Prisma triangular biaumentado

El prisma triangular biaumentado es un poliedro construido a partir de un prisma triangular mediante la unión de dos pirámides cuadradas equiláteras a dos de sus caras cuadradas . Es un ejemplo de sólido de Johnson y de poliedro compuesto . En estereoquímica, se puede encontrar como un compuesto químico estructural denominado geometría molecular prismática trigonal bicapsulada .

El prisma triangular biaumentado se construye uniendo dos pirámides cuadradas equiláteras a las caras de un prisma triangular ; este prisma es uniforme , con caras formadas por dos triángulos equiláteros y tres cuadrados. Estas pirámides cubren dos caras cuadradas con ocho triángulos, lo que da como resultado un poliedro con diecisiete caras en total: diez triángulos equiláteros y un cuadrado. El proceso de construcción se conoce como aumento , y el hecho de tener dos pirámides da el prefijo "bi-". ^{[ 1 ]} Además, el poliedro resultante también tiene diecisiete aristas y ocho vértices. ^{[ 2 ]} El prisma triangular biaumentado se clasifica como un sólido de Johnson , en honor al matemático estadounidense Norman W. Johnson , quien enumeró los 92 poliedros convexos con caras poligonales regulares . Específicamente, se enumera dentro de esta clasificación como${\displaystyle J_{50}}$, marcando el 50º sólido de Johnson. ^{[ 3 ]}

En relación con la construcción antes mencionada, el prisma triangular biaugmentado es compuesto . Se dice que un poliedro es compuesto si, al ser cortado por un plano, las piezas resultan en dos o más poliedros convexos con caras poligonales regulares. El prisma triangular biaugmentado se puede cortar en dos pirámides cuadradas equiláteras y un prisma triangular, tres de los cuales son poliedros elementales o no compuestos. ^{[ 4 ]}

Un prisma triangular biaumentado tiene un área superficial${\displaystyle A}$calculado sumando el área de diez triángulos equiláteros y un cuadrado:${\displaystyle A=10T+S}$El área de un triángulo equilátero y de un cuadrado son${\textstyle T={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$y${\textstyle S=a^{2}}$, respectivamente, donde${\displaystyle a}$es la longitud de la arista. Todas las aristas del prisma triangular biaumentado tienen la misma longitud. El área de la superficie del prisma triangular biaumentado es entonces: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle A=10\left({\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\right)+a^{2}={\frac {5{\sqrt {3}}+2}{2}}a^{2}\approx 5.330a^{2}.}$$

El volumen de un prisma triangular biaumentado${\displaystyle V}$se obtiene dividiendo el prisma triangular en un prisma triangular regular y dos pirámides cuadradas equiláteras, y sumando posteriormente sus volúmenes. Los volúmenes de un prisma triangular y una pirámide son:${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{3}}$y${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}}$, respectivamente. Por lo tanto, el volumen de un prisma triangular biaumentado es: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle V={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{3}+2\left({\frac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}\right)={\frac {3{\sqrt {3}}+4{\sqrt {2}}}{12}}a^{3}\approx 0.904a^{3}.}$$

El prisma triangular biaumentado tiene un grupo de simetría tridimensional de simetría piramidal doble.${\displaystyle C_{2\mathrm {v} }}$de orden 4. Su ángulo diedro (es decir, el ángulo entre dos caras poligonales) se puede calcular sumando el ángulo de una pirámide cuadrada equilátera y un prisma triangular regular de la siguiente manera: ^{[ 5 ]}

• El ángulo diedro de un prisma triangular biamplificado entre dos triángulos adyacentes es el de una pirámide cuadrada equilátera entre dos caras triangulares adyacentes,${\textstyle \arccos \left(-1/3\right)\approx 109.5^{\circ }}$
• El ángulo diedro de un prisma triangular biaumentado entre un cuadrado y un triángulo es el ángulo diedro de un prisma triangular entre la base y su cara lateral,${\estilo de texto \pi /2=90^{\circ }}$
• El ángulo diedro de una pirámide cuadrada equilátera entre una cara triangular y su base es${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.7^{\circ }}$El ángulo diedro de un prisma triangular entre dos caras cuadradas adyacentes es el ángulo interno de un triángulo equilátero.${\estilo de texto \pi /3=60^{\circ }}$Por lo tanto, el ángulo diedro de un prisma triangular biamplificado entre un cuadrado (la cara lateral del prisma triangular) y un triángulo (la cara lateral de la pirámide cuadrada equilátera), en la arista donde la pirámide cuadrada equilátera está unida a la cara cuadrada del prisma triangular, es$${\displaystyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{3}}\approx 114.7^{\circ },}$$y el ángulo diedro entre dos triángulos adyacentes (la cara lateral de ambas pirámides cuadradas equiláteras), en el borde donde dos pirámides cuadradas equiláteras están unidas adyacentemente al prisma triangular, es$${\displaystyle 2\arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{3}}\approx 169.5^{\circ }.}$$
• El ángulo diedro de un prisma triangular biamplificado entre dos triángulos adyacentes (la base de un prisma triangular y la cara lateral de una pirámide cuadrada equilátera), en el borde donde la pirámide cuadrada equilátera está unida al prisma triangular, es:$${\displaystyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 144.7^{\circ }.}$$

El prisma triangular biaumentado se puede encontrar en estereoquímica . En este subcampo de la química que estudia las estructuras moleculares , el prisma triangular biaumentado es una forma estructural del compuesto químico conocida como geometría molecular prismática trigonal bicapagada . La estructura contiene ocho vértices que representan los átomos , comúnmente encontrados en metales de transición, además de la estructura química del antiprisma cuadrado y el disfenoides truncado . ^{[ 6 ]} Ejemplos de la estructura son el tribromuro de plutonio PuBr ₃ adoptado por los bromuros y yoduros de los lantánidos y actínidos , ^{[ 7 ]} y el octafluoruro aniónico de octafluorozirconato(IV) ZrF ⁴⁻ ₈ . ^{[ 6 ]}