Pirámide cuadrada

Una pirámide cuadrada tiene cinco vértices, ocho aristas y cinco caras. Una cara, llamada base de la pirámide, es un cuadrado ; las otras cuatro caras son triángulos . ^{[ 2 ]} Cuatro de las aristas forman el cuadrado al conectar sus cuatro vértices. Las otras cuatro aristas se conocen como aristas laterales de la pirámide; se unen en el quinto vértice, llamado ápice . ^{[ 3 ]} Si el ápice de la pirámide se encuentra sobre una línea perpendicular trazada desde el centro del cuadrado, la pirámide cuadrada se convierte en una pirámide recta, y las cuatro caras triangulares son triángulos isósceles . De lo contrario, la pirámide tiene dos o más caras triangulares no isósceles. ^{[ 4 ]}

La altura inclinada${\displaystyle s}$La altura de una pirámide cuadrada recta se define como la altura de uno de sus triángulos isósceles. Se puede obtener mediante el teorema de Pitágoras : $${\displaystyle s={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}},}$$ dónde${\displaystyle l}$es la longitud de la base del triángulo, también uno de los lados del cuadrado, y${\displaystyle b}$es la longitud de los lados del triángulo, que son aristas laterales de la pirámide. ^{[ 5 ]} La altura${\displaystyle h}$de una pirámide cuadrada recta se puede obtener de manera similar, con una sustitución de la fórmula de la altura inclinada que da como resultado: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle h={\sqrt {s^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}}={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{2}}}}.}$$El área de la superficie de un poliedro es la suma de las áreas de sus caras. El área de la superficie${\displaystyle A}$de una pirámide cuadrada recta se puede expresar como${\displaystyle A=4T+S}$, dónde${\displaystyle T}$y${\displaystyle S}$son las áreas de uno de sus triángulos y su base, respectivamente. El área de un triángulo es la mitad del producto de su base y su lado, mientras que el área de un cuadrado es la longitud de su lado al cuadrado. Esto da la expresión: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle A=4\left({\frac {1}{2}}ls\right)+l^{2}=2ls+l^{2}.}$$ En general, el volumen${\displaystyle V}$de una pirámide es igual a un tercio del área de su base multiplicada por su altura. ^{[ 8 ]} Expresado en una fórmula para una pirámide cuadrada, esto es: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle V={\frac {1}{3}}l^{2}h.}$$

Muchos matemáticos descubrieron la fórmula para calcular el volumen de una pirámide cuadrada en la antigüedad. En el Papiro Matemático de Moscú , los matemáticos egipcios demostraron conocer la fórmula para calcular el volumen de una pirámide cuadrada truncada , lo que sugiere que también estaban familiarizados con el volumen de una pirámide cuadrada, pero se desconoce cómo se derivó la fórmula. Además del descubrimiento del volumen de una pirámide cuadrada, el problema de encontrar la pendiente y la altura de una pirámide cuadrada se puede encontrar en el Papiro Matemático de Rhind . ^{[ 10 ]} Los matemáticos babilonios también consideraron el volumen de un tronco de pirámide, pero dieron una fórmula incorrecta para ello. ^{[ 11 ]} Un matemático chino, Liu Hui, también descubrió el volumen mediante el método de disección de un sólido rectangular en piezas. ^{[ 12 ]}

Al igual que otras pirámides rectas con un polígono regular como base, una pirámide cuadrada recta tiene simetría piramidal , la simetría del grupo cíclico.${\displaystyle C_{4\mathrm {v} }}$La pirámide permanece invariante ante rotaciones de uno, dos y tres cuartos de vuelta completa alrededor de su eje de simetría , la línea que conecta el vértice con el centro de la base; y también es simétrica respecto a cualquier plano perpendicular que pase por la bisectriz de la base. ^{[ 1 ]} Puede representarse como el gráfico de la rueda${\displaystyle W_{4}}$, lo que significa que su esqueleto puede interpretarse como un cuadrado en el que sus cuatro vértices conectan un vértice en el centro llamado vértice universal . ^{[ 13 ]} Es autodual , lo que significa que su poliedro dual es la propia pirámide cuadrada. ^{[ 14 ]}

Si todos los lados triangulares tienen la misma longitud, los cuatro triángulos son equiláteros y las caras de la pirámide son todas polígonos regulares . ^{[ 15 ]} Los ángulos diedros entre caras triangulares adyacentes son${\textstyle \arccos(-{\frac {1}{3}})\approx 109.47^{\circ }}$y que entre la base y cada cara triangular sea la mitad de eso,${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.74^{\circ }}$[ ^{1 ]} Un poliedro convexo cuyas caras son polígonos regulares se denomina sólido de Johnson . Entre ellos se encuentra una pirámide cuadrada, catalogada como el primer sólido de Johnson ^.${\displaystyle J_{1}}$. ^{[ 16 ]}

Porque sus bordes son todos iguales en longitud (es decir,${\displaystyle b=l}$), su inclinación, altura, área de superficie y volumen se pueden derivar sustituyendo las fórmulas de una pirámide recta: ^{[ 17 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}s={\frac {\sqrt {3}}{2}}l\approx 0.866l,&\qquad h={\frac {1}{\sqrt {2}}}l\approx 0.707l,\\A=(1+{\sqrt {3}})l^{2}\approx 2.732l^{2},&\qquad V={\frac {\sqrt {2}}{6}}l^{3}\approx 0.236l^{3}.\end{aligned}}}$$

Una pirámide cuadrada equilátera es un poliedro elemental . Esto significa que no se puede separar mediante un plano para crear dos poliedros convexos pequeños con caras regulares. ^{[ 18 ]}