G(q,p,t)=p_{k}$ , $\delta p_{i}=0$ and $\delta q_{i}=\alpha \delta _{ik}$ . Hence, the canonical momentum generates a shift in the corresponding generalized coordinate and if the Hamiltonian is invariant of translation, the momentum is a constant of motion.

Rotation

Consider an orthogonal system for an N-particle system:

${\begin{array}{l}{\mathbf {q} =\left(x_{1},y_{1},z_{1},\ldots ,x_{n},y_{n},z_{n}\right),}\\{\mathbf {p} =\left(p_{1x},p_{1y},p_{1z},\ldots ,p_{nx},p_{ny},p_{nz}\right).}\end{array}}$

Choosing the generator to be: $G=L_{z}=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}p_{iy}-y_{i}p_{ix}\right)$ and the infinitesimal value of $\alpha =\delta \phi$ , then the change in the coordinates is given for x by:

${\begin{array}{c}{\delta x_{i}=\{x_{i},G\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}\{x_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}(\underbrace {\{x_{i},x_{j}p_{jy}\}} _{=0}-{\{x_{i},y_{j}p_{jx}\}}})\delta \phi \\{=\displaystyle -\sum _{j}y_{j}\underbrace {\{x_{i},p_{jx}\}} _{=\delta _{ij}}\delta \phi =-y_{i}\delta \phi }\end{array}}$

and similarly for y:

${\begin{array}{c}\delta y_{i}=\{y_{i},G\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}\{y_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}(\{y_{i},x_{j}p_{jy}\}-\underbrace {\{y_{i},y_{j}p_{jx}\}} _{=0})\delta \phi \\{=\displaystyle \sum _{j}x_{j}\underbrace {\{y_{i},p_{jy}\}} _{=\delta _{ij}}\delta \phi =x_{i}\delta \phi \,,}\end{array}}$

whereas the z component of all particles is unchanged: ${\textstyle \delta z_{i}=\left\{z_{i},G\right\}\delta \phi =\sum _{j}\left\{z_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\right\}\delta \phi =0}$ .

These transformations correspond to rotation about the z axis by angle $\delta \phi$ en su primera aproximación. Por lo tanto, la aplicación repetida de la transformación canónica infinitesimal genera una rotación del sistema de partículas alrededor del eje z. Si el hamiltoniano es invariante bajo rotación alrededor del eje z, el generador, la componente del momento angular a lo largo del eje de rotación, es un invariante de movimiento. ^{[ 20 ]}

Un subgrupo de parámetros de las transformaciones canónicas

Permitiendo los valores de $\alpha$ tomar un rango continuo de valores en:

${\begin{aligned}&Q(q,p,t;\alpha )\quad \quad \quad &Q(q,p,t;0)=q\\&P(q,p,t;\alpha )\quad \quad {\text{with}}\quad &P(q,p,t;0)=p\\\end{aligned}}$

que puede expresarse como $\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha )$ dónde $\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;0)=\eta ^{\mu }$ .

Un subgrupo de parámetros de las transformaciones canónicas son aquellas en las que el generador de la transformación se puede utilizar para generar coordenadas donde $\epsilon ^{\mu }(\epsilon (\eta ,t;\alpha _{1});\alpha _{2})=\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha _{1}+\alpha _{2})$ se satisface, es decir, composición de dos transformaciones canónicas del parámetro $\alpha _{1}$ y $\alpha _{2}$ son los mismos que los de una única transformación canónica de parámetro $\alpha _{1}+\alpha _{2}$ .

La condición sobre las transformaciones del tipo subgrupo de un parámetro puede expresarse equivalentemente como una ecuación diferencial:

$\delta \epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha )=\delta \alpha \{\epsilon ^{\nu },G\}=\delta \alpha J^{\mu \nu }{\frac {\partial G}{\partial \epsilon ^{\nu }}}(\epsilon (\eta ,t;\alpha ),t)\implies {\frac {d\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha )}{d\alpha }}=J^{\mu \nu }{\frac {\partial G}{\partial \epsilon ^{\nu }}}(\epsilon (\eta ,t;\alpha ),t)$

a pesar de $\eta$ dado que el generador no tiene dependencia explícita de $\alpha$ Las condiciones $\epsilon ^{\mu }(\epsilon (\eta ,t;\alpha _{1});\alpha _{2})=\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha _{1}+\alpha _{2})$ puede recuperarse ya que esta ecuación se satisface trivialmente cuando $\alpha _{2}=0$ que se consideran valores iniciales y las ecuaciones diferenciales de ambos lados son de la misma forma, lo que implica la relación debido a la unicidad de las soluciones con valores iniciales dados. Por lo tanto, los subgrupos de un parámetro de las transformaciones canónicas son una extensión de las transformaciones canónicas infinitesimales a valores finitos de $\alpha$ mediante el uso de la misma forma funcional de su generador independientemente del parámetro $\alpha$ . ^{[ 24 ]}

Como consecuencia de que el generador no tenga una dependencia explícita de $\alpha$ , el generador también es implícitamente independiente de $\alpha$ .

