Módulo generado de forma finita

En matemáticas , un módulo finitamente generado es un módulo que tiene un conjunto generador finito . Un módulo finitamente generado sobre un anillo R también puede llamarse R -módulo finito , finito sobre R , ^{[ 1 ]} o un módulo de tipo finito .

Entre los conceptos relacionados se incluyen los módulos finitamente cogenerados , los módulos finitamente presentados , los módulos finitamente relacionados y los módulos coherentes, todos los cuales se definen a continuación. Sobre un anillo noetheriano, los conceptos de módulos finitamente generados, finitamente presentados y coherentes coinciden.

Un módulo finitamente generado sobre un cuerpo es simplemente un espacio vectorial de dimensión finita , y un módulo finitamente generado sobre los enteros es simplemente un grupo abeliano finitamente generado .

El R -módulo izquierdo M es finitamente generado si existen a ₁ , a ₂ , ..., a _n en M tales que para cualquier x en M , existen r ₁ , r ₂ , ..., r _n en R con x = r ₁ a ₁ + r ₂ a ₂ + ... + r _n a _n .

El conjunto { a ₁ , a ₂ , ..., a _n } se denomina conjunto generador de M en este caso. Un conjunto generador finito no tiene por qué ser una base, ya que no tiene por qué ser linealmente independiente sobre R. Lo que sí es cierto es que M es finitamente generado si y solo si existe una aplicación sobreyectiva sobre R :

${\displaystyle R^{n}\to M}$

para algún n ; en otras palabras, M es un cociente de un módulo libre de rango finito.

Si un conjunto S genera un módulo que es finitamente generado, entonces existe un conjunto generador finito incluido en S , ya que solo se necesitan un número finito de elementos en S para expresar los generadores en cualquier conjunto generador finito, y estos elementos finitos forman un conjunto generador. Sin embargo, puede ocurrir que S no contenga ningún conjunto generador finito de cardinalidad mínima . Por ejemplo, el conjunto de los números primos es un conjunto generador de${\displaystyle \mathbb {Z} }$visto como${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo, y un conjunto generador formado a partir de números primos tiene al menos dos elementos, mientras que el conjunto unitario {1} también es un conjunto generador.

En el caso en que el módulo M es un espacio vectorial sobre un cuerpo R , y el conjunto generador es linealmente independiente , n está bien definido y se denomina dimensión de M ( bien definido significa que cualquier conjunto generador linealmente independiente tiene n elementos: este es el teorema de dimensión para espacios vectoriales ).

Cualquier módulo es la unión del conjunto dirigido de sus submódulos finitamente generados.

Un módulo M es finitamente generado si y solo si cualquier cadena creciente M _i de submódulos con unión M se estabiliza: es decir, existe algún i tal que M _i = M . Este hecho, junto con el lema de Zorn, implica que todo módulo finitamente generado no nulo admite submódulos maximales . Si cualquier cadena creciente de submódulos se estabiliza (es decir, cualquier submódulo es finitamente generado), entonces el módulo M se denomina módulo noetheriano .

• Si un módulo se genera mediante un solo elemento, se denomina módulo cíclico .
• Sea R un dominio de integridad y K su cuerpo de fracciones . Entonces, todo R -submódulo finitamente generado I de K es un ideal fraccionario ; es decir, existe algún r no nulo en R tal que rI está contenido en R. En efecto, se puede tomar r como el producto de los denominadores de los generadores de I. Si R es noetheriano, entonces todo ideal fraccionario surge de esta manera.
• Los módulos finitamente generados sobre el anillo de enteros Z coinciden con los grupos abelianos finitamente generados . (Estos se clasifican completamente mediante el teorema de estructura , tomando Z como dominio ideal principal ).
• Los módulos generados finitamente (por ejemplo, los módulos izquierdos) sobre un anillo de división son precisamente espacios vectoriales de dimensión finita (sobre el anillo de división).

Toda imagen homomórfica de un módulo finitamente generado es finitamente generada. En general, los submódulos de módulos finitamente generados no necesariamente son finitamente generados. Como ejemplo, consideremos el anillo R  = Z [ X ₁ , X ₂ , ...] de todos los polinomios en una cantidad numerable de variables. R mismo es un R -módulo finitamente generado (con {1} como conjunto generador). Consideremos el submódulo K que consta de todos aquellos polinomios con término constante cero. Dado que cada polinomio contiene solo una cantidad finita de términos cuyos coeficientes son distintos de cero, el R -módulo K no es finitamente generado. 

