Azulejos uniformes

En geometría , una teselación uniforme es una teselación del plano mediante caras de polígonos regulares con la restricción de ser transitiva por vértices .

Las teselas uniformes pueden existir tanto en el plano euclidiano como en el plano hiperbólico . Las teselas uniformes están relacionadas con los poliedros uniformes finitos ; estos pueden considerarse teselas uniformes de la esfera .

La mayoría de los teselados uniformes se pueden realizar a partir de una construcción de Wythoff que comienza con un grupo de simetría y un punto generador singular dentro del dominio fundamental . Un grupo de simetría planar tiene un dominio fundamental poligonal y se puede representar mediante su notación de grupo: la secuencia de los órdenes de reflexión de los vértices del dominio fundamental.

Un triángulo de dominio fundamental se denota ( pqr ), donde p , q , r son números enteros > 1, es decir ≥ 2; un triángulo rectángulo de dominio fundamental se denota ( pq 2). El triángulo puede existir como un triángulo esférico , un triángulo plano euclidiano o un triángulo plano hiperbólico, dependiendo de los valores de p , q y r .

Existen varios esquemas simbólicos para denotar estas figuras:

• El símbolo de Schläfli modificado para un dominio de triángulo rectángulo: ( pq 2) → { p , q }.
• El diagrama de Coxeter-Dynkin es un gráfico triangular con p , q y r etiquetados en los bordes. Si r = 2, entonces el gráfico es lineal, ya que los nodos del diagrama con conectividad 2 no están conectados entre sí por una rama del diagrama (ya que los espejos de dominio que se encuentran a 90 grados no generan nuevos espejos).
• El símbolo de Wythoff toma los tres números enteros y los separa mediante una barra vertical (|). Si el punto generador está fuera del espejo opuesto a un vértice del dominio, entonces el orden de reflexión de este vértice del dominio se da antes de la barra.
• Finalmente, un mosaico uniforme puede describirse por su configuración de vértices : la secuencia (idéntica) de polígonos alrededor de cada vértice (equivalente).

Todos los teselados uniformes se pueden construir a partir de varias operaciones aplicadas a los teselados regulares . Estas operaciones, como las nombró Norman Johnson , se denominan truncamiento (cortar vértices), rectificación (cortar vértices hasta que desaparezcan las aristas) y cantelación (cortar aristas y vértices). El omnitruncamiento es una operación que combina el truncamiento y la cantelación. El snubbing es una operación de truncamiento alterno de la forma omnitruncada. (Consulte los operadores de construcción de poliedros uniformes#Wythoff para obtener más detalles).

Los grupos de Coxeter para el plano definen la construcción de Wythoff y pueden representarse mediante diagramas de Coxeter-Dynkin :

Para grupos con órdenes de reflexión de números enteros, incluidos:

En el plano euclidiano existen grupos de simetría formados a partir de triángulos fundamentales: (4 4 2), (6 3 2) y (3 3 3). Cada uno de ellos está representado por un conjunto de líneas de reflexión que dividen el plano en triángulos fundamentales.

Estos grupos de simetría crean 3 teselas regulares y 7 teselas semirregulares. Varias de las teselas semirregulares se repiten a partir de diferentes constructores de simetría.

Un grupo de simetría prismático (2 2 2 2) está representado por dos conjuntos de espejos paralelos, que en general pueden formar un dominio fundamental rectangular. No genera nuevos teselados.

Otro grupo de simetría prismática, (∞ 2 2), tiene un dominio fundamental infinito. Construye dos teselas uniformes: el prisma apeirogonal y el antiprisma apeirogonal .

El apilamiento de las caras finitas de estos dos mosaicos prismáticos construye un mosaico uniforme no wythoffiano del plano, llamado mosaico triangular alargado , compuesto por capas alternadas de cuadrados y triángulos.

Triángulos rectos fundamentales: ( pq 2)

Triángulos fundamentales generales: ( pqr )

Dominios fundamentales no simples

El único dominio fundamental posible en el espacio euclidiano 2 que no es un símplex es el rectángulo (∞ 2 ∞ 2), con diagrama de Coxeter :Todas las formas generadas a partir de él se convierten en un mosaico cuadrado .

Hay infinitas teselas uniformes de polígonos regulares convexos en el plano hiperbólico , cada una basada en un grupo de simetría reflexiva diferente ( pqr ).

Aquí se muestra una muestra con una proyección de disco de Poincaré .

El diagrama de Coxeter-Dynkin se presenta en forma lineal, aunque en realidad es un triángulo, con el segmento final r conectado al primer nodo.

