Ideal máximo

En matemáticas , más específicamente en teoría de anillos , un ideal maximal es un ideal de dos lados que es maximal (con respecto a la inclusión de conjuntos ) entre todos los ideales propios . ^{[ 1 ] [ 2 ]} En otras palabras, I es un ideal maximal de un anillo R si no hay otros ideales de dos lados contenidos entre I y R.

Los ideales maximales son importantes porque los cocientes de anillos por ideales maximales son anillos simples , y en el caso especial de anillos conmutativos también son cuerpos . El conjunto de ideales maximales de un anillo conmutativo R se conoce como el espectro maximal de R y se denota de diversas maneras como m-Spec R , Specm R , MaxSpec R , Max R o Spm R. Cuando se le aplica la topología de Zariski , es el subespacio de los puntos cerrados del espectro primo Spec R , el conjunto de los ideales primos con topología de Zariski.

En la teoría de anillos no conmutativos, un ideal derecho maximal se define de forma análoga como un elemento maximal en el conjunto parcialmente ordenado de ideales derechos propios, y de manera similar, un ideal izquierdo maximal se define como un elemento maximal del conjunto parcialmente ordenado de ideales izquierdos propios. Dado que un ideal maximal unilateral A no es necesariamente bilateral, el cociente R / A no es necesariamente un anillo, sino un módulo simple sobre R. Si R tiene un único ideal derecho maximal, entonces R se conoce como un anillo local , y el ideal derecho maximal es también el único ideal izquierdo maximal y el único ideal bilateral maximal del anillo, y es de hecho el radical de Jacobson J( R ).

Es posible que un anillo tenga un único ideal bilateral maximal y, sin embargo, carezca de ideales unilaterales maximales únicos: por ejemplo, en el anillo de matrices cuadradas de 2x2 sobre un cuerpo, el ideal cero es un ideal bilateral maximal, pero existen muchos ideales derechos maximales.

Existen otras formas equivalentes de expresar la definición de ideales unilaterales maximales y ideales bilaterales maximales. Dado un anillo R y un ideal propio I de R (es decir, I ≠ R ), I es un ideal maximal de R si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

• No existe otro ideal propio J de R tal que I ⊊ J .
• Para cualquier ideal J con I ⊆ J , o bien J = I o bien J = R.
• El anillo cociente R / I es un anillo simple.

Existe una lista análoga para ideales unilaterales, para los cuales solo se darán las versiones de la derecha. Para un ideal derecho A de un anillo R , las siguientes condiciones son equivalentes a que A sea un ideal derecho maximal de R :

• No existe otro ideal derecho propio B de R tal que A ⊊ B .
• Para cualquier ideal derecho B con A ⊆ B , o bien B = A o bien B = R.
• El módulo cociente R / A es un R -módulo derecho simple .

Los ideales máximos de derecha/izquierda/bilaterales son la noción dual de la de ideales mínimos .

• Si F es un cuerpo, entonces el único ideal maximal es {0}.
• En el anillo Z de los números enteros, los ideales maximales son los ideales principales generados por un número primo.
• En términos más generales, todos los ideales primos distintos de cero son maximales en un dominio de ideales principales .
• El ideal${\displaystyle (2,x)}$es un ideal máximo en anillo${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$. Generalmente, los ideales máximos de${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$son de la forma${\displaystyle (p,f(x))}$dónde${\displaystyle p}$es un número primo y${\displaystyle f(x)}$es un polinomio en${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$que es irreducible módulo${\displaystyle p}$.
• Todo ideal primo es un ideal maximal en un anillo booleano , es decir, un anillo que consta únicamente de elementos idempotentes. De hecho, todo ideal primo es maximal en un anillo conmutativo.${\displaystyle R}$siempre que exista un número entero${\displaystyle n>1}$de tal manera que${\displaystyle x^{n}=x}$para cualquier${\displaystyle x\in R}$.
• Los ideales máximos del anillo polinomial${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$son ideales principales generados por${\displaystyle xc}$para algunos${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$.
• De forma más general, los ideales maximales del anillo polinomial${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K son los ideales de la forma${\displaystyle (x_{1}-a_{1},...,x_{n}-a_{n})}$Este resultado se conoce como el Nullstellensatz débil .
• De forma aún más general, sea K un cuerpo algebraicamente cerrado,${\displaystyle V\subseteq K^{n}}$sea ​​un conjunto algebraico afín y${\displaystyle \mathrm {I} (V)}$ser el ideal de polinomios en${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$que se desvanecen en V. Entonces los ideales máximos del anillo de coordenadas${\displaystyle K[V]=K[x_{1},...,x_{n}]/\mathrm {I} (V)}$son de la forma${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}=({\overline {x_{1}}}-a_{1},...,{\overline {x_{n}}}-a_{n})}$, dónde${\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V}$, y${\displaystyle {\overline {x_{i}}}}$son las imágenes de${\displaystyle x_{i}}$bajo el mapa de proyección natural${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]\to K[V]}$Por lo tanto, existe una correspondencia uno a uno.${\displaystyle a\leftrightarrow {\mathfrak {m}}_{a}}$entre puntos${\displaystyle a\in V}$y los ideales máximos${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}\in \mathrm {Spm} (K[V])}$.

