corchete de Lagrange

Los corchetes de Lagrange son ciertas expresiones estrechamente relacionadas con los corchetes de Poisson que fueron introducidas por Joseph Louis Lagrange entre 1808 y 1810 con el propósito de formular matemáticamente la mecánica clásica , pero a diferencia de los corchetes de Poisson , han caído en desuso.

Supongamos que ( q ₁ , ..., q _n , p ₁ , ..., p _n ) es un sistema de coordenadas canónicas en un espacio de fases . Si cada una de ellas se expresa como una función de dos variables, u y v , entonces el corchete de Lagrange de u y v se define mediante la fórmula

${\displaystyle [u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right).}$

• Los corchetes de Lagrange no dependen del sistema de coordenadas canónicas ( q , p ). Si ( Q , P )  =  ( Q₁ , ..., Qₙ , _{P₁ , ...} , Pₙ ₎ es otro sistema de coordenadas canónicas, de modo _que$${\displaystyle Q=Q(q,p),P=P(q,p)}$$es una transformación canónica , entonces el corchete de Lagrange es un invariante de la transformación, en el sentido de que$${\displaystyle [u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}}$$Por lo tanto, los subíndices que indican las coordenadas canónicas a menudo se omiten.
• Si Ω es la forma simpléctica en el espacio de fases de 2n dimensiones W y u ₁ ,..., u _2n forman un sistema de coordenadas en W , la forma simpléctica se puede escribir como$${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{2}}\Omega _{ij}du^{i}\wedge du^{j}}$$donde la matriz$${\displaystyle \Omega _{ij}=[u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n}$$representa los componentes de Ω , vistos como un tensor , en las coordenadas u . Esta matriz es la inversa de la matriz formada por los corchetes de Poisson.$${\displaystyle \left(\Omega ^{-1}\right)_{ij}=\{u_{i},u_{j}\},\quad 1\leq i,j\leq 2n}$$de las coordenadas u .
• Como corolario de las propiedades anteriores, las coordenadas ( Q ₁ , ..., Q _n , P ₁ , ..., P _n ) en un espacio de fases son canónicas si y solo si los corchetes de Lagrange entre ellas tienen la forma$${\displaystyle [Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}.}$$

El concepto de corchetes de Lagrange se puede extender al de matrices definiendo la matriz de Lagrange.

Consideremos la siguiente transformación canónica:$${\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{N}\\p_{1}\\\vdots \\p_{N}\\\end{bmatrix}}\quad \rightarrow \quad \varepsilon ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{N}\\P_{1}\\\vdots \\P_{N}\\\end{bmatrix}}}$$

Definición${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$, la matriz de Lagrange se define como${\textstyle {\mathcal {L}}(\eta )=M^{T}JM}$, dónde${\displaystyle J}$es la matriz simpléctica bajo las mismas convenciones utilizadas para ordenar el conjunto de coordenadas. De la definición se deduce que:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[M^{T}JM]_{ij}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial \varepsilon _{N+k}}{\partial \eta _{j}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{N+k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial \varepsilon _{k}}{\partial \eta _{j}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial Q_{k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial P_{k}}{\partial \eta _{j}}}-{\frac {\partial P_{k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial Q_{k}}{\partial \eta _{j}}}\right)=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }}$$

La matriz de Lagrange satisface las siguientes propiedades conocidas:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}^{T}&=-{\mathcal {L}}\\|{\mathcal {L}}|&={|M|^{2}}\\{\mathcal {L}}^{-1}(\eta )&=-M^{-1}J(M^{-1})^{T}=-{\mathcal {P}}(\eta )\\\end{aligned}}}$$donde el${\textstyle {\mathcal {P}}(\eta )}$Se conoce como matriz de Poisson y sus elementos corresponden a corchetes de Poisson . La última identidad también se puede expresar de la siguiente manera:$${\displaystyle \sum _{k=1}^{2N}\{\eta _{i},\eta _{k}\}[\eta _{k},\eta _{j}]=-\delta _{ij}}$$Cabe señalar que la suma en este caso involucra tanto coordenadas generalizadas como momento generalizado.

La invariancia del corchete de Lagrange se puede expresar como: ${\textstyle [\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }=J_{ij}}$, lo que conduce directamente a la condición simpléctica:${\textstyle M^{T}JM=J}$. ^{[ 1 ]}

• mecánica lagrangiana
• mecánica hamiltoniana

• Cornelius Lanczos , Los principios variacionales de la mecánica , Dover (1986), ISBN 0-486-65067-7.
• Iglesias, Patrick, Les origines du calcul symplectique chez Lagrange [Los orígenes del cálculo simpléctico en la obra de Lagrange], L'Enseign. Matemáticas. (2) 44 (1998), núm. 3-4, 257–277. Señor 1659212 

• Eric W. Weisstein . "Soporte de Lagrange" . MundoMatemático .
• AP Soldatov (2001) [1994], "Corchete de Lagrange" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press