Existen otros grupos de simetría en el plano hiperbólico con dominios fundamentales cuadriláteros —empezando por (2 2 2 3), etc.— que pueden generar nuevas formas. Asimismo, existen dominios fundamentales que colocan vértices en el infinito, como (∞ 2 3), etc.

Triángulos rectos fundamentales: ( pq 2)

Triángulos fundamentales generales: ( pqr )

Hay varias formas de ampliar la lista de mosaicos uniformes:

1. Las figuras de vértice pueden tener caras retrógradas y girar alrededor del vértice más de una vez.
2. Se pueden incluir mosaicos poligonales en forma de estrella .
3. Los apeirógonos , {∞}, se pueden utilizar como caras de mosaico.
4. También se pueden utilizar zigzags (apeirogonos que alternan entre dos ángulos).
5. La restricción de que las fichas se encuentren borde con borde se puede relajar, lo que permite mosaicos adicionales, como el mosaico pitagórico .

Los triángulos del grupo de simetría con retrógrados incluyen:

(4/3 4/3 2), (6 3/2 2), (6/5 3 2), (6 6/5 3), (6 6 3/2).

Los triángulos del grupo de simetría con infinito incluyen:

(4 4/3 ∞), (3/2 3 ∞), (6 6/5 ∞), (3 3/2 ∞).

Branko Grünbaum y GC Shephard , en el libro Tilings and patterns de 1987 , sección 12.3, enumeran una lista de 25 teselados uniformes, incluyendo las 11 formas convexas, y añaden 14 más que denominan teselados huecos , utilizando las dos primeras expansiones anteriores: caras de polígonos en estrella y figuras de vértices generalizadas. ^[1]

HSM Coxeter , MS Longuet-Higgins y JCP Miller , en el artículo de 1954 'Uniform polyhedra', Table 8: Uniform Tessellations , utilizan las tres primeras expansiones y enumeran un total de 38 teselados uniformes. Si también se cuenta un teselado formado por 2 apeirógonos, el total puede considerarse 39 teselados uniformes.

En 1981, Grünbaum, Miller y Shephard, en su artículo Uniform Tilings with Hollow Tiles , enumeran 25 teselados utilizando las dos primeras expansiones y 28 más cuando se añade la tercera (lo que da un total de 53 utilizando la definición de Coxeter et al .). Cuando se añade la cuarta, enumeran 23 teselados uniformes adicionales y 10 familias (8 en función de parámetros continuos y 2 en función de parámetros discretos). ^[2]

Además de las 11 soluciones convexas, a continuación se muestran las 28 teselas estelares uniformes enumeradas por Coxeter et al. , agrupadas por gráficos de aristas compartidas, seguidas de otras 15 enumeradas por Grünbaum et al. que cumplen con la definición de Coxeter et al . pero que ellos no incluyeron.

No se ha demostrado que este conjunto sea completo. Por "2,25" se entiende el mosaico 25 de la tabla 2 de Grünbaum et al . de 1981.

Los tres mosaicos siguientes son excepcionales, ya que solo hay un número finito de un tipo de cara: dos apeirógonos en cada uno. A veces, el mosaico apeirógono de orden 2 no se incluye, ya que sus dos caras se encuentran en más de un borde.

Para mayor claridad, los mosaicos no están coloreados a partir de aquí (debido a las superposiciones). Se resalta un conjunto de polígonos alrededor de un vértice. McNeill solo enumera los mosaicos proporcionados por Coxeter et al . (1954). Los once mosaicos uniformes convexos se han repetido como referencia.

Existen dos teselación uniforme para la configuración de vértices 4.8.-4.8.-4.∞ (Grünbaum et al. , 2.10 y 2.11) y también dos teselación uniforme para la configuración de vértices 4.8/3.4.8/3.-4.∞ (Grünbaum et al. , 2.12 y 2.13), con diferentes simetrías. También existe una tercera teselación para cada configuración de vértice que es solo pseudo-uniforme (los vértices vienen en dos órbitas de simetría). Utilizan diferentes conjuntos de caras cuadradas. Por lo tanto, para las teselación euclidianas de estrellas, la configuración de vértices no determina necesariamente la teselación. ^[2]

En las imágenes que aparecen a continuación, los cuadrados incluidos con bordes horizontales y verticales están marcados con un punto central. Un solo cuadrado tiene los bordes resaltados. ^[2]

