teselado pitagórico

Un teselado pitagórico o teselado de dos cuadrados es un recubrimiento del plano euclidiano con cuadrados de dos tamaños diferentes, en el que cada cuadrado toca cuatro cuadrados del otro tamaño en sus cuatro lados. Muchas demostraciones del teorema de Pitágoras se basan en él, ^{[ 1 ]} lo que explica su nombre. ^{[ 2 ]} Se usa comúnmente como patrón para baldosas de suelo . Cuando se usa para esto, también se conoce como patrón de rayuela ^{[ 3 ]} o patrón de molinete , ^{[ 4 ]} pero no debe confundirse con el teselado matemático de molinete , un patrón no relacionado. ^{[ 5 ]}

Este teselado presenta simetría rotacional cuádruple alrededor de cada uno de sus cuadrados. Cuando la razón entre las longitudes de los lados de los dos cuadrados es un número irracional, como la proporción áurea , sus secciones transversales forman secuencias aperiódicas con una estructura recursiva similar a la palabra de Fibonacci . También se han estudiado generalizaciones de este teselado a tres dimensiones.

El teselado pitagórico es el único teselado mediante cuadrados de dos tamaños diferentes que es unilateral (ningún par de cuadrados tiene un lado común) y equitransitivo (cada par de cuadrados del mismo tamaño se puede transformar uno en otro mediante una simetría del teselado). ^{[ 6 ]}

Topológicamente, el teselado pitagórico tiene la misma estructura que el teselado cuadrado truncado por cuadrados y octágonos regulares . ^{[ 7 ]} Los cuadrados más pequeños en el teselado pitagórico son adyacentes a cuatro teselas más grandes, al igual que los cuadrados en el teselado cuadrado truncado, mientras que los cuadrados más grandes en el teselado pitagórico son adyacentes a ocho vecinos que alternan entre grandes y pequeños, al igual que los octágonos en el teselado cuadrado truncado. Sin embargo, los dos teselados tienen conjuntos de simetrías diferentes, porque el teselado cuadrado truncado es simétrico bajo reflexiones especulares mientras que el teselado pitagórico no lo es. Matemáticamente, esto se puede explicar diciendo que el teselado cuadrado truncado tiene simetría diedral alrededor del centro de cada tesela, mientras que el teselado pitagórico tiene un conjunto cíclico más pequeño de simetrías alrededor de los puntos correspondientes, lo que le da simetría p4 . ^{[ 8 ]} Es un patrón quiral , lo que significa que es imposible superponerlo sobre su imagen especular utilizando únicamente traslaciones y rotaciones .

Un teselado uniforme es aquel en el que cada tesela es un polígono regular y en el que cada vértice se puede mapear a cualquier otro vértice mediante una simetría del teselado. Generalmente, los teselados uniformes también deben tener teselas que se unan borde con borde, pero si se relaja este requisito, existen ocho teselados uniformes adicionales. Cuatro se forman a partir de tiras infinitas de cuadrados o triángulos equiláteros , y tres se forman a partir de triángulos equiláteros y hexágonos regulares . El restante es el teselado pitagórico. ^{[ 9 ]}

Este teselado se llama teselado pitagórico porque ha sido utilizado como base de demostraciones del teorema de Pitágoras por los matemáticos islámicos del siglo IX Al-Nayrizi y Thābit ibn Qurra , y por el matemático aficionado británico del siglo XIX Henry Perigal . ^{[ 2 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} Si los lados de los dos cuadrados que forman el teselado son los números a y b , entonces la distancia más cercana entre puntos correspondientes en cuadrados congruentes es c , donde c es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con lados a y b . ^{[ 13 ]} Por ejemplo, en la ilustración de la izquierda, los dos cuadrados en el teselado pitagórico tienen longitudes de lado de 5 y 12 unidades de largo, y la longitud del lado de las teselas en el teselado cuadrado superpuesto es 13, basado en la terna pitagórica (5,12,13).

