Solución de triángulos

El método estándar para resolver el problema consiste en utilizar relaciones fundamentales.

Ley de los cosenos$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \\b^{2}&=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \end{aligned}}}$$

Ley de los senos$${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$$

Suma de ángulos

$${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}$$

Ley de las tangentes$${\displaystyle {\frac {ab}{a+b}}={\frac {\tan {\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.}$$

Existen otras relaciones universales (a veces de utilidad práctica): la ley de las cotangentes y la fórmula de Mollweide .

Sean a, b, c las longitudes de los tres lados . Para hallar los ángulos α, β , se puede utilizar la ley de los cosenos : ^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.\end{aligned}}}$$

Entonces el ángulo γ = 180° − α − β .

Algunas fuentes recomiendan encontrar el ángulo β a partir de la ley de los senos, pero (como se indica en la Nota 1 anterior) existe el riesgo de confundir un valor de ángulo agudo con uno obtuso.

Otro método para calcular los ángulos a partir de lados conocidos es aplicar la ley de las cotangentes .

Área utilizando la fórmula de Herón : ${\displaystyle A={\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}$dónde${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$

Fórmula de Herón sin utilizar el semiperímetro : ${\displaystyle A={\frac {\sqrt {(a+b+c)(b+ca)(a+cb)(a+bc)}}{4}}}$

Aquí se conocen las longitudes de los lados a, b y el ángulo γ entre estos lados. El tercer lado se puede determinar a partir de la ley de los cosenos: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}.}$$ Ahora usamos la ley de los cosenos para hallar el segundo ángulo: $${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.}$$ Finalmente, β = 180° − α − γ .

Este caso no tiene solución en todos los casos; una solución solo está garantizada si la longitud del lado adyacente al ángulo es menor que la longitud del otro lado. Supongamos que se conocen dos lados b, c y el ángulo β . La ecuación para el ángulo γ se puede deducir de la ley de los senos : ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \sin \gamma ={\frac {c}{b}}\sin \beta .}$$ Denotamos además D = ⁠ c / b ⁠ sin β (el lado derecho de la ecuación). Hay cuatro casos posibles:

1. Si D > 1 , no existe tal triángulo porque el lado b no alcanza la línea BC . Por la misma razón, no existe una solución si el ángulo β ≥ 90° y b ≤ c .
2. Si D = 1 , existe una solución única: γ = 90° , es decir, el triángulo es rectángulo .
3. Si D < 1, son posibles dos alternativas.
   1. Si b ≥ c , entonces β ≥ γ (el lado más largo corresponde a un ángulo mayor). Dado que ningún triángulo puede tener dos ángulos obtusos, γ es un ángulo agudo y la solución γ = arcsin D es única.
   2. Si b < c , el ángulo γ puede ser agudo: γ = arcsin D u obtuso: γ ′ = 180° − γ . La figura de la derecha muestra el punto C , el lado b y el ángulo γ como la primera solución, y el punto C ′ , el lado b ′ y el ángulo γ ′ como la segunda solución.

Una vez obtenido γ , el tercer ángulo α = 180° − β − ​​γ .

El tercer lado se puede obtener a partir de la ley de los senos: $${\displaystyle a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}}$$

o de la ley de los cosenos: $${\displaystyle a=c\cos \beta \pm {\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}}$$

Las características conocidas son el lado c y los ángulos α, β , que son adyacentes o adyacentes y opuestos. Ambos casos se resuelven hallando primero el tercer ángulo γ = 180° − α − β .

Entonces, los dos lados desconocidos se pueden calcular a partir de la ley de los senos: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }}=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin(\alpha +\beta )}}\\[4pt]b&=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\end{aligned}}}$$

En muchos casos, los triángulos se pueden resolver conociendo tres datos, algunos de los cuales son las longitudes de las medianas , las alturas o las bisectrices de los ángulos del triángulo . Posamentier y Lehmann ^{[ 7 ]} presentan los resultados para la cuestión de la resolubilidad utilizando solo raíces cuadradas (es decir, constructibilidad ) para cada uno de los 95 casos distintos; 63 de ellos son constructibles.

