Triángulo de Kepler

Un triángulo de Kepler es un triángulo rectángulo especial con longitudes de lados en progresión geométrica . La razón de la progresión es${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$dónde${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$es la proporción áurea , y la progresión se puede escribir:${\displaystyle 1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi }$o aproximadamente${\displaystyle 1:1.272:1.618}$. Los cuadrados en los bordes de este triángulo tienen áreas en otra progresión geométrica,${\displaystyle 1:\varphi$ :\varphi ^{2}} . Definiciones alternativas del mismo triángulo lo caracterizan en términos de las tres medias pitagóricas de dos números, o a través del radio interno de triángulos isósceles .

Este triángulo recibe su nombre de Johannes Kepler , pero se puede encontrar en fuentes anteriores. Si bien algunas fuentes afirman que las antiguas pirámides egipcias tenían proporciones basadas en un triángulo de Kepler, la mayoría de los estudiosos creen que la proporción áurea era desconocida para las matemáticas y la arquitectura egipcias.

El triángulo de Kepler recibe su nombre del matemático y astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630), quien escribió sobre esta figura en una carta de 1597. ^{[ 1 ]} Dos conceptos que pueden utilizarse para analizar este triángulo, el teorema de Pitágoras y la proporción áurea, fueron de interés para Kepler, como escribió en otro lugar:

La geometría posee dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras, el otro la división de una línea en razón media y extrema. El primero podemos compararlo con una masa de oro, el segundo con una joya preciosa. ^{[ 2 ]}

Sin embargo, Kepler no fue el primero en describir este triángulo. ^{[ 3 ]} El propio Kepler se lo atribuyó a "un profesor de música llamado Magirus". ^{[ 1 ]} El mismo triángulo aparece anteriormente en un libro de matemáticas árabes , el Liber mensurationum de Abû Bekr, conocido por una traducción al latín del siglo XII realizada por Gerard de Cremona , ^{[ 3 ] [ 4 ]} y en la Practica geometriae de Fibonacci (publicada en 1220-1221), quien lo definió de manera similar a Kepler. ^{[ 3 ] [ 5 ]} Un poco antes que Kepler, Pedro Nunes escribió sobre él en 1567, y es "probablemente extendido en las tradiciones manuscritas de finales de la Edad Media y el Renacimiento". ^{[ 3 ]} También ha sido redescubierto de forma independiente varias veces, después de Kepler. ^{[ 1 ]}

Según algunos autores, una "pirámide dorada" con un triángulo de Kepler duplicado como sección transversal describe con precisión el diseño de las pirámides egipcias, como la Gran Pirámide de Giza ; una fuente de esta teoría es una interpretación errónea de Heródoto del siglo XIX por parte del piramidólogo John Taylor. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Se han propuesto muchas otras teorías de proporción para la misma pirámide, no relacionadas con el triángulo de Kepler. ^{[ 1 ] [ 6 ] [ 8 ]} Debido a que estas diferentes teorías son muy similares en los valores numéricos que obtienen, y debido a imprecisiones en la medición, causadas en parte por la destrucción de la superficie exterior de la pirámide, tales teorías son difíciles de resolver basándose únicamente en evidencia física. ^{[ 6 ] [ 9 ]} La coincidencia en las proporciones con el triángulo de Kepler bien podría ser una coincidencia numérica: según los estudiosos que han investigado esta relación, lo más probable es que los antiguos egipcios no conocieran ni utilizaran la proporción áurea en sus matemáticas o arquitectura. ^{[ 1 ] [ 8 ] [ 10 ] [ 11 ]} En cambio, las proporciones de la pirámide se pueden explicar adecuadamente utilizando razones enteras, basadas en un triángulo rectángulo con lados 11 y 14. ^{[ 1 ] [ 6 ]}

El nombre «triángulo de Kepler» para esta figura fue utilizado por Roger Herz-Fischler, basándose en la carta de Kepler de 1597, ya en 1979. ^{[ 7 ]} Otro nombre para el mismo triángulo, utilizado por Matila Ghyka en su libro de 1946 sobre la proporción áurea, La geometría del arte y la vida , es el «triángulo de Price», en honor al piramidólogo W. A. ​​Price. ^{[ 12 ]}

