Módulo plano

En álgebra , los módulos planos incluyen módulos libres , módulos proyectivos y, sobre un dominio ideal principal , módulos sin torsión . Formalmente, un módulo M sobre un anillo R es plano si al tomar el producto tensorial sobre R con M se conservan las sucesiones exactas . Un módulo es fielmente plano si al tomar el producto tensorial con una sucesión se obtiene una sucesión exacta si y solo si la sucesión original es exacta.

La planitud fue introducida por Jean-Pierre Serre ( 1956 ) en su artículo Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique . 

Un módulo izquierdo M sobre un anillo R es plano si se cumple la siguiente condición: para cada aplicación lineal inyectiva${\displaystyle \varphi :K\a L}$de los módulos R correctos , el mapa

${\displaystyle \varphi \otimes _{R}M:K\otimes _{R}M\to L\otimes _{R}M}$

también es inyectivo, donde${\displaystyle \varphi \otimes _{R}M}$es el mapa inducido por${\displaystyle k\otimes m\mapsto \varphi (k)\otimes m.}$

Para esta definición, basta con restringir las inyecciones.${\displaystyle \varphi }$a las inclusiones de ideales finitamente generados en R.

De forma equivalente, un R -módulo M es plano si el producto tensorial con M es un functor exacto ; es decir, si para cada secuencia exacta corta de R -módulos${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow J\rightarrow 0,}$la secuencia${\displaystyle 0\rightarrow K\otimes _{R}M\rightarrow L\otimes _{R}M\rightarrow J\otimes _{R}M\rightarrow 0}$También es exacto. (Esta es una definición equivalente ya que el producto tensorial es un functor exacto por la derecha ).

Estas definiciones también se aplican si R es un anillo no conmutativo y M es un R -módulo izquierdo; en este caso, K , L y J deben ser R- módulos derechos, y los productos tensoriales no son R- módulos en general, sino solo grupos abelianos .

Caracterizaciones

La planitud también puede caracterizarse por la siguiente condición de ecuación, lo que significa que las relaciones lineales R en M provienen de relaciones lineales en R.

Un R -módulo izquierdo M es plano si y solo si, para cada relación lineal

${\textstyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}x_{i}=0}$

con${\displaystyle r_{i}\in R}$y${\displaystyle x_{i}\in M}$, existen elementos${\displaystyle y_{j}\in M}$y ${\displaystyle a_{i,j}\in R,}$de tal manera que ^{[ 1 ]}

${\textstyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}a_{i,j}=0\qquad }$para${\displaystyle j=1,\ldots ,n,}$

y

${\textstyle x_ {i} = \ suma _ {j = 1} ^ {n} a_ {i,j} y_ {j} \ qquad}$para${\displaystyle i=1,\ldots ,m.}$

Es equivalente a definir n elementos de un módulo y un mapeo lineal desde${\displaystyle R^{n}}$a este módulo, que asigna la base estándar de${\displaystyle R^{n}}$a los n elementos. Esto permite reescribir la caracterización anterior en términos de homomorfismos, como sigue.

Un R -módulo M es plano si y solo si se cumple la siguiente condición: para cada mapa${\displaystyle f:F\to M,}$dónde${\displaystyle F}$es un R -módulo libre finitamente generado, y para cada R -submódulo finitamente generado${\displaystyle K}$de${\displaystyle \ker f,}$el mapa${\displaystyle f}$factores a través de un mapa g a un módulo R libre${\displaystyle G}$de tal manera que${\displaystyle g(K)=0:}$

La planitud está relacionada con otras propiedades de los módulos, como ser libre, proyectivo o libre de torsión. En particular, todo módulo plano es libre de torsión , todo módulo proyectivo es plano y todo módulo libre es proyectivo.

Existen módulos finitamente generados que son planos y no proyectivos. Sin embargo, los módulos finitamente generados planos son todos proyectivos sobre los anillos más comúnmente considerados. Además, un módulo finitamente generado es plano si y solo si es localmente libre , lo que significa que todas las localizaciones en ideales primos son módulos libres.

Esto se resume parcialmente en el siguiente gráfico.

Un homomorfismo de anillos${\displaystyle R\to S}$es plano si S es un R -módulo plano para la estructura de módulo inducida por el homomorfismo. Por ejemplo, el anillo de polinomios R [ t ] es plano sobre R , para cualquier anillo R .

