Ideal regular

La noción de ideales modulares permite generalizar diversas caracterizaciones de ideales en un anillo unitario a entornos no unitarios.

Un ideal de dos caras${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$es modular si y solo si${\displaystyle A/{\mathfrak {i}}}$es unitario. En un anillo unitario, todo ideal es modular, ya que elegir e = 1 funciona para cualquier ideal derecho. Por lo tanto, la noción es más interesante para anillos no unitarios como las álgebras de Banach . A partir de la definición, es fácil ver que un ideal que contiene un ideal modular es también modular.

Sorprendentemente, es posible demostrar que incluso en anillos sin identidad, un ideal derecho modular está contenido en un ideal derecho maximal. ^{[ 7 ]} Sin embargo, es posible que un anillo sin identidad carezca por completo de ideales derechos modulares.

La intersección de todos los ideales derechos máximos que son modulares es el radical de Jacobson . ^{[ 8 ]}

Ejemplos

• En el anillo no unitario de enteros pares, (6) es regular (${\displaystyle e=4}$) mientras que (4) no lo es.
• Sea M un A-módulo derecho simple. Si x es un elemento no nulo en M , entonces el anulador de x es un ideal derecho maximal regular en A.
• Si A es un anillo sin ideales derechos maximales, entonces A no puede tener ni un solo ideal derecho modular.

Todo anillo con unidad tiene al menos un ideal de elemento regular: el ideal trivial R mismo. Los ideales de elementos regulares de los anillos conmutativos son ideales esenciales . En un anillo de Goldie derecho semiprimo , se cumple lo contrario: todos los ideales esenciales son ideales de elementos regulares. ^{[ 9 ]}

Dado que el producto de dos elementos regulares (=divisores distintos de cero) de un anillo conmutativo R es también un elemento regular, resulta evidente que el producto de dos ideales de elementos regulares es igualmente un ideal de elementos regulares. Claramente, cualquier ideal que contenga un ideal de elementos regulares es también un ideal de elementos regulares.

Ejemplos

• En un dominio integral , todo elemento distinto de cero es un elemento regular, y por lo tanto, todo ideal distinto de cero es un ideal de elementos regulares.
• El nilradical de un anillo conmutativo está compuesto enteramente por elementos nilpotentes , por lo que ningún elemento puede ser regular. Esto da un ejemplo de un ideal que no es un ideal de elementos regulares.
• En un anillo artiniano , cada elemento es invertible o un divisor de cero. Debido a esto, dicho anillo solo tiene un ideal de elemento regular: solo R.
• En un anillo de Marot , cada ideal regular se genera a partir de elementos regulares.

De la definición, queda claro que R es un anillo regular de von Neumann si y solo si R es un ideal regular de von Neumann. El siguiente enunciado es un lema relevante para los ideales regulares de von Neumann:

Lema : Para un anillo R y un ideal propio J que contiene un elemento a , existe un elemento y en J tal que a = aya si y solo si existe un elemento r en R tal que a = ara . Demostración : La dirección "solo si" es una tautología. Para la dirección "si", tenemos a = ara = arara . Como a está en J , también lo está rar , y por lo tanto, al establecer y = rar, tenemos la conclusión.

Como consecuencia de este lema, resulta evidente que todo ideal de un anillo regular de von Neumann es un ideal regular de von Neumann. Otra consecuencia es que si J y K son dos ideales de R tales que J ⊆ K y K es un ideal regular de von Neumann, entonces J también es un ideal regular de von Neumann.

Si J y K son dos ideales de R , entonces K es regular de von Neumann si y solo si J es un ideal regular de von Neumann y K / J es un anillo regular de von Neumann. ^{[ 10 ]}

Cada anillo tiene al menos un ideal regular de von Neumann, a saber, {0}. Además, cada anillo tiene un ideal regular de von Neumann maximal que contiene a todos los demás ideales regulares de von Neumann, y este ideal viene dado por

${\displaystyle M=\{x\in R\mid RxR{\text{ es un ideal regular de von Neumann }}\}}$.

Ejemplos

• Como se indicó anteriormente, cada ideal de un anillo regular de von Neumann es un ideal regular de von Neumann.
• Es bien sabido que un anillo local que también es un anillo regular de von Neumann es un anillo de división . Sea R un anillo local que no es un anillo de división, y denotemos por J el único ideal derecho maximal . Entonces R no puede ser regular de von Neumann, pero R / J , al ser un anillo de división, es un anillo regular de von Neumann. Por consiguiente, J no puede ser un ideal regular de von Neumann, aunque sea maximal.
• Un dominio simple que no es un anillo de división tiene el número mínimo posible de ideales regulares de von Neumann: solo el ideal {0}.

Si J y K son ideales regulares de von Neumann cociente, entonces también lo es J ∩ K.

Si J ⊆ K son ideales propios de R y J es regular de von Neumann cociente, entonces K también lo es . Esto se debe a que los cocientes de R / J son todos anillos regulares de von Neumann, y a un teorema de isomorfismo para anillos que establece que R / K ≅ ( R / J ) / ( J / K ). En particular, si A es cualquier ideal en R, el ideal A + J es regular de von Neumann cociente si J lo es.

Ejemplos

• Todo ideal propio de un anillo regular de von Neumann es un cociente regular de von Neumann.
• Cualquier ideal maximal en un anillo conmutativo es un ideal cociente regular de von Neumann, ya que R / M es un cuerpo. Esto no es cierto en general, puesto que para anillos no conmutativos R / M puede ser simplemente un anillo simple y no necesariamente regular de von Neumann.
• Sea R un anillo local que no es un anillo de división, y con ideal derecho maximal M. Entonces M es un ideal regular de von Neumann cociente, ya que R / M es un anillo de división, pero R no es un anillo regular de von Neumann.
• De manera más general, en cualquier anillo semilocal, el radical de Jacobson J es regular de von Neumann cociente, ya que R / J es un anillo semisimple , y por lo tanto un anillo regular de von Neumann.