• Un ideal importante del anillo, llamado radical de Jacobson, puede definirse utilizando ideales máximos derechos (o máximos izquierdos).
• Si R es un anillo conmutativo unitario con un ideal m , entonces k = R / m es un cuerpo si y solo si m es un ideal maximal. En ese caso, R / m se conoce como el cuerpo residual . Este hecho puede fallar en anillos no unitarios. Por ejemplo,${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$es un ideal máximo en${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$, pero${\displaystyle 2\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$no es un campo.
• Si L es un ideal izquierdo maximal, entonces R / L es un R -módulo izquierdo simple. Recíprocamente, en anillos con unidad, cualquier R -módulo izquierdo simple surge de esta manera. Cabe mencionar que esto demuestra que una colección de representantes de R -módulos izquierdos simples es en realidad un conjunto, ya que puede ponerse en correspondencia con parte del conjunto de ideales izquierdos maximales de R.
• Teorema de Krull (1929): Todo anillo unitario no nulo tiene un ideal maximal. El resultado también es cierto si se reemplaza "ideal" por "ideal derecho" o "ideal izquierdo". De manera más general, es cierto que todo módulo finitamente generado no nulo tiene un submódulo maximal. Supongamos que I es un ideal que no es R (respectivamente, A es un ideal derecho que no es R ). Entonces R / I es un anillo con unidad (respectivamente, R / A es un módulo finitamente generado), y por lo tanto, los teoremas anteriores se pueden aplicar al cociente para concluir que existe un ideal maximal (respectivamente, un ideal derecho maximal) de R que contiene a I (respectivamente, a A ).
• El teorema de Krull puede fallar para anillos sin unidad. Un anillo radical , es decir, un anillo en el que el radical de Jacobson es todo el anillo, no tiene módulos simples y, por lo tanto, no tiene ideales máximos ni derechos ni izquierdos. Consulte los ideales regulares para ver posibles maneras de sortear este problema.
• En un anillo conmutativo con unidad, todo ideal maximal es un ideal primo . Lo contrario no siempre es cierto: por ejemplo, en cualquier dominio integral que no sea un cuerpo , el ideal cero es un ideal primo que no es maximal. Los anillos conmutativos en los que los ideales primos son maximales se conocen como anillos de dimensión cero , donde la dimensión utilizada es la dimensión de Krull .
• Si k es un cuerpo, la preimagen de un ideal maximal de un álgebra k finitamente generada bajo un homomorfismo de álgebras k es un ideal maximal. Sin embargo, la preimagen de un ideal maximal de un anillo conmutativo unitario bajo un homomorfismo de anillos no es necesariamente maximal. Por ejemplo, sea${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Q} }$ser el mapa de inclusión y${\displaystyle {\mathfrak {n}}=(0)}$en${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Entonces${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$es máximo en${\displaystyle \mathbb {Q} }$pero${\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {n}})=(0)}$no es máximo en${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Un ideal maximal de un anillo no conmutativo podría no ser primo en el sentido conmutativo. Por ejemplo, sea${\displaystyle M_{n\times n}(\mathbb {Z} )}$ser el anillo de todos${\displaystyle n\times n}$matrices sobre${\displaystyle \mathbb {Z} }$Este anillo tiene un ideal máximo${\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$para cualquier primo${\displaystyle p}$, pero este no es un ideal primordial ya que (en el caso${\displaystyle n=2}$)${\displaystyle A={\text{diag}}(1,p)}$y${\displaystyle B={\text{diag}}(p,1)}$no están en${\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$, pero${\displaystyle AB=pI_{2}\in M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$Sin embargo, los ideales maximales de anillos no conmutativos son primos en el sentido generalizado que se describe a continuación.

Para un R -módulo A , un submódulo maximal M de A es un submódulo M ≠ A que satisface la propiedad de que para cualquier otro submódulo N , M ⊆ N ⊆ A implica N = M o N = A. Equivalentemente, M es un submódulo maximal si y solo si el módulo cociente A / M es un módulo simple . Los ideales derechos maximales de un anillo R son precisamente los submódulos maximales del módulo R _R.

A diferencia de los anillos con unidad, un módulo distinto de cero no necesariamente tiene submódulos máximos. Sin embargo, como se mencionó anteriormente, los módulos distintos de cero generados finitamente tienen submódulos máximos, al igual que los módulos proyectivos .

Al igual que con los anillos, se puede definir el radical de un módulo usando submódulos maximales. Además, los ideales maximales se pueden generalizar definiendo un subbimódulo maximal M de un bimódulo B como un subbimódulo propio de M que no está contenido en ningún otro subbimódulo propio de M. Los ideales maximales de R son entonces exactamente los subbimódulos maximales del bimódulo _R R _R.

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• Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  131 (2.ª  ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pp.  xx+385, doi : 10.1007/978-1-4419-8616-0 , ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439