• 
  2.10 y 2.12 (p4m)
• 
  2.11 y 2.13 (pág. 4)
• 
  Pseudo-uniform

Los teselados con zigzags se enumeran a continuación. {∞ ^𝛼 } denota un zigzag con ángulo 0 < 𝛼 < π. El apeirógono puede considerarse el caso especial 𝛼 = π. Las simetrías se dan para el caso genérico, pero a veces hay valores especiales de 𝛼 que aumentan la simetría. Los teselados 3.1 y 3.12 pueden incluso volverse regulares; 3.32 ya lo es (no tiene parámetros libres). A veces, hay valores especiales de 𝛼 que hacen que el teselado se degenere. ^[2]

Los pares de teselas 3.17 y 3.18, así como 3.19 y 3.20, tienen configuraciones de vértices idénticas pero simetrías diferentes. ^[2]

Los mosaicos 3.7 a 3.10 tienen la misma disposición de bordes que 2.1 y 2.2; 3.17 a 3.20 tienen la misma disposición de bordes que 2.10 a 2.13; 3.21 a 3.24 tienen la misma disposición de bordes que 2.18 a 2.23; y 3.25 a 3.33 tienen la misma disposición de bordes que 1.25 (el mosaico triangular regular). ^[2]

Un mosaico también puede ser autodual . El mosaico cuadrado, con el símbolo de Schläfli {4,4}, es autodual; aquí se muestran dos mosaicos cuadrados (rojo y negro), duales entre sí.

Ver un polígono estrella regular como un polígono isotoxal simple no convexo con el doble de lados (más cortos) pero alternando los mismos ángulos internos "externos" e "internos" permite utilizar polígonos estrella regulares en un mosaico, y ver polígonos isotoxales simples como "regulares" permite utilizar polígonos estrella regulares (pero no todos pueden) en un mosaico "uniforme".

Además, los contornos de ciertos polígonos estrella isotoxales no regulares son polígonos isotoxales (simples) no convexos con tantos lados (más cortos) y alternando los mismos ángulos internos externos e "internos"; ver este tipo de polígonos estrella isotoxales como sus contornos permite usarlos en un mosaico, y ver los polígonos isotoxales simples como "regulares" permite que este tipo de polígonos estrella isotoxales (pero no todos ellos pueden) usarse en un mosaico "uniforme".

Un isotoxal simple 2 n -gono con ángulo interno externo 𝛼 se denota por { n _𝛼 }; sus vértices externos se etiquetan como n^*
_𝛼, y los interiores como n^**
_𝛼.

Estas ampliaciones de la definición de teselación requieren que las esquinas con solo 2 polígonos no se consideren vértices —ya que la configuración de vértices para vértices con al menos 3 polígonos es suficiente para definir una teselación "uniforme" de este tipo, y por lo tanto esta última tiene una configuración de vértice correcta (de lo contrario tendría dos)—. Hay 4 teselación uniforme de este tipo con ángulos ajustables 𝛼, y 18 teselación uniforme de este tipo que solo funcionan con ángulos específicos, lo que da un total de 22 teselación uniforme que utilizan polígonos en estrella. ^[4]

Todos estos mosaicos, con posibles vértices de orden 2 ignorados, con posibles aristas dobles y aristas triples reducidas a aristas simples, están relacionados topológicamente con los mosaicos uniformes ordinarios (que utilizan solo polígonos regulares convexos).

Los isotoxales no regulares, ya sean estrellas o simples 2 n -gonos, siempre alternan dos ángulos. Los isotoxales simples 2 n -gonos, { n _𝛼 }, pueden ser convexos ; los más simples son los rombos (2×2-gonos), {2 _𝛼 }. Considerar estos { n _𝛼 } convexos como polígonos "regulares" permite considerar más teselas como "uniformes".

• Símbolo de Wythoff
• Lista de teselados uniformes
• Teselación uniforme en el plano hiperbólico
• Politopo uniforme

• Manuscrito de politopos uniformes de Norman Johnson (1991)
  • NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales de abejas , tesis doctoral, Universidad de Toronto, 1966
• Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Mosaicos y patrones . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1.(Sección 12.3 de mosaicos de estrellas)
• HSM Coxeter , MS Longuet-Higgins , JCP Miller , Poliedros uniformes , Phil. Trans. , 1954, 246 A, 401–50 JSTOR  91532 (Tabla 8)

• Weisstein, Eric W. "Teselación uniforme". MundoMatemático .
• Teselaciones uniformes en el plano euclidiano
• Teselaciones del plano
• El mundo de teselaciones de David Bailey
• mosaicos k-uniformes
• teselados n-uniformes
• Klitzing, Richard. "Teselados euclidianos 4D".