Límite (matemáticas)

Una secuencia de números reales${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots }$Se dice que converge a un límite.${\displaystyle L}$si los términos de la secuencia dan una aproximación arbitrariamente buena del número${\displaystyle L}$, después de descartar un número finito de términos iniciales. Un ejemplo es la secuencia${\displaystyle 0,0.3,0.33,0.333,0.3333,}$y así sucesivamente. Cada término de la secuencia es una aproximación al número racional.${\displaystyle 1/3=0.333\ldots }$Si se desea una aproximación que se encuentre dentro de un margen de error determinado.${\displaystyle \epsilon }$, entonces todos los términos de la secuencia, excepto un número finito, se encuentran dentro del error objetivo. Por ejemplo, para llegar dentro${\displaystyle \epsilon =0.001}$de${\displaystyle 1/3}$, las aproximaciones${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 0.3}$, y${\displaystyle 0.33}$están fuera de la ventana de error, pero después de descartar esas tres aproximaciones, todas las aproximaciones restantes están dentro del rango de error.${\displaystyle \epsilon =0.001}$La misma propiedad de aproximación se cumple para cada error positivo.${\displaystyle \epsilon }$.

Más precisamente, una secuencia${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$Se dice que una matriz de números reales es convergente si existe una${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$de tal manera que para cada número real positivo${\displaystyle \epsilon }$, existe un entero positivo${\displaystyle N}$(Dependiendo de${\displaystyle \epsilon }$) de tal manera que cada término${\displaystyle a_{n}}$con${\displaystyle n>N}$está a distancia${\displaystyle \epsilon }$de${\displaystyle L}$. El número${\displaystyle L}$es único, cuando existe. Se le llama el límite de la secuencia.${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$y esto está escrito $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L.}$$

La definición de límite de una sucesión se puede resumir así:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}$significa que para cada${\displaystyle \epsilon >0}$, existe${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$de tal manera que${\displaystyle |a_{n}-L|<\epsilon }$a pesar de${\displaystyle n>N}$.

Si tal es un${\displaystyle L}$no existe,${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$Se dice que es divergente .

Se dice que una sucesión tiende al infinito si todos sus términos, salvo un número finito, superan cada número dado. Un ejemplo es la sucesión${\displaystyle 1,2,3,\ldots }$de enteros positivos. Esto tiende a infinito porque, para cualquier límite dado${\displaystyle M}$, cada elemento de la secuencia es mayor que${\displaystyle M}$después de descartar el número finito que no lo son. Formalmente,${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$tiende a infinito si, dado cualquier valor real${\displaystyle M}$, existe un entero positivo${\displaystyle N}$de tal manera que${\displaystyle a_{n}>M}$por cada${\displaystyle n>N}$Esto está escrito como${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }$.

De manera similar, se dice que la sucesión tiende a menos infinito si todos los términos, excepto un número finito, son menores que cualquier límite inferior dado. Esto se escribe como${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }$.

En cada caso donde${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }$o${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }$Se dice que la sucesión tiene un límite infinito. Pero no tiene un límite en el sentido de converger a un número real, ya que${\displaystyle \infty }$y${\displaystyle -\infty }$no son números reales.

La discusión anterior sobre secuencias se refiere a secuencias de números reales. La noción de límites se puede definir para secuencias valoradas en espacios más abstractos, como los espacios métricos . Si${\displaystyle M}$es un espacio métrico con función de distancia${\displaystyle d}$, y${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$es una secuencia en${\displaystyle M}$, entonces el límite (cuando existe) de la secuencia es un elemento${\displaystyle a\in M}$de tal manera que, dado${\displaystyle \varepsilon >0}$, existe un${\displaystyle N}$de tal manera que para cada${\displaystyle n>N}$, tenemos $${\displaystyle d(a,a_{n})<\varepsilon .}$$ Una afirmación equivalente es que${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$si la secuencia de números reales${\displaystyle d(a,a_{n})\rightarrow 0}$.

En cierto sentido, el espacio más abstracto en el que se pueden definir límites son los espacios topológicos . Si${\displaystyle X}$es un espacio topológico con topología${\displaystyle \tau }$, y${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$es una secuencia en${\displaystyle X}$, entonces el límite (cuando existe) de la secuencia es un punto${\displaystyle a\in X}$de tal manera que, dado un vecindario (abierto)${\displaystyle U\in \tau }$de${\displaystyle a}$, existe un${\displaystyle N}$de tal manera que para cada${\displaystyle n>N}$,$${\displaystyle a_{n}\in U}$$ se satisface. En este caso, el límite (si existe) puede no ser único. Sin embargo, debe ser único si${\displaystyle X}$es un espacio Hausdorff .

Esta sección trata sobre la idea de límites de sucesiones de funciones, que no debe confundirse con la idea de límites de funciones, que se analiza más adelante.