En general, se dice que un módulo es noetheriano si cada submódulo es finitamente generado. Un módulo finitamente generado sobre un anillo noetheriano es un módulo noetheriano (y, de hecho, esta propiedad caracteriza a los anillos noetherianos): un módulo sobre un anillo noetheriano es finitamente generado si y solo si es un módulo noetheriano. Esto se asemeja, pero no es exactamente el teorema de la base de Hilbert , que establece que el anillo de polinomios R [ X ] sobre un anillo noetheriano R es noetheriano. Ambos hechos implican que un álgebra conmutativa finitamente generada sobre un anillo noetheriano es también un anillo noetheriano.

En términos más generales, un álgebra (por ejemplo, un anillo) que es un módulo finitamente generado es un álgebra finitamente generada . Recíprocamente, si un álgebra finitamente generada es integral (sobre el anillo de coeficientes), entonces es un módulo finitamente generado. (Véase elemento integral para más detalles).

Sea 0 → M ′ → M → M ′′ → 0 una sucesión exacta de módulos. Entonces M es finitamente generado si M ′ y M ′′ son finitamente generados. Existen algunos recíprocos parciales. Si M es finitamente generado y M ′′ es finitamente presentado (lo cual es más fuerte que finitamente generado; véase más adelante), entonces M ′ es finitamente generado. Además, M es noetheriano (o artiniano) si y solo si M ′ y M ′′ son noetherianos (o artinianos).

Sea B un anillo y A su subanillo tal que B es un A- módulo derecho fielmente plano . Entonces, un A -módulo izquierdo F es finitamente generado (respectivamente, finitamente presentado) si y solo si el B -módulo B ⊗ _A F es finitamente generado (respectivamente, finitamente presentado). ^{[ 2 ]}

Para módulos finitamente generados sobre un anillo conmutativo R , el lema de Nakayama es fundamental. A veces, el lema permite demostrar fenómenos de espacios vectoriales de dimensión finita para módulos finitamente generados. Por ejemplo, si f  : M → M es un R -endomorfismo sobreyectivo de un módulo finitamente generado M , entonces f también es inyectivo y, por lo tanto, es un automorfismo de M. ^{[ 3 ]} Esto simplemente significa que M es un módulo hopfiano . De manera similar, un módulo artiniano M es cohopfiano : cualquier endomorfismo inyectivo f también es un endomorfismo sobreyectivo. ^{[ 4 ]} El teorema de Forster-Swan proporciona una cota superior para el número mínimo de generadores de un módulo finitamente generado M sobre un anillo noetheriano conmutativo.

Cualquier R -módulo es un límite inductivo de R -submódulos finitamente generados . Esto es útil para debilitar una suposición al caso finito (por ejemplo, la caracterización de la planitud con el functor Tor ).

Un ejemplo de vínculo entre generación finita y elementos enteros se encuentra en las álgebras conmutativas. Decir que un álgebra conmutativa A es un anillo finitamente generado sobre R significa que existe un conjunto de elementos G = { x ₁ , ..., x _n } de A tal que el subanillo más pequeño de A que contiene a G y R es A mismo. Debido a que el producto de anillos puede usarse para combinar elementos, se generan más que solo combinaciones R -lineales de elementos de G. Por ejemplo, un anillo de polinomios R [ x ] es finitamente generado por {1, x } como anillo, pero no como módulo . Si A es un álgebra conmutativa (con unidad) sobre R , entonces las siguientes dos afirmaciones son equivalentes: ^{[ 5 ]}

• A es un módulo R generado de forma finita.
• A es a la vez un anillo finitamente generado sobre R y una extensión integral de R.