El triángulo de Kepler se define de forma única por las propiedades de ser un triángulo rectángulo y de tener las longitudes de sus lados en progresión geométrica, o equivalentemente, tener los cuadrados de sus lados en progresión geométrica. La razón de la progresión de las longitudes de los lados es${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$, dónde${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$es la proporción áurea , y la progresión se puede escribir:${\displaystyle 1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi }$, o aproximadamente 1  : 1,272  : 1,618. Los cuadrados en los bordes de este triángulo tienen áreas en otra progresión geométrica,${\displaystyle 1:\varphi$ :\varphi ^{2}} . El hecho de que el triángulo con estas proporciones sea un triángulo rectángulo se deduce del hecho de que, para longitudes de lados al cuadrado con estas proporciones, el polinomio definitorio de la proporción áurea es el mismo que la fórmula dada por el teorema de Pitágoras para las longitudes de lados al cuadrado de un triángulo rectángulo: $${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1.}$$ Debido a que esta ecuación es verdadera para la proporción áurea, estas tres longitudes obedecen el teorema de Pitágoras y forman un triángulo rectángulo. Por el contrario, en cualquier triángulo rectángulo cuyas longitudes de los lados al cuadrado estén en progresión geométrica con cualquier proporción${\displaystyle \rho }$El teorema de Pitágoras implica que esta razón obedece a la identidad${\displaystyle \rho ^{2}=\rho +1}$Por lo tanto, la razón debe ser la única solución positiva de esta ecuación, la razón áurea, y el triángulo debe ser un triángulo de Kepler. ^{[ 1 ]}

Las tres longitudes de los bordes${\displaystyle 1}$,${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$y${\displaystyle \varphi }$son la media armónica , la media geométrica y la media aritmética , respectivamente, de los dos números${\displaystyle \varphi \pm 1}$[ ^{13 ] [ 14 ] Estas tres formas de combinar dos números fueron estudiadas en las matemáticas de la antigua Grecia} y se denominan medias pitagóricas . ^{[ 15 ]} A la inversa, esto puede tomarse como una definición alternativa del triángulo de Kepler: es un triángulo rectángulo cuyas longitudes de los lados son las tres medias pitagóricas de dos números. Los únicos triángulos para los que esto es cierto son los triángulos de Kepler. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

Una tercera forma equivalente de definir este triángulo proviene de un problema de maximización del radio interno de triángulos isósceles . Entre todos los triángulos isósceles con una elección fija de la longitud de los dos lados iguales, pero con una longitud de base variable, el que tiene el mayor radio interno se forma a partir de dos copias del triángulo de Kepler, reflejadas una respecto a la otra a través de sus lados más largos. Por lo tanto, el triángulo de Kepler puede definirse como el triángulo rectángulo que, entre todos los triángulos rectángulos con la misma hipotenusa, forma con su reflexión el triángulo isósceles de máximo radio interno. ^{[ 16 ]} La misma reflexión también forma un triángulo isósceles que, para un perímetro dado, contiene el semicírculo más grande posible . ^{[ 17 ]}

Si el lado corto de un triángulo de Kepler tiene longitud${\displaystyle s}$, los otros lados tendrán longitudes${\displaystyle s{\sqrt {\varphi }}}$y${\displaystyle s\varphi }$El área se puede calcular mediante la fórmula estándar para el área de triángulos rectángulos (la mitad del producto de los dos lados cortos) como${\displaystyle {\tfrac {s^{2}}{2}}{\sqrt {\varphi }}}$. El coseno del mayor de los dos ángulos no rectos es la razón entre el lado adyacente (el más corto de los dos lados) y la hipotenusa,${\displaystyle \varphi }$, de lo cual se deduce que los dos ángulos no rectos son ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle \theta =\sin ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 38.1727^{\circ }}$$ y $${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 51.8273^{\circ }.}$$

Jerzy Kocik ha observado que el mayor de estos dos ángulos es también el ángulo formado por los centros de tríos de círculos consecutivos en la secuencia loxodrómica de círculos tangentes de Coxeter . ^{[ 18 ]}

• Triángulo automediano , un triángulo cuyos lados al cuadrado forman una progresión aritmética, incluido el triángulo rectángulo con lados de longitud${\displaystyle 1:{\sqrt {2}}:{\sqrt {3}}}$
• Triángulo áureo , un triángulo isósceles cuya relación entre la base y la longitud de sus lados es la proporción áurea.