Prototile

En matemáticas , un prototile es una de las formas de una tesela en una teselación . ^{[ 1 ]}

Una teselación del plano o de cualquier otro espacio es una cubierta del espacio mediante figuras cerradas , llamadas teselas, que tienen interiores disjuntos . Algunas de las teselas pueden ser congruentes con una o más. Si S es el conjunto de teselas en una teselación, un conjunto R de figuras se denomina conjunto de prototeselas si no hay dos figuras en R que sean congruentes entre sí, y cada tesela en S es congruente con una de las figuras en R. ^{[ 2 ]}

Es posible elegir muchos conjuntos diferentes de prototiles para un teselado: al trasladar o rotar cualquiera de los prototiles se obtiene otro conjunto válido. Sin embargo, cada conjunto de prototiles tiene la misma cardinalidad , por lo que el número de prototiles está bien definido. Se dice que un teselado es monoédrico si tiene exactamente un prototile.

Se dice que un conjunto de prototiles es aperiódico si todo recubrimiento con esos prototiles es un recubrimiento aperiódico . En marzo de 2023, cuatro investigadores, Chaim Goodman-Strauss , David Smith , Joseph Samuel Myers y Craig S. Kaplan, anunciaron el descubrimiento de un prototil (monotil) monoédrico aperiódico y una prueba de que el mosaico descubierto por David Smith es un monotil aperiódico, es decir, una solución a un problema de Einstein abierto de larga data . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

En dimensiones superiores, el problema ya se había resuelto: la tesela de Schmitt-Conway-Danzer es la tesela prototípeda de un recubrimiento monoédrico aperiódico del espacio euclidiano tridimensional y no puede recubrir el espacio periódicamente.