Simetría cíclica en tres dimensiones

En geometría tridimensional , hay cuatro series infinitas de grupos de puntos en tres dimensiones ( n ≥1) con simetría rotacional o reflexiva n veces mayor alrededor de un eje (en un ángulo de 360°/ n ) que no cambia el objeto.

Son los grupos de simetría finitos sobre un cono . Para n = ∞ corresponden a cuatro grupos de frisos . Se utiliza la notación de Schönflies . Los términos horizontal (h) y vertical (v) implican la existencia y dirección de reflexiones respecto de un eje de simetría vertical. También se muestran entre corchetes la notación de Coxeter y, entre paréntesis, la notación orbifold .

Quiral

• C _n , [n] ⁺ , ( nn ) de orden n -simetría rotacional n -plegable - grupo acro-n-gonal (grupo abstracto Z _n ); para n =1: sin simetría ( grupo trivial )

Aquiral

• C _nh , [n ⁺ ,2], ( n *) de orden 2 n - simetría prismática o grupo orto-n-gonal (grupo abstracto Z _n × Dih ₁ ); para n = 1 esto se denota por C _s (1*) y se llama simetría de reflexión , también simetría bilateral . Tiene simetría de reflexión con respecto a un plano perpendicular al eje de rotación n -fold .
• C _nv , [n], (* nn ) de orden 2 n - simetría piramidal o grupo acro-n-gonal completo (grupo abstracto Dih _n ); en biología C _2v se llama simetría birradial . Para n = 1 tenemos de nuevo C _s (1*). Tiene planos de simetría verticales. Este es el grupo de simetría para una pirámide regular de n lados.
• S _2n , [2 ⁺ ,2n ⁺ ], ( n ×) de orden 2 n - grupo giro-n-gonal (no confundir con grupos simétricos , para los que se utiliza la misma notación; grupo abstracto Z _2n ); tiene un eje de rotoreflexión 2 n -vez, también llamado eje de rotación impropia 2 n -vez, es decir, el grupo de simetría contiene una combinación de una reflexión en el plano horizontal y una rotación en un ángulo 180°/n. Por lo tanto, como D _nd , contiene un número de rotaciones impropias sin contener las rotaciones correspondientes.
  • para n = 1 tenemos S ₂ ( 1× ), también denotado por C _i ; esta es simetría de inversión .

C _2h , [2,2 ⁺ ] (2*) y C _2v , [2], (*22) de orden 4 son dos de los tres tipos de grupos de simetría 3D con el grupo de cuatro de Klein como grupo abstracto. C _2v se aplica, por ejemplo, a una baldosa rectangular con su lado superior diferente de su lado inferior.

En el límite, estos cuatro grupos representan grupos de frisos del plano euclidiano como C _∞ , C _∞h , C _∞v y S _∞ . Las rotaciones se convierten en traslaciones en el límite. Las porciones del plano infinito también se pueden cortar y conectar para formar un cilindro infinito.

• Simetría diedral en tres dimensiones

• Sands, Donald E. (1993). "Sistemas cristalinos y geometría". Introducción a la cristalografía . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. pág. 165. ISBN 0-486-67839-3.
• Sobre cuaterniones y octoniones , 2003, John Horton Conway y Derek A. Smith ISBN 978-1-56881-134-5 
• Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5 
• Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
• NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11.5 Grupos de Coxeter esféricos