Prisma pentagonal aumentado

En geometría , el prisma pentagonal aumentado es un poliedro que se puede construir uniendo una pirámide cuadrada equilátera a la cara cuadrada de un prisma pentagonal . Es un ejemplo de sólido de Johnson .

El prisma pentagonal aumentado se puede construir a partir de un prisma pentagonal uniendo una pirámide cuadrada equilátera a una de sus caras cuadradas, un proceso conocido como aumento . ^{[ 1 ]} Esta pirámide cuadrada cubre la cara cuadrada del prisma, por lo que el poliedro resultante tiene cuatro triángulos equiláteros , cuatro cuadrados y dos pentágonos regulares como caras. ^{[ 2 ]} Un poliedro convexo cuyas caras son todas regulares es un sólido de Johnson , y el prisma pentagonal aumentado se encuentra entre ellos, catalogado como el 52.º sólido de Johnson.${\displaystyle J_{52}}$. ^{[ 3 ]}

Un prisma pentagonal aumentado con longitud de arista${\displaystyle a}$tiene una superficie calculada sumando el área de cuatro triángulos equiláteros, cuatro cuadrados y dos pentágonos regulares: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\frac {8+2{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{2}}a^{2}\approx 9.173a^{2}.}$$ Su volumen se puede obtener cortándolo en un prisma pentagonal regular y una pirámide cuadrada equilátera, y sumando posteriormente sus volúmenes: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\frac {\sqrt {233+90{\sqrt {5}}+12{\sqrt {50+20{\sqrt {5}}}}}}{12}}a^{3}\approx 1.9562a^{3}.}$$

El prisma pentagonal aumentado tiene un grupo de simetría tridimensional.${\displaystyle C_{2\mathrm {v} }}$de orden cuatro. Tiene cinco ángulos diedros (un ángulo entre dos caras poligonales), obtenidos al sumar el ángulo de la pirámide cuadrada equilátera y el ángulo del prisma pentagonal regular. Estos ángulos son los siguientes: ^{[ 4 ]}

• un ángulo entre dos caras triangulares adyacentes es el de una pirámide cuadrada equilátera entre dos caras triangulares adyacentes,${\textstyle \arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 109.5^{\circ }}$,
• El ángulo entre dos caras cuadradas adyacentes es el ángulo interno de un pentágono regular.${\textstyle {\frac {3\pi }{5}}=108^{\circ }}$.
• El ángulo entre un cuadrado y un pentágono es el ángulo que forma un prisma pentagonal regular entre su base y sus caras laterales.${\textstyle {\frac {\pi }{2}}=90^{\circ }}$.
• un ángulo entre un pentágono y un triángulo es${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 144.7^{\circ }}$, para lo cual se suma el ángulo diedro de una pirámide cuadrada equilátera entre su base y su cara lateral.${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.7^{\circ }}$y el ángulo diedro de un prisma pentagonal regular entre su base y su cara lateral.
• un ángulo entre un cuadrado y un triángulo es${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {3\pi }{5}}\approx 162.7^{\circ }}$, para lo cual se suma el ángulo diedro de una pirámide cuadrada equilátera entre su base y su cara lateral, y el ángulo diedro de un prisma pentagonal regular entre dos cuadrados adyacentes.

• Weisstein, Eric W. "Johnson Solid" . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Prisma pentagonal aumentado" . MathWorld .