El campo del análisis funcional busca en parte identificar nociones útiles de convergencia en espacios de funciones. Por ejemplo, consideremos el espacio de funciones de un conjunto genérico.${\displaystyle E}$a${\displaystyle \mathbb {R} }$. Dada una secuencia de funciones${\displaystyle \{f_{n}\}_{n>0}}$de tal manera que cada una sea una función${\displaystyle f_{n}:E\rightarrow \mathbb {R} }$, supongamos que existe una función tal que para cada${\displaystyle x\in E}$,$${\displaystyle f_{n}(x)\rightarrow f(x){\text{ or equivalently }}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x).}$$

Luego la secuencia${\displaystyle f_{n}}$Se dice que converge puntualmente a${\displaystyle f}$Sin embargo , dichas secuencias pueden presentar un comportamiento inesperado. Por ejemplo, es posible construir una secuencia de funciones continuas que tenga un límite puntual discontinuo.

Otra noción de convergencia es la convergencia uniforme . La distancia uniforme entre dos funciones${\displaystyle f,g:E\rightarrow \mathbb {R} }$es la diferencia máxima entre las dos funciones como argumento${\displaystyle x\in E}$es variado. Es decir, $${\displaystyle d(f,g)=\max _{x\in E}|f(x)-g(x)|.}$$ Luego la secuencia${\displaystyle f_{n}}$Se dice que converge uniformemente o tiene un límite uniforme de${\displaystyle f}$si${\displaystyle f_{n}\rightarrow f}$Con respecto a esta distancia, el límite uniforme tiene propiedades más "agradables" que el límite puntual. Por ejemplo, el límite uniforme de una sucesión de funciones continuas es continuo.

En los espacios de funciones se pueden definir diversas nociones de convergencia. Esto a veces depende de la regularidad del espacio. Ejemplos destacados de espacios de funciones con alguna noción de convergencia son los espacios Lp y el espacio de Sobolev .

Es posible definir la noción de tener un límite "izquierdo" ("desde abajo") y una noción de límite "derecho" ("desde arriba"). Estos no tienen por qué coincidir. Un ejemplo lo proporciona la función indicadora positiva ,${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$, definido de tal manera que${\displaystyle f(x)=0}$si${\displaystyle x\leq 0}$, y${\displaystyle f(x)=1}$si${\displaystyle x>0}$. En${\displaystyle x=0}$, la función tiene un "límite izquierdo" de 0, un "límite derecho" de 1 y su límite no existe. Simbólicamente, esto se puede expresar como, para este ejemplo,${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)=0}$, y${\displaystyle \lim _{x\to c^{+}}f(x)=1}$y de esto se puede deducir${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)}$no existe, porque${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to c^{+}}f(x)}$.

Es posible definir la noción de "tendencia al infinito" en el dominio de${\displaystyle f}$,$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=L.}$$

Esto podría considerarse equivalente al límite cuando el recíproco tiende a 0: $${\displaystyle \lim _{x'\rightarrow 0^{+}}f(1/x')=L.}$$

o se puede definir directamente: el "límite de${\displaystyle f}$como${\displaystyle x}$"tiende a infinito positivo" se define como un valor${\displaystyle L}$de tal manera que, dado cualquier real${\displaystyle \varepsilon >0}$, existe un${\displaystyle M>0}$para que para todos${\displaystyle x>M}$,${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$. La definición de secuencias es equivalente: Como${\displaystyle n\rightarrow +\infty }$, tenemos${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow L}$.

En estas expresiones, el infinito normalmente se considera con signo (${\displaystyle +\infty }$o${\displaystyle -\infty }$) y corresponde a un límite unilateral del recíproco. Se puede definir un límite infinito bilateral, pero un autor escribiría explícitamente${\displaystyle \pm \infty }$para que quede claro.

También es posible definir la noción de "tendencia al infinito" en el valor de${\displaystyle f}$,$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=\infty .}$$

Nuevamente, esto podría definirse en términos de una relación recíproca: $${\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}{\frac {1}{f(x)}}=0.}$$

O bien, se puede dar una definición directa de la siguiente manera: dado cualquier número real${\displaystyle M>0}$, hay un${\displaystyle \delta >0}$para que para${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$, el valor absoluto de la función${\displaystyle |f(x)|>M}$. Una secuencia también puede tener un límite infinito: como${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, la secuencia${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow \infty }$.

Esta definición directa es más fácil de extender a límites infinitos unilaterales. Si bien los matemáticos hablan de funciones que se aproximan a los límites "desde arriba" o "desde abajo", no existe una notación matemática estándar para esto, como sí la hay para los límites unilaterales.