Sea M un módulo finitamente generado sobre un dominio integral A con el campo de fracciones K. Entonces la dimensión${\displaystyle \operatorname {dim} _{K}(M\otimes _{A}K)}$se denomina rango genérico de M sobre A. Este número es el mismo que el número de vectores linealmente independientes A- maximales en M o, equivalentemente, el rango de un submódulo libre maximal de M ( véase Rango de un grupo abeliano ). Dado que${\displaystyle (M/F)_{(0)}=M_{(0)}/F_{(0)}=0}$,${\displaystyle M/F}$es un módulo de torsión . Cuando A es noetheriano, por libertad genérica , existe un elemento f (que depende de M ) tal que${\displaystyle M[f^{-1}]}$es gratis${\displaystyle A[f^{-1}]}$-módulo. Entonces , el rango de este módulo libre es el rango genérico de M.

Ahora supongamos que el dominio integral A es un${\displaystyle \mathbb {N} }$- álgebra graduada sobre un cuerpo k generado por un número finito de elementos homogéneos de grados${\displaystyle d_{i}}$. Supongamos que M también está calificado y sea${\displaystyle P_{M}(t)=\sum (\operatorname {dim} _{k}M_{n})t^{n}}$Sea la serie de Poincaré de M. Por el teorema de Hilbert-Serre , existe un polinomio F tal que${\displaystyle P_{M}(t)=F(t)\prod (1-t^{d_{i}})^{-1}}$. Entonces${\displaystyle F(1)}$es el rango genérico ^de M. [ ^{6 ]}

Un módulo finitamente generado sobre un dominio ideal principal es libre de torsión si y solo si es libre. Esto es consecuencia del teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal , cuya forma básica establece que un módulo finitamente generado sobre un dominio ideal principal es la suma directa de un módulo de torsión y un módulo libre. Pero también se puede demostrar directamente de la siguiente manera: sea M un módulo finitamente generado libre de torsión sobre un dominio ideal principal A y F un submódulo libre maximal. Sea f un elemento en A tal que${\displaystyle fM\subset F}$. Entonces${\displaystyle fM}$es libre ya que es un submódulo de un módulo libre y A es un PID. Pero ahora${\displaystyle f:M\to fM}$es un isomorfismo ya que M no tiene torsión.

Siguiendo el mismo razonamiento, un módulo finitamente generado sobre un dominio de Dedekind A (o, más generalmente, un anillo semihereditario ) es libre de torsión si y solo si es proyectivo ; por consiguiente, un módulo finitamente generado sobre A es la suma directa de un módulo de torsión y un módulo proyectivo. Un módulo proyectivo finitamente generado sobre un dominio integral noetheriano tiene rango constante, por lo que el rango genérico de un módulo finitamente generado sobre A es el rango de su parte proyectiva.

Las siguientes condiciones son equivalentes a que M sea finitamente generado (fg):

• Para cualquier familia de submódulos { N _i | i ∈ I } en M , si${\displaystyle \sum _{i\in I}N_{i}=M\,}$, entonces${\displaystyle \sum _{i\in F}N_{i}=M\,}$para algún subconjunto finito F de I.
• Para cualquier cadena de submódulos { N _i | i ∈ I } en M , si${\displaystyle \bigcup _{i\in I}N_{i}=M\,}$, entonces N _i = M para algún i en I .
• Si${\displaystyle \phi$ :\bigoplus _{i\in I}R\to M\,} es un epimorfismo , entonces la restricción${\displaystyle \phi$ :\bigoplus _{i\in F}R\to M\,} es un epimorfismo para algún subconjunto finito F de I .

A partir de estas condiciones, es fácil ver que ser finitamente generado es una propiedad que se conserva mediante la equivalencia de Morita . Las condiciones también son convenientes para definir una noción dual de un módulo finitamente cogenerado M. Las siguientes condiciones son equivalentes a que un módulo sea finitamente cogenerado (f.cog.):

• Para cualquier familia de submódulos { N _i | i ∈ I } en M , si${\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,}$, entonces${\displaystyle \bigcap _{i\in F}N_{i}=\{0\}\,}$para algún subconjunto finito F de I.
• Para cualquier cadena de submódulos { N _i | i ∈ I } en M , si${\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,}$, entonces N _i = {0} para algún i en I .
• Si${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in I}N_{i}\,}$es un monomorfismo , donde cada${\displaystyle N_{i}}$es un módulo de R , entonces ${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in F}N_{i}\,}$es un monomorfismo para algún subconjunto finito F de I.