${\displaystyle {\frac {dG(\epsilon (\eta$

Esto se puede utilizar para expresar la ecuación diferencial como:

${\frac {d\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha )}{d\alpha }}=\{\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha ),G(\eta ,t)\}_{\eta }=:-{\tilde {G}}\epsilon ^{\mu }$

donde el operador diferencial lineal se define como ${\tilde {G}}:=(\nabla _{\eta }G)^{T}J\nabla _{\eta }$ .

Visión activa de la transformación

Al resolver iterativamente la ecuación diferencial, la solución de la ecuación diferencial es la siguiente: ^{[ 24 ]}

$\epsilon (\eta ,t;\alpha )=\eta +\alpha \{\eta ,G(\eta ,t)\}+{\frac {1}{2!}}\alpha ^{2}\{\{\eta ,G(\eta ,t)\},G(\eta ,t)\}+\cdots =e^{-\alpha {\tilde {G}}}\eta$

Cambio en los valores de la función ${\displaystyle {\frac {df(\epsilon (\eta$ tomando repetidamente en pasos y usando $\epsilon (\eta ,t;0)=\eta$ obtenemos algo similar

${\displaystyle f(e^{-\alpha {\tilde {G}}}\eta ,t)=f(\epsilon (\eta$

Visión pasiva de la transformación

El cambio en una función puede invocarse preservando sus valores en los mismos estados físicos en el espacio de fases como ${\displaystyle f(\epsilon ,t)=f(\epsilon (\eta$ se puede expresar hasta el primer orden como:

${\displaystyle \delta 'f=f'(\epsilon )-f(\epsilon )=f'(\epsilon )-f'(\epsilon ')\approx f(\epsilon (\eta$

Incluir el cambio en la función como una dependencia explícita del parámetro de transformación. $\alpha$ , se puede expresar como $f(\epsilon ,t;\alpha )$ donde depende explícitamente de $\alpha$ de tal manera que ${\frac {\partial f(\epsilon ,t;\alpha )}{\partial \alpha }}=-\{f,G\}$ lo que indica que la función se transforma de forma opuesta a la debida a las coordenadas para preservar un mapeo bien definido de un punto físico en el espacio de fases a sus valores escalares. También es posible que las funciones se transformen sin necesidad de preservar sus valores en los mismos estados físicos en el espacio de fases. Como, por ejemplo, el hamiltoniano cuya dependencia explícita de la transformación canónica puede ser diferente de la forma anterior, reformulada a partir de su derivación previa como

${\frac {\partial H(\epsilon ,t;\alpha )}{\partial \alpha }}={\frac {dG}{dt}}$

lo cual es similar a la relación anterior, pero también tiene en cuenta cualquier dependencia temporal explícita del generador. Por lo tanto, si el hamiltoniano es invariante en la vista pasiva para transformaciones canónicas infinitesimales, su generador es una constante de movimiento. ^{[ 24 ]}

El movimiento como transformación canónica

El movimiento en sí mismo (o, equivalentemente, un cambio en el origen del tiempo) es una transformación canónica. Si $\mathbf {Q} (t)\equiv \mathbf {q} (t+\tau )$ y $\mathbf {P} (t)\equiv \mathbf {p} (t+\tau )$ Entonces, el principio de Hamilton se satisface automáticamente. $\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt=\delta \int _{t_{1}+\tau }^{t_{2}+\tau }\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t+\tau )\right]dt=0$ ya que una trayectoria válida $(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t))$ Siempre debe satisfacer el principio de Hamilton , independientemente de los puntos finales.