Para cualquier subconjunto multiplicativo${\displaystyle S}$de un anillo conmutativo${\displaystyle R}$la localización${\displaystyle S^{-1}R}$es un álgebra R plana ( es proyectiva solo en casos excepcionales). Por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {Q} }$es plano y no proyectivo sobre${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

Si${\displaystyle I}$es un ideal de un anillo conmutativo noetheriano${\displaystyle R,}$la finalización${\displaystyle {\widehat {R}}}$de${\displaystyle R}$con respecto a${\displaystyle I}$es plano. ^{[ 6 ]} Es fielmente plano si y solo si${\displaystyle I}$está contenido en el radical de Jacobson de${\displaystyle A.}$(Véase también Anillo Zariski .) ^{[ 7 ]}

En esta sección, R denota un anillo conmutativo . Si${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$es un ideal primordial de R , la localización en${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$se denota, como de costumbre, con${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$como un índice. Es decir,${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}=(R\setminus {\mathfrak {p}})^{-1}R,}$y, si M es un R -módulo,${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}=(R\setminus {\mathfrak {p}})^{-1}M=R_{\mathfrak {p}}\otimes _{R}M.}$

Si M es un R -módulo, las tres condiciones siguientes son equivalentes:

• ${\displaystyle M}$es un piso${\displaystyle R}$-módulo;
• ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$es un piso${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$-módulo para cada ideal primo${\displaystyle {\mathfrak {p}};}$
• ${\displaystyle M_{\mathfrak {m}}}$es un piso${\displaystyle R_{\mathfrak {m}}}$-módulo para cada ideal máximo${\displaystyle {\mathfrak {m}}.}$

Esta propiedad es fundamental en el álgebra conmutativa y la geometría algebraica, ya que reduce el estudio de la planitud al caso de anillos locales . A menudo se expresa diciendo que la planitud es una propiedad local .

Un módulo es fielmente plano si al tomar el producto tensorial con una sucesión se obtiene una sucesión exacta si y solo si la sucesión original es exacta. Aunque el concepto se define para módulos sobre un anillo no necesariamente conmutativo, se utiliza principalmente para álgebras conmutativas . Por lo tanto, este es el único caso que se considera aquí, aunque algunos resultados pueden generalizarse al caso de módulos sobre un anillo no conmutativo.

En esta sección,${\displaystyle f\colon R\to S}$es un homomorfismo de anillos conmutativos, que da como resultado${\displaystyle S}$las estructuras de un${\displaystyle R}$-álgebra y un${\displaystyle R}$-módulo. Si${\displaystyle S}$es un${\displaystyle R}$-módulo plano (o fielmente plano), se suele decir que${\displaystyle S}$es plano (o fielmente plano) sobre${\displaystyle R,}$y eso${\displaystyle f}$es plano (o fielmente plano).

Si${\displaystyle S}$es plano sobre${\displaystyle R,}$Las siguientes condiciones son equivalentes.

• ${\displaystyle S}$es fielmente plano.
• Para cada ideal máximo${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$de${\displaystyle R}$, uno tiene${\displaystyle {\mathfrak {m}}S\neq S.}$
• Si${\displaystyle M}$es distinto de cero${\displaystyle R}$-módulo, entonces${\displaystyle M\otimes _{R}S\neq 0.}$
• Para cada ideal primordial${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$de${\displaystyle R,}$existe un ideal primordial${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$de${\displaystyle S}$de tal manera que${\displaystyle {\mathfrak {p}}=f^{-1}({\mathfrak {P}}).}$En otras palabras, el mapa${\displaystyle f^{*}\colon \operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)}$inducido por${\displaystyle f}$en el espectro es sobreyectivo.
• ${\displaystyle f,}$es inyectivo y${\displaystyle R}$es un subanillo puro de${\displaystyle S;}$eso es,${\displaystyle M\to M\otimes _{R}S}$es inyectable para cada${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle M}$. ^{[ a ]}

La segunda condición implica que un homomorfismo local plano de anillos locales es fielmente plano. De la última condición se deduce que${\displaystyle I=IS\cap R}$para cada ideal${\displaystyle I}$de${\displaystyle R}$(llevar${\displaystyle M=R/I}$). En particular, si${\displaystyle S}$es un anillo noetheriano, entonces${\displaystyle R}$También es noetheriano.

La penúltima condición puede enunciarse de la siguiente forma reforzada:${\displaystyle \operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)}$es sumergible , lo que significa que la topología de Zariski de${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$es la topología cociente de la de${\displaystyle \operatorname {Spec} (S)}$(Este es un caso especial del hecho de que un morfismo cuasicompacto fielmente plano de esquemas tiene esta propiedad. ^{[ 10 ]} ). Véase también Morfismo plano §  Propiedades de los morfismos planos .

La planitud también puede expresarse utilizando los functores Tor , los functores derivados izquierdos del producto tensorial. Un functor izquierdo${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle M}$es plano si y solo si

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(X,M)=0}$a pesar de${\displaystyle n\geq 1}$y todo bien${\displaystyle R}$-módulos${\displaystyle X}$). ^{[ b ]}

De hecho, basta con comprobar que el primer término de Tor se anula, es decir, M es plano si y solo si

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(N,M)=0}$

para cualquier${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle N}$o, incluso de forma más restrictiva, cuando${\displaystyle N=R/I}$y${\displaystyle I\subset R}$es cualquier ideal generado finitamente.

