Prisma pentagonal biaumentado

En geometría , el prisma pentagonal biaumentado es un poliedro construido a partir de un prisma pentagonal mediante la unión de dos pirámides cuadradas equiláteras a cada una de sus caras cuadradas. Es un ejemplo de sólido de Johnson .

El prisma pentagonal biaumentado se puede construir a partir de un prisma pentagonal uniendo dos pirámides cuadradas equiláteras a cada una de sus caras cuadradas, un proceso conocido como aumento . ^{[ 1 ]} Estas pirámides cuadradas cubren la cara cuadrada del prisma, por lo que el poliedro resultante tiene ocho triángulos equiláteros , tres cuadrados y dos pentágonos regulares como caras. ^{[ 2 ]} Un poliedro convexo en el que todas las caras son regulares es un sólido de Johnson , y el prisma pentagonal aumentado se encuentra entre ellos, catalogado como el 53.º sólido de Johnson.${\displaystyle J_{53}}$. ^{[ 3 ]}

Un prisma pentagonal biaumentado con longitud de arista${\displaystyle a}$tiene una superficie calculada sumando el área de cuatro triángulos equiláteros, cuatro cuadrados y dos pentágonos regulares: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\frac {6+4{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{2}}a^{2}\approx 9.9051a^{2}.}$$ Su volumen se puede obtener cortándolo en un prisma pentagonal regular y una pirámide cuadrada equilátera, y sumando posteriormente sus volúmenes: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\frac {\sqrt {257+90{\sqrt {5}}+24{\sqrt {50+20{\sqrt {5}}}}}}{12}}a^{3}\approx 2.1919a^{3}.}$$

El ángulo diedro de un prisma pentagonal aumentado se puede calcular sumando el ángulo diedro de una pirámide cuadrada equilátera y el del prisma pentagonal regular: ^{[ 4 ]}

• El ángulo diedro de un prisma pentagonal aumentado entre dos caras triangulares adyacentes es el de una pirámide cuadrada equilátera entre dos caras triangulares adyacentes.${\textstyle \arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 109.5^{\circ }}$,
• El ángulo diedro de un prisma pentagonal aumentado entre dos caras cuadradas adyacentes es el ángulo interno de un pentágono regular.${\textstyle {\frac {3\pi }{5}}=108^{\circ }}$.
• El ángulo diedro de un prisma pentagonal aumentado entre el cuadrado y el pentágono es el mismo que el de un prisma pentagonal regular entre su base y sus caras laterales.${\textstyle {\frac {\pi }{2}}=90^{\circ }}$.
• El ángulo diedro de un prisma pentagonal aumentado entre pentágono y triángulo es${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 144.7^{\circ }}$, para lo cual se suma el ángulo diedro de una pirámide cuadrada equilátera entre su base y su cara lateral.${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.7^{\circ }}$y el ángulo diedro de un prisma pentagonal regular entre su base y su cara lateral.
• El ángulo diedro de un prisma pentagonal aumentado entre cuadrado y triángulo es${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {3\pi }{5}}\approx 162.7^{\circ }}$, para lo cual se suma el ángulo diedro de una pirámide cuadrada equilátera entre su base y su cara lateral, y el ángulo diedro de un prisma pentagonal regular entre dos cuadrados adyacentes.

• Weisstein, Eric W. "Johnson Solid" . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Prisma pentagonal biaumentado" . MathWorld .