Al superponer una cuadrícula cuadrada de lado c sobre el teselado pitagórico, se puede generar una disección de cinco piezas de dos cuadrados desiguales de lados a y b en un solo cuadrado de lado c , lo que demuestra que los dos cuadrados más pequeños tienen la misma área que el más grande. De manera similar, al superponer dos teselados pitagóricos se puede generar una disección de seis piezas de dos cuadrados desiguales en otros dos cuadrados desiguales. ^{[ 10 ]}

Aunque el teselado pitagórico es en sí mismo periódico (tiene una red cuadrada de simetrías traslacionales), sus secciones transversales pueden usarse para generar secuencias aperiódicas unidimensionales . ^{[ 14 ]}

En la «construcción de Klotz» para secuencias aperiódicas (Klotz es una palabra alemana que significa bloque), se forma un teselado pitagórico con dos cuadrados cuyos tamaños se eligen de manera que la razón entre las longitudes de sus lados sea un número irracional x . Luego, se elige una línea paralela a los lados de los cuadrados y se forma una secuencia de valores binarios a partir de los tamaños de los cuadrados que atraviesa la línea: un 0 corresponde a un cuadrado grande y un 1 a un cuadrado pequeño. En esta secuencia, la proporción relativa de 0s y 1s estará en la razón x :1. Esta proporción no se puede lograr con una secuencia periódica de 0s y 1s, porque es irracional, por lo que la secuencia es aperiódica. ^{[ 14 ]} 

Si se elige x como la proporción áurea, la secuencia de 0s y 1s generada de esta manera tiene la misma estructura recursiva que la palabra de Fibonacci : se puede dividir en subcadenas de la forma "01" y "0" (es decir, no hay dos unos consecutivos) y si estas dos subcadenas se reemplazan consistentemente por las cadenas más cortas "0" y "1", entonces resulta otra cadena con la misma estructura. ^{[ 14 ]}

Una aplicación estructural temprana del teselado pitagórico aparece en las obras de Leonardo da Vinci , quien lo consideró entre varios otros patrones potenciales para vigas de piso . ^{[ 15 ]} Este teselado también se ha utilizado durante mucho tiempo con fines decorativos, para baldosas de piso u otros patrones similares, como puede verse, por ejemplo, en la pintura de Jacob Ochtervelt , Músicos callejeros en la puerta (1665). ^{[ 2 ]} Se ha sugerido que ver un teselado similar en el palacio de Polícrates pudo haber proporcionado a Pitágoras la inspiración original para su teorema. ^{[ 13 ]}

Según la conjetura de Keller , cualquier teselado del plano con cuadrados congruentes debe incluir dos cuadrados que se toquen borde con borde. ^{[ 16 ]} Ninguno de los cuadrados del teselado pitagórico se toca borde con borde, ^{[ 6 ]} pero este hecho no viola la conjetura de Keller porque las teselas tienen tamaños diferentes, por lo que no todas son congruentes entre sí.

El teselado pitagórico puede generalizarse a un teselado tridimensional del espacio euclidiano mediante cubos de dos tamaños diferentes, que también es unilateral y equitransitivo. Attila Bölcskei denomina a este teselado tridimensional el relleno de Rogers . Conjetura que, en cualquier dimensión mayor que tres, existe de nuevo una única manera unilateral y equitransitiva de teselar el espacio mediante hipercubos de dos tamaños diferentes. ^{[ 17 ]}

Burns y Rigby encontraron varios prototiles , incluido el copo de nieve de Koch , que pueden usarse para teselar el plano solo usando copias del prototile en dos o más tamaños diferentes. ^{[ 18 ]} Un artículo anterior de Danzer, Grünbaum y Shephard proporciona otro ejemplo, un pentágono convexo que tesela el plano solo cuando se combina en dos tamaños. ^{[ 19 ]} Aunque el teselado pitagórico usa cuadrados de dos tamaños diferentes, el cuadrado no tiene la misma propiedad que estos prototiles de teselar solo por semejanza, porque también es posible teselar el plano usando solo cuadrados de un solo tamaño.