Dejar${\displaystyle \{a_{n}\}_{n>0}}$ser una secuencia en un espacio topológico${\displaystyle X}$. Para mayor concreción,${\displaystyle X}$puede pensarse como${\displaystyle \mathbb {R} }$, pero las definiciones son válidas de forma más general. El conjunto límite es el conjunto de puntos tales que si existe una subsucesión convergente${\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k>0}}$con${\displaystyle a_{n_{k}}\rightarrow a}$, entonces${\displaystyle a}$pertenece al conjunto límite. En este contexto, tal${\displaystyle a}$A veces se le llama punto límite.

Un uso de esta noción es caracterizar el "comportamiento a largo plazo" de secuencias oscilatorias. Por ejemplo, considérese la secuencia${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$. A partir de n=1, los primeros términos de esta secuencia son${\displaystyle -1,+1,-1,+1,\cdots }$Se puede comprobar que es oscilatorio, por lo que no tiene límite, pero sí puntos límite .${\displaystyle \{-1,+1\}}$.

Esta noción se utiliza en sistemas dinámicos para estudiar los límites de las trayectorias. Definir una trayectoria como una función${\displaystyle \gamma$ :\mathbb {R} \rightarrow X} ,el punto${\displaystyle \gamma (t)}$se considera como la "posición" de la trayectoria en el "tiempo"${\displaystyle t}$El conjunto límite de una trayectoria se define de la siguiente manera : a cualquier secuencia de tiempos crecientes.${\displaystyle \{t_{n}\}}$, existe una secuencia de posiciones asociada${\displaystyle \{x_{n}\}=\{\gamma (t_{n})\}}$. Si${\displaystyle x}$es el conjunto límite de la secuencia${\displaystyle \{x_{n}\}}$para cualquier secuencia de tiempos crecientes, entonces${\displaystyle x}$es un conjunto límite de la trayectoria.

Técnicamente, este es el${\displaystyle \omega }$-conjunto límite. El conjunto límite correspondiente para secuencias de tiempo decreciente se llama${\displaystyle \alpha }$-límite establecido.

Un ejemplo ilustrativo es la trayectoria circular:${\displaystyle \gamma (t)=(\cos(t),\sin(t))}$. Esto no tiene un límite único, pero para cada${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$, el punto${\displaystyle (\cos(\theta ),\sin(\theta ))}$es un punto límite, dado por la secuencia de tiempos${\displaystyle t_{n}=\theta +2\pi n}$. Pero no es necesario alcanzar los puntos límite en la trayectoria. La trayectoria${\displaystyle \gamma (t)=t/(1+t)(\cos(t),\sin(t))}$También tiene como límite el círculo unitario .

Una aplicación útil de la teoría de sumas de series es para series de potencias . Estas son sumas de series de la forma $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.}$$ A menudo${\displaystyle z}$se considera un número complejo , y se necesita una noción adecuada de convergencia de secuencias complejas. El conjunto de valores de${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$La serie para la cual converge la suma es un círculo, cuyo radio se conoce como radio de convergencia .

Una propiedad de las sucesiones convergentes de números reales es que son sucesiones de Cauchy . ^{[ 11 ]} La definición de una sucesión de Cauchy${\displaystyle \{a_{n}\}}$es que para cada número real${\displaystyle \varepsilon >0}$, hay un${\displaystyle N}$de tal manera que siempre${\displaystyle m,n>N}$, $${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon .}$$

De manera informal, para cualquier error arbitrariamente pequeño${\displaystyle \varepsilon }$, es posible encontrar un intervalo de diámetro${\displaystyle \varepsilon }$de tal manera que, finalmente, la secuencia quede contenida dentro del intervalo.

Las sucesiones de Cauchy están estrechamente relacionadas con las sucesiones convergentes. De hecho, para sucesiones de números reales son equivalentes: cualquier sucesión de Cauchy es convergente.

En espacios métricos generales, sigue siendo cierto que las sucesiones convergentes también son de Cauchy. Pero lo contrario no es cierto: no toda sucesión de Cauchy es convergente en un espacio métrico general. Un contraejemplo clásico son los números racionales ,${\displaystyle \mathbb {Q} }$, con la distancia habitual. La secuencia de aproximaciones decimales a${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, truncado en el${\displaystyle n}$La posición decimal es una sucesión de Cauchy, pero no converge en${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Un espacio métrico en el que toda sucesión de Cauchy es también convergente, es decir, las sucesiones de Cauchy son equivalentes a sucesiones convergentes, se conoce como espacio métrico completo .

Una razón por la que las sucesiones de Cauchy pueden ser "más fáciles de manejar" que las sucesiones convergentes es que son una propiedad de la sucesión.${\displaystyle \{a_{n}\}}$solas, mientras que las secuencias convergentes requieren no solo la secuencia${\displaystyle \{a_{n}\}}$pero también el límite de la secuencia${\displaystyle a}$.