Prisma hexagonal aumentado

En geometría , el prisma hexagonal aumentado es uno de los sólidos de Johnson ( J ₅₄ ). Como su nombre indica, se puede construir aumentando un prisma hexagonal mediante la adición de una pirámide cuadrada ( J ₁ ) a una de sus caras ecuatoriales. Al añadir dos o tres de estas pirámides, el resultado puede ser un prisma hexagonal parabiaumentado ( J ₅₅ ), un prisma hexagonal metabiaumentado ( J ₅₆ ) o un prisma hexagonal triaumentado ( J ₅₇ ).

El prisma hexagonal aumentado se construye uniendo una pirámide cuadrada equilátera a la cara cuadrada de un prisma hexagonal , un proceso conocido como aumento . ^{[ 1 ]} Esta construcción implica la eliminación de la cara cuadrada del prisma y su reemplazo por la pirámide cuadrada, de modo que hay once caras: cuatro triángulos equiláteros , cinco cuadrados y dos hexágonos regulares . ^{[ 2 ]} Un poliedro convexo en el que todas las caras son regulares es un sólido de Johnson, y el prisma hexagonal aumentado se encuentra entre ellos, enumerado como${\displaystyle J_{54}}$[ ^{3 ]} De manera similar, dos o tres pirámides cuadradas equiláteras que se unen a más caras cuadradas del prisma dan lugar a más sólidos de Johnson diferentes; estos son el prisma hexagonal parabiaumentado ^.${\displaystyle J_{55}}$, el prisma hexagonal metabiaumentado${\displaystyle J_{56}}$y el prisma hexagonal triaumentado${\displaystyle J_{57}}$. ^{[ 1 ]}

Un prisma hexagonal aumentado con longitud de arista${\displaystyle a}$tiene área superficial ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \left(5+4{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 11.928a^{2},}$$ la suma de dos hexágonos, cuatro triángulos equiláteros y cinco cuadrados área. Su volumen ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}}{2}}a^{3}\approx 2.834a^{3},}$$ se puede obtener cortando una pirámide cuadrada equilátera y un prisma hexagonal, y sumando sus volúmenes. ^{[ 2 ]}

Tiene un eje de simetría que pasa por el vértice de una pirámide cuadrada y el centroide de una cara cuadrada de un prisma, rotada en un ángulo de media vuelta y una vuelta completa. Su ángulo diedro se puede obtener calculando el ángulo de una pirámide cuadrada y un prisma hexagonal de la siguiente manera: ^{[ 4 ]}

• El ángulo diedro de un prisma hexagonal aumentado entre dos triángulos adyacentes es el ángulo diedro de una pirámide cuadrada equilátera,${\displaystyle \arccos \left(-1/3\right)\approx 109.5^{\circ }}$
• El ángulo diedro de un prisma hexagonal aumentado entre dos cuadrados adyacentes es el interior de un hexágono regular,${\displaystyle 2\pi /3=120^{\circ }}$
• El ángulo diedro de un prisma hexagonal aumentado entre cuadrado y hexágono es el ángulo diedro de un prisma hexagonal entre su base y su cara lateral,${\displaystyle \pi /2}$
• El ángulo diedro de una pirámide cuadrada entre el triángulo (su cara lateral) y el cuadrado (su base) es${\displaystyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.75^{\circ }}$Por lo tanto, el ángulo diedro de un prisma hexagonal aumentado entre cuadrado y triángulo, y entre triángulo y hexágono, en el borde en el que se unen la pirámide cuadrada y el prisma hexagonal, es$${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {2\pi }{3}}\approx 174.75^{\circ },\\\arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 144.75^{\circ }.\end{aligned}}}$$.

• Weisstein, Eric W. , " Prisma hexagonal aumentado " (" Johnson Solid ") en MathWorld .