Datos conocidos: los lados a , b , c (en unidades angulares). Los ángulos del triángulo se calculan utilizando la ley esférica de los cosenos : $${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}},\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}},\\[4pt]\gamma &=\arccos {\frac {\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}}.\end{aligned}}}$$

Se conocen los lados a y b, y el ángulo γ entre ellos. El lado c se puede calcular a partir de la ley esférica de los cosenos : $${\displaystyle c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right).}$$

Los ángulos α y β se pueden calcular como se indicó anteriormente, o utilizando las analogías de Napier:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \ {\frac {2\sin a}{\tan {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(b+a)+\cot {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(ba)}},\\[4pt]\beta &=\arctan \ {\frac {2\sin b}{\tan {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(a+b)+\cot {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(ab)}}.\end{aligned}}}$$

Este problema surge en la navegación para encontrar el círculo máximo entre dos puntos de la Tierra, definidos por su latitud y longitud. En esta aplicación, es importante utilizar fórmulas que no sean susceptibles a errores de redondeo. Para ello, se pueden utilizar las siguientes fórmulas (que pueden derivarse mediante álgebra vectorial): $${\displaystyle {\begin{aligned}c&=\arctan {\frac {\sqrt {(\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma )^{2}+(\sin b\sin \gamma )^{2}}}{\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma }},\\[4pt]\alpha &=\arctan {\frac {\sin a\sin \gamma }{\sin b\cos a-\cos b\sin a\cos \gamma }},\\[4pt]\beta &=\arctan {\frac {\sin b\sin \gamma }{\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma }},\end{aligned}}}$$ donde los signos de los numeradores y denominadores en estas expresiones deben usarse para determinar el cuadrante de la arcotangente.

Este problema no tiene solución en todos los casos; la solución solo está garantizada si la longitud del lado adyacente al ángulo es menor que la del otro lado. Se conocen los lados b y c, y el ángulo β que no está entre ellos. Existe una solución si se cumple la siguiente condición: $${\displaystyle b>\arcsin \!{\bigl (}\sin c\,\sin \beta {\bigr )}.}$$ El ángulo γ se puede obtener a partir de la ley esférica de los senos : $${\displaystyle \gamma =\arcsin {\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}.}$$ En cuanto al caso plano, si b < c entonces hay dos soluciones: γ y 180° - γ .

Podemos encontrar otras características utilizando las analogías de Napier: $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2\arctan \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(b-c)\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta +\gamma )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )}}\right],\\[4pt]\alpha &=2\operatorname {arccot} \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(b+c)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(b-c)}}\right].\end{aligned}}}$$

Se conocen: el lado c y los ángulos α, β . Primero determinamos el ángulo γ usando la ley esférica de los cosenos : $${\displaystyle \gamma =\arccos \!{\bigl (}\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta {\bigr )}.\,}$$

Podemos hallar los dos lados desconocidos a partir de la ley esférica de los cosenos (utilizando el ángulo γ calculado ):

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arccos {\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }},\\[4pt]b&=\arccos {\frac {\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma }{\sin \alpha \sin \gamma }},\end{aligned}}}$$

o utilizando las analogías de Napier: $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arctan {\frac {2\sin \alpha }{\cot {\frac {1}{2}}c\,\sin(\beta +\alpha )+\tan {\frac {1}{2}}c\,\sin(\beta -\alpha )}},\\[4pt]b&=\arctan {\frac {2\sin \beta }{\cot {\frac {1}{2}}c\,\sin(\alpha +\beta )+\tan {\frac {1}{2}}c\,\sin(\alpha -\beta )}}.\end{aligned}}}$$

Se conocen: el lado a y los ángulos α, β . El lado b se puede hallar a partir de la ley esférica de los senos : $${\displaystyle b=\arcsin {\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}.}$$

Si el ángulo del lado a es agudo y α > β , existe otra solución: $${\displaystyle b=\pi -\arcsin {\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}.}$$

