objeto hopfiano

En la rama de las matemáticas denominada teoría de categorías , un objeto hopfiano es un objeto A tal que cualquier epimorfismo de A sobre A es necesariamente un automorfismo . La noción dual es la de un objeto cohopfiano , que es un objeto B tal que todo monomorfismo de B en B es necesariamente un automorfismo. Ambas condiciones se han estudiado en las categorías de grupos , anillos , módulos y espacios topológicos .

Los términos "hopfiano" y "cohopfiano" surgieron en la década de 1960 y se dice que honran a Heinz Hopf y su uso del concepto de grupo hopfiano en su trabajo sobre grupos fundamentales de superficies. ( Hazewinkel 2001 , p. 63) 

Ambas condiciones pueden considerarse tipos de condiciones de finitud en su categoría. Por ejemplo, asumiendo la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección y trabajando en la categoría de conjuntos , los objetos hopfianos y cohopfianos son precisamente los conjuntos finitos . A partir de esto, es fácil ver que todos los grupos finitos, módulos finitos y anillos finitos son hopfianos y cohopfianos en sus categorías.

Los objetos hopfianos y los objetos cohopfianos tienen una interacción elemental con los objetos proyectivos y los objetos inyectivos . Los dos resultados son:

• Un objeto hopfiano inyectivo es cohopfiano.
• Un objeto cohopfiano proyectivo es hopfiano.

La demostración de la primera afirmación es breve: Sea A un objeto hopfiano inyectivo y sea f un morfismo inyectivo de A a A' . Por inyectividad, f se factoriza mediante la aplicación identidad I _A en A' , lo que produce un morfismo g tal que gf = I _A' . Como resultado, g es un morfismo sobreyectivo y, por lo tanto, un automorfismo, y entonces f es necesariamente el automorfismo inverso de g . Esta demostración puede dualizarse para probar la segunda afirmación.

Aquí se presentan algunos resultados básicos en la categoría de módulos. Es especialmente importante recordar que el hecho de que _R sea hopfiano o cohopfiano como módulo es diferente a que R sea hopfiano o cohopfiano como anillo.

• Un módulo noetheriano es hopfiano, y un módulo artiniano es cohopfiano.
• El módulo R _R es hopfiano si y solo si R es un anillo directamente finito . Simétricamente, estas dos condiciones también son equivalentes a que el módulo _R R sea hopfiano.
• En contraste con lo anterior, los módulos R _R o _R R pueden ser cohopfianos o no en cualquier combinación. Un ejemplo de un anillo cohopfiano en un lado pero no en el otro se dio en ( Varadarajan 1992 ) . Sin embargo, si cualquiera de estos dos módulos es cohopfiano, R es hopfiano en ambos lados (ya que R es proyectivo como módulo izquierdo o derecho) y directamente finito.

La situación en la categoría de anillos es bastante diferente a la de la categoría de módulos. Los morfismos en la categoría de anillos con unidad deben preservar la identidad, es decir, enviar 1 a 1.

• Si R satisface la condición de cadena ascendente en los ideales, entonces R es hopfiano. Esto se puede demostrar por analogía con el hecho para módulos noetherianos. Sin embargo, no existe una idea equivalente para "cohopfiano", ya que si f es un homomorfismo de anillos de R en R que preserva la identidad, y la imagen de f no es R , entonces la imagen ciertamente no es un ideal de R. En cualquier caso, esto demuestra que un anillo noetheriano o artiniano unilateral es siempre hopfiano.
• Cualquier anillo simple es hopfiano, puesto que el núcleo de cualquier endomorfismo es un ideal, que necesariamente es cero en un anillo simple. En contraste, en ( Varadarajan 1992 ) se dio un ejemplo de un cuerpo no cohopfiano .
• El anillo lineal completo End _D (V) de un espacio vectorial de dimensión numerable es un anillo hopfiano que no es hopfiano como módulo, ya que solo tiene tres ideales, pero no es directamente finito. El artículo ( Varadarajan 1992 ) también proporciona un ejemplo de un anillo cohopfiano que no es cohopfiano como módulo.
• También en ( Varadarajan 1992 ) , se muestra que para un anillo booleano R y su espacio de Stone asociado X , el anillo R es hopfiano en la categoría de anillos si y solo si X es cohopfiano en la categoría de espacios topológicos, y R es cohopfiano como anillo si y solo si X es hopfiano como espacio topológico.

• En ( Varadarajan 1992 ) , se incluyen una serie de resultados sobre variedades compactas. En primer lugar, las únicas variedades compactas hopfianas son los espacios discretos finitos . En segundo lugar, las variedades compactas sin frontera son siempre cohopfianas. Por último, las variedades compactas con frontera no vacía no son cohopfianas.

• Baumslag, Gilbert (1963), "Hopficity and abelian groups", Topics in Abelian Groups (Actas del Simposio, Universidad Estatal de Nuevo México, 1962) , Chicago, Illinois: Scott, Foresman and Co., págs. 331–335 , MR 0169896  
• Hazewinkel, M., ed. (2001), Enciclopedia de Matemáticas . Suplemento. vol. III , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, págs.  viii+557, ISBN 1-4020-0198-3, SR 1935796 
• Varadarajan, K. (1992), "Objetos hopfianos y co-hopfianos" , Publicacions Matemàtiques , 36 (1): 293– 317, doi : 10.5565/PUBLMAT_36192_21 , ISSN 0214-1493 , MR 1179618  
• Varadarajan, K. (2001), "Algunos resultados recientes sobre Hopficity, co-Hopficity y propiedades relacionadas", Simposio Internacional sobre Teoría de Anillos , Trends Math., Birkhäuser Boston, pp. 371–392 , MR 1851216  

• Grupo hopfiano
• Grupo cohopfiano