Prisma triangular aumentado

En geometría , el prisma triangular aumentado es un poliedro construido al añadir una pirámide cuadrada equilátera a una de las caras cuadradas de un prisma triangular . Por lo tanto, es un ejemplo de sólido de Johnson . En química, aparece como la geometría molecular prismática trigonal con tapa .

El prisma triangular aumentado es un poliedro que se puede construir a partir de un prisma triangular añadiendo una pirámide cuadrada equilátera a una de sus caras cuadradas, un proceso conocido como aumento . Esta pirámide cuadrada cubre la cara cuadrada del prisma, por lo que el poliedro resultante tiene seis triángulos equiláteros y dos cuadrados como caras. ^{[ 1 ]} Un poliedro convexo cuyas caras son todas polígonos regulares , pero que no es uniforme , es un sólido de Johnson , llamado así en honor al matemático estadounidense Norman W. Johnson, quien catalogó 92 de estos poliedros. El prisma triangular aumentado se encuentra entre ellos, enumerado como el cuadragésimo noveno sólido de Johnson.${\displaystyle J_{49}}$. ^{[ 2 ]}

En relación con la construcción antes mencionada, el prisma triangular aumentado es un poliedro compuesto . Se dice que un poliedro es compuesto si, al ser cortado por un plano, las piezas resultan en dos o más poliedros convexos con caras poligonales regulares. El prisma triangular aumentado se puede cortar en una pirámide cuadrada equilátera y un prisma triangular; estos son poliedros no compuestos o elementales. ^{[ 3 ]}

El área de la superficie de un prisma triangular aumentado se obtiene sumando el área de seis triángulos equiláteros y dos cuadrados:${\displaystyle A=6T+2S}$El área de un triángulo equilátero y de un cuadrado son${\textstyle T={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$y${\textstyle S=a^{2}}$, respectivamente, donde${\displaystyle a}$es la longitud de la arista. Todas las aristas del prisma triangular aumentado tienen la misma longitud. El área de la superficie del prisma triangular aumentado es entonces: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle A=6\left({\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\right)+2a^{2}={\frac {3{\sqrt {3}}+4}{2}}a^{2}\approx 4.598a^{2}.}$$El volumen${\displaystyle V}$El prisma triangular aumentado se obtiene dividiendo el prisma triangular en un prisma triangular y una pirámide cuadrada equilátera, y sumando sus volúmenes. Los volúmenes de un prisma triangular y una pirámide son:${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{3}}$y${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}}$, respectivamente. Por lo tanto, el volumen de un prisma triangular aumentado es: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle V={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{3}+{\frac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}={\frac {3{\sqrt {3}}+2{\sqrt {2}}}{12}}a^{3}\approx 0.669a^{3}.}$$

Un prisma triangular aumentado tiene un grupo de simetría tridimensional${\displaystyle C_{2\mathrm {v} }}$de orden cuatro. Es decir, hay cuatro transformaciones rígidas que mapean la forma sobre sí misma. Estas son: ^{[ 4 ]}

• La transformación de no hacer nada;
• Rotación de 180° alrededor de una línea que pasa por el vértice de la pirámide y el punto medio del lado opuesto;
• Reflexión a través del plano que contiene esa línea, y que es paralelo a las caras triangulares del prisma; y
• La composición de la rotación y la reflexión.

Los ángulos diedros de un prisma triangular aumentado (es decir, el ángulo entre dos caras poligonales) se pueden calcular examinando el prisma y la pirámide por separado y sumándolos cuando sea apropiado: ^{[ 4 ]}

• El ángulo diedro entre dos triángulos adyacentes en la pirámide es${\textstyle \arccos \left(-1/3\right)\approx 109.5^{\circ }}$.
• El ángulo diedro entre dos cuadrados adyacentes es el ángulo interior de un prisma triangular,${\displaystyle \pi /3=60^{\circ }}$.
• El ángulo diedro entre un cuadrado y un triángulo que proviene del prisma es${\estilo de texto \pi /2=90^{\circ }}$.
• El ángulo diedro entre un cuadrado y uno de los triángulos de la pirámide es la suma del ángulo diedro entre dos caras cuadradas del prisma y el ángulo diedro entre la cara cuadrada de la pirámide y una de sus caras triangulares. Este último ángulo es${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.7^{\circ }}$, por lo tanto, el ángulo en el prisma triangular aumentado es${\displaystyle \pi /3+\arctan({\sqrt {2}})\approx 114.735^{\circ }}$.
• El ángulo diedro entre un triángulo del prisma y un triángulo de la pirámide es la suma del ángulo diedro entre un triángulo y un cuadrado en el prisma, y ​​entre un triángulo y un cuadrado en la pirámide. Esto es${\displaystyle \pi /2+\arctan({\sqrt {2}})\approx 144.735^{\circ }}$.

En la geometría de los compuestos químicos , un poliedro se puede visualizar comúnmente como un grupo de átomos que rodea un átomo central. La geometría molecular prismática trigonal con vértices describe grupos para los cuales este poliedro es un prisma triangular aumentado. ^{[ 5 ]} Un ejemplo de dicho compuesto es el heptafluorotantalato de potasio . ^{[ 6 ]}

• Weisstein, Eric W. "Johnson Solid" . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Prisma triangular aumentado" . MathWorld .