Podemos encontrar otras características utilizando las analogías de Napier: $${\displaystyle {\begin{aligned}c&=2\arctan \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\sin {\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}\right],\\[4pt]\gamma &=2\operatorname {arccot} \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\sin {\frac {1}{2}}(a-b)}}\right].\end{aligned}}}$$

Se conocen los ángulos α, β, γ . A partir de la ley esférica de los cosenos, deducimos: $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arccos {\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }},\\[4pt]b&=\arccos {\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }},\\[4pt]c&=\arccos {\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}.\end{aligned}}}$$

Los algoritmos anteriores se simplifican considerablemente si uno de los ángulos de un triángulo (por ejemplo, el ángulo C ) es un ángulo recto . Dicho triángulo esférico queda completamente definido por sus dos elementos, y los otros tres pueden calcularse utilizando el pentágono de Napier o las siguientes relaciones.

${\displaystyle \sin a=\sin c\cdot \sin A}$(a partir de la ley esférica de los senos )

${\displaystyle \tan a=\sin b\cdot \tan A}$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cdot \cos b}$(a partir de la ley esférica de los cosenos )

${\displaystyle \tan b=\tan c\cdot \cos A}$

${\displaystyle \cos A=\cos a\cdot \sin B}$(también de la ley esférica de los cosenos)

${\displaystyle \cos c=\cot A\cdot \cot B}$

Si se desea medir la distancia d desde la costa hasta un barco remoto mediante triangulación, se marcan en la costa dos puntos con una distancia conocida l entre ellos (la línea base). Sean α y β los ángulos entre la línea base y la dirección hacia el barco.

A partir de las fórmulas anteriores (caso ASA, suponiendo geometría plana) se puede calcular la distancia como la altura del triángulo : $${\displaystyle d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }}\ell .}$$

Para el caso esférico, primero se puede calcular la longitud del lado desde el punto en α hasta el barco (es decir, el lado opuesto a β ) mediante la fórmula ASA. $${\displaystyle \tan b={\frac {2\sin \beta }{\cot {\frac {1}{2}}\ell \,\sin(\alpha +\beta )+\tan {\frac {1}{2}}\ell \,\sin(\alpha -\beta )}},}$$ e inserta esto en la fórmula AAS para el subtriángulo recto que contiene el ángulo α y los lados b y d : $${\displaystyle \sin d=\sin b\sin \alpha ={\frac {\tan b}{\sqrt {1+\tan ^{2}b}}}\sin \alpha .}$$ (La fórmula planar es en realidad el primer término del desarrollo de Taylor de d de la solución esférica en potencias de ℓ .)

Este método se utiliza en el cabotaje . Los ángulos α y β se definen mediante la observación de puntos de referencia conocidos desde el barco.

Como otro ejemplo, si se desea medir la altura h de una montaña o un edificio alto, se especifican los ángulos α y β desde dos puntos del suelo hasta la cima. Sea ℓ la distancia entre estos puntos. A partir de las mismas fórmulas del caso ASA obtenemos: $${\displaystyle h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\beta -\alpha )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \beta -\tan \alpha }}\ell .}$$

Para calcular la distancia entre dos puntos del globo terráqueo,

Punto A: latitud λ _A , longitud L _A , y

Punto B: latitud λ _B , longitud L _B

Consideramos el triángulo esférico ABC , donde C es el Polo Norte. Algunas de sus características son: $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=90^{\circ }-\lambda _{B},\\b&=90^{\circ }-\lambda _{A},\\\gamma &=L_{A}-L_{B}.\end{aligned}}}$$ Si se dan dos lados y el ángulo comprendido , obtenemos de las fórmulas $${\displaystyle {\overline {AB}}=R\arccos \!{\Bigr [}\sin \lambda _{A}\sin \lambda _{B}+\cos \lambda _{A}\cos \lambda _{B}\cos(L_{A}-L_{B}){\Bigr ]}.}$$ Aquí R es el radio de la Tierra .