Utilizando las secuencias exactas largas del functor Tor , se pueden demostrar fácilmente hechos sobre una secuencia exacta corta.

${\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\longrightarrow }}B{\overset {g}{\longrightarrow }}C\to 0}$

Si${\displaystyle A}$y${\displaystyle C}$son planos, entonces también lo es${\displaystyle B}$. Además, si${\displaystyle B}$y${\displaystyle C}$son planos, entonces también lo es${\displaystyle A}$. Si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son planos,${\displaystyle C}$No es necesario que sea plano en general. Sin embargo, si${\displaystyle A}$es puro en${\displaystyle B}$y${\displaystyle B}$es plano, entonces${\displaystyle A}$y${\displaystyle C}$son planos.

Una resolución plana de un módulo${\displaystyle M}$es una resolución de la forma

${\displaystyle \cdots \to F_{2}\to F_{1}\to F_{0}\to M\to 0,}$

donde el${\displaystyle F_{i}}$son todos módulos planos. Cualquier resolución libre o proyectiva es necesariamente una resolución plana. Las resoluciones planas se pueden utilizar para calcular el functor Tor .

La longitud de una resolución plana finita es el primer subíndice n tal que${\displaystyle F_{n}}$es distinto de cero y${\displaystyle F_{i}=0}$para${\displaystyle i>n}$. Si un módulo${\displaystyle M}$admite una resolución plana finita, la longitud mínima entre todas las resoluciones planas finitas de${\displaystyle M}$se denomina su dimensión plana ^{[ 14 ]} y se denota${\displaystyle \operatorname {fd} (M)}$. Si${\displaystyle M}$Si no admite una resolución plana finita, entonces, por convención, se dice que la dimensión plana es infinita. Como ejemplo, considérese un módulo${\displaystyle M}$de tal manera que${\displaystyle \operatorname {fd} (M)=0}$En esta situación, la exactitud de la secuencia${\displaystyle 0\to F_{0}\to M\to 0}$indica que la flecha en el centro es un isomorfismo y, por lo tanto,${\displaystyle M}$En sí mismo es plano. ^{[ c ]}

En algunas áreas de la teoría de módulos, una resolución plana debe satisfacer el requisito adicional de que cada aplicación sea una pre-cubierta plana del núcleo de la aplicación de la derecha. Para resoluciones proyectivas, esta condición es casi imperceptible: una pre-cubierta proyectiva es simplemente un epimorfismo de un módulo proyectivo. Estas ideas se inspiran en el trabajo de Auslander sobre aproximaciones. También resultan familiares por la noción más común de resoluciones proyectivas mínimas, donde se requiere que cada aplicación sea una cubierta proyectiva del núcleo de la aplicación de la derecha. Sin embargo, las cubiertas proyectivas no tienen por qué existir en general, por lo que las resoluciones proyectivas mínimas solo tienen una utilidad limitada sobre anillos como los de los números enteros.

Aunque no siempre existen cubiertas proyectivas para módulos, se especuló que para anillos generales, cada módulo tendría una cubierta plana , es decir, cada módulo M sería la imagen epimórfica de un módulo plano F tal que cada aplicación de un módulo plano sobre M se factoriza a través de F , y cualquier endomorfismo de F sobre M es un automorfismo. Esta conjetura de la cubierta plana fue enunciada explícitamente por primera vez en Enochs ( 1981 , p. 196) . La conjetura resultó ser cierta, resuelta positivamente y demostrada simultáneamente por L. Bican, R. El Bashir y E. Enochs. ^{[ 15 ]} Esto fue precedido por importantes contribuciones de P. Eklof, J. Trlifaj y J. Xu. 

Dado que existen cubiertas planas para todos los módulos sobre todos los anillos, las resoluciones planas mínimas pueden reemplazar a las resoluciones proyectivas mínimas en muchas circunstancias. La medición de la desviación de las resoluciones planas respecto de las resoluciones proyectivas se denomina álgebra homológica relativa y se aborda en obras clásicas como la de Mac Lane ( 1963 ) y en trabajos más recientes centrados en resoluciones planas, como los de Enochs y Jenda ( 2000 ) .  

Los módulos planos tienen una importancia creciente en las matemáticas constructivas , donde los módulos proyectivos son menos útiles. Por ejemplo, que todos los módulos libres sean proyectivos es equivalente al axioma de elección completo , por lo que los teoremas sobre módulos proyectivos, incluso si se demuestran de forma constructiva, no necesariamente se aplican a los módulos libres. En cambio, no se necesita ninguna elección para demostrar que los módulos libres son planos, por lo que los teoremas sobre módulos planos aún pueden aplicarse. ^{[ 16 ]}

• Planitud genérica
• Morfismo plano
• Anillo regular de von Neumann : anillos sobre los que todos los módulos son planos.
• Anillo normalmente plano