Ejemplos

La traducción $\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {q} +\mathbf {a} ,\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {b}$ dónde $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ dos vectores constantes constituyen una transformación canónica. De hecho, la matriz jacobiana es la identidad, que es simpléctica: $I^{\text{T}}JI=J$ .
Colocar $\mathbf {x} =(q,p)$ y $\mathbf {X} =(Q,P)$ , la transformación $\mathbf {X} (\mathbf {x} )=R\mathbf {x}$ dónde $R\in SO(2)$ es una matriz de rotación de orden 2 es canónica. Teniendo en cuenta que las matrices ortogonales especiales obedecen $R^{\text{T}}R=I$ Es fácil ver que el jacobiano es simpléctico. Sin embargo, este ejemplo solo funciona en dimensión 2: $SO(2)$ es el único grupo ortogonal especial en el que cada matriz es simpléctica. Nótese que la rotación aquí actúa sobre $(q,p)$ y no en $q$ y $p$ de forma independiente, por lo que no son lo mismo que una rotación física de un sistema de coordenadas espaciales ortogonales.
La transformación $(Q(q,p),P(q,p))=(q+f(p),p)$ , dónde $f(p)$ es una función arbitraria de $p$ , es canónico. La matriz jacobiana viene dada por ${\frac {\partial X}{\partial x}}={\begin{bmatrix}1&f'(p)\\0&1\end{bmatrix}}$ lo cual es simpléctico.

Descripción matemática moderna

En términos matemáticos, las coordenadas canónicas son cualquier coordenada en el espacio de fases ( fibrado cotangente ) del sistema que permite escribir la forma canónica de orden 1 como $\sum _{i}p_{i}\,dq^{i}$ hasta un diferencial total ( forma exacta ). El cambio de variable entre un conjunto de coordenadas canónicas y otro es una transformación canónica . El índice de las coordenadas generalizadas $q$ se escribe aquí como un superíndice ( $q^{i}$ ), no como subíndice como se hizo anteriormente ( $q_{i}$ El superíndice indica las propiedades de transformación contravariante de las coordenadas generalizadas, y no significa que la coordenada se eleve a una potencia. Para más detalles, consulte el artículo sobre simplectomorfismo .

Historia

La primera aplicación importante de la transformación canónica se produjo en 1846, por Charles Delaunay , en el estudio del sistema Tierra-Luna-Sol . Este trabajo dio como resultado la publicación de dos volúmenes extensos, titulados Mémoires, por la Academia Francesa de Ciencias , en 1860 y 1867.

Véase también

Notas

↑ Goldstein, Poole y Safko 2007 , pág. 370
↑ Goldstein, Poole y Safko 2007 , págs. 381-384
1 2 3 Giacaglia 1972 , págs. 8-9
↑ Lemos 2018 , pág. 255
↑ Hand & Finch 1999 , págs. 250-251
↑ Lanczos 2012 , pág. 121
^ Gupta y Gupta 2008 , pág. 304
↑ Lurie 2002 , pág. 337
↑ Lurie 2002 , págs. 548-550
↑ Goldstein, Poole y Safko 2007 , pág. 373
↑ Johns 2005 , pág. 438
↑ Lurie 2002 , pág. 547
^ Sudarshan y Mukunda 2010 , pág. 58
↑ Johns 2005 , págs. 437-439
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↑ Goldstein, Poole y Safko 2007 , pág. 383
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Referencias

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[1] Goldstein, Poole y Safko 2007 , pág. 370

[2] Goldstein, Poole y Safko 2007 , págs. 381-384

[:0-3] 1 2 3 Giacaglia 1972 , págs. 8-9

[4] Lemos 2018 , pág. 255

[5] Hand & Finch 1999 , págs. 250-251

[6] Lanczos 2012 , pág. 121

[7] Gupta y Gupta 2008 , pág. 304

[8] Lurie 2002 , pág. 337

[9] Lurie 2002 , págs. 548-550

[10] Goldstein, Poole y Safko 2007 , pág. 373

[11] Johns 2005 , pág. 438

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[13] Sudarshan y Mukunda 2010 , pág. 58

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[15] Sudarshan y Mukunda 2010 , págs. 58–60

[16] Giacaglia 1972 , págs. 18-19

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[:1-20] 1 2 Hergert, Heiko (10 de diciembre de 2021). "PHY422/820: Mecánica Clásica" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 22 de diciembre de 2023. Recuperado el 22 de diciembre de 2023 .

[21] Mukunda, N (1976-08-01). "Simetrías y restricciones en la dinámica hamiltoniana generalizada" . Annals of Physics . 99 (2): 408– 433. doi : 10.1016/0003-4916(76)90101-9 . ISSN 0003-4916 .

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[23] Greiner, Walter; Reinhardt, Joachim (1996). Field Quantization . Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. pp. 49–54 . doi : 10.1007/978-3-642-61485-9 . ISBN 978-3-540-78048-9.

[:2-24] Sudarshan y Mukunda 2010 , pág. 50-57

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