Tanto los módulos fg como los módulos f.cog. tienen relaciones interesantes con los módulos noetherianos y artinianos, y con el radical jacobino J ( M ) y el socle soc( M ) de un módulo. Los siguientes hechos ilustran la dualidad entre las dos condiciones. Para un módulo M :

• M es noetheriano si y solo si cada submódulo N de M es fg
• M es artiniano si y solo si todo módulo cociente M / N es f.cog.
• M es fg si y solo si J ( M ) es un submódulo superfluo de M , y M / J ( M ) es fg
• M es f.cog. si y solo si soc( M ) es un submódulo esencial de M , y soc( M ) es fg
• Si M es un módulo semisimple (como soc( N ) para cualquier módulo N ), es fg si y solo si f.cog.
• Si M es fg y distinto de cero, entonces M tiene un submódulo maximal y cualquier módulo cociente M / N es fg.
• Si M es f.cog. y distinto de cero, entonces M tiene un submódulo mínimo, y cualquier submódulo N de M es f.cog.
• Si N y M / N son fg, entonces M también lo es . Lo mismo ocurre si se reemplaza "fg" por "f.cog".

Los módulos finitamente cogenerados deben tener dimensión uniforme finita . Esto se ve fácilmente aplicando la caracterización usando el socle esencial finitamente generado. De manera algo asimétrica, los módulos finitamente generados no necesariamente tienen dimensión uniforme finita. Por ejemplo, un producto directo infinito de anillos no nulos es un módulo finitamente generado (¡cíclico!) sobre sí mismo, sin embargo, claramente contiene una suma directa infinita de submódulos no nulos. Los módulos finitamente generados tampoco necesariamente tienen dimensión couniforme finita : cualquier anillo R con unidad tal que R / J ( R ) no sea un anillo semisimple es un contraejemplo.

Otra formulación es la siguiente: un módulo M generado finitamente es aquel para el cual existe un epimorfismo que mapea R ^k sobre M  :

f  : R ^k → M .

Supongamos ahora que existe un epimorfismo,

φ  : F → M .

para un módulo M y un módulo F libre .

• Si el núcleo de φ es finitamente generado, entonces M se denomina módulo finitamente relacionado . Dado que M es isomorfo a F /ker( φ ), esto básicamente expresa que M se obtiene tomando un módulo libre e introduciendo un número finito de relaciones dentro de F (los generadores de ker( φ )).
• Si el núcleo de φ es finitamente generado y F tiene rango finito (es decir , F = R ^k ), entonces se dice que M es un módulo finitamente presentado . Aquí, M se especifica usando un número finito de generadores (las imágenes de los k generadores de F = R ^k ) y un número finito de relaciones (los generadores de ker( φ )). Véase también: presentación libre . Los módulos finitamente presentados pueden caracterizarse por una propiedad abstracta dentro de la categoría de R -módulos : son precisamente los objetos compactos en esta categoría.
• Un módulo coherente M es un módulo finitamente generado cuyos submódulos finitamente generados están finitamente presentados.

Sobre cualquier anillo R , los módulos coherentes están finitamente presentados, y los módulos finitamente presentados están finitamente generados y finitamente relacionados. Para un anillo noetheriano R , las condiciones de ser finitamente generado, finitamente presentado y coherente son equivalentes en un módulo.

Se produce cierta superposición entre módulos proyectivos y planos. Un módulo proyectivo generado de forma finita se presenta de forma finita, y un módulo plano relacionado de forma finita es proyectivo.

También es cierto que las siguientes condiciones son equivalentes para un anillo R :

1. R es un anillo coherente derecho .
2. El módulo R _R es un módulo coherente.
3. Todo módulo R derecho presentado de forma finita es coherente.

Aunque la coherencia parece una condición más engorrosa que la generación finita o la presentación finita, es mejor que ellas, ya que la categoría de módulos coherentes es una categoría abeliana , mientras que, en general, ni los módulos generados finitamente ni los presentados finitamente forman una categoría abeliana.

• Elemento integral
• Lema de Artin-Rees
• Módulo generado de forma contable
• Álgebra finita
• Haz coherente , una generalización utilizada en geometría algebraica.

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