Pruebas de convergencia

En matemáticas , las pruebas de convergencia son métodos para comprobar la convergencia , convergencia condicional , convergencia absoluta , intervalo de convergencia o divergencia de una serie infinita . ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Si el límite del sumando no está definido o es distinto de cero, es decir , entonces la serie debe divergir. En este sentido, las sumas parciales son de Cauchy solo si este límite existe y es igual a cero. La prueba no es concluyente si el límite del sumando es cero. Esto también se conoce como prueba del término n , prueba de divergencia o prueba de divergencia . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$

Esto también se conoce como el criterio de d'Alembert .

Consideremos dos límites y . Si , la serie diverge. Si entonces la serie converge absolutamente. Si entonces la prueba no es concluyente y la serie puede converger absolutamente, condicionalmente o divergir.${\displaystyle \ell =\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$${\displaystyle L=\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$${\displaystyle \ell >1}$${\displaystyle L<1}$${\displaystyle \ell \leq 1\leq L}$

Esto también se conoce como prueba de la raíz n -ésima o criterio de Cauchy .

Dejar

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

donde denota el límite superior (posiblemente ; si el límite existe es el mismo valor).${\displaystyle \limsup }$${\displaystyle \infty }$

Si r < 1, la serie converge de forma absoluta. Si r > 1, la serie diverge. Si r = 1, la prueba de la raíz no es concluyente y la serie puede converger o divergir.

La prueba de la raíz es más fuerte que la prueba de la razón: siempre que la prueba de la razón determina la convergencia o divergencia de una serie infinita, la prueba de la raíz también lo hace, pero no a la inversa. ^[1]

La serie se puede comparar con una integral para establecer la convergencia o divergencia. Sea una función no negativa y monótonamente decreciente tal que . Si entonces la serie converge. Pero si la integral diverge, entonces la serie también lo hace. En otras palabras, la serie converge si y solo si la integral converge. ${\displaystyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle f(n)=a_{n}}$$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}$$${\displaystyle {a_{n}}}$

Un corolario de uso común de la prueba integral es la prueba de la serie p. Sea . Entonces converge si . ${\displaystyle k>0}$${\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{n^{p}}}{\bigg )}}$${\displaystyle p>1}$

El caso de da como resultado la serie armónica, que diverge. El caso de es el problema de Basilea y la serie converge a . En general, para , la serie es igual a la función zeta de Riemann aplicada a , es decir . ${\displaystyle p=1,k=1}$${\displaystyle p=2,k=1}$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$${\displaystyle p>1,k=1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \zeta (p)}$

Si la serie es una serie absolutamente convergente y para n suficientemente grande  , entonces la serie converge absolutamente. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Si , (es decir, cada elemento de las dos secuencias es positivo) y el límite existe, es finito y distinto de cero, entonces ambas series convergen o ambas series divergen. ${\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}>0}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$

Sea una sucesión no negativa y no creciente. Entonces la suma converge si y solo si converge . Además, si convergen, entonces se cumple. ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$${\displaystyle A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}}$${\displaystyle A\leq A^{*}\leq 2A}$

Supongamos que las siguientes afirmaciones son verdaderas:

1. ${\displaystyle \sum a_{n}}$es una serie convergente,
2. ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$es una secuencia monótona, y
3. ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$está delimitado.

Entonces también es convergente. ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$

Toda serie absolutamente convergente converge.

Supongamos que las siguientes afirmaciones son verdaderas:

• ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$es monótono,
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$

Entonces y son series convergentes. Esta prueba también se conoce como criterio de Leibniz . ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}$

Si es una secuencia de números reales y una secuencia de números complejos que satisfacen ${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle \{b_{n}\}}$

• ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$

• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$

• ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}$para cada entero positivo N

donde M es alguna constante, entonces la serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

converge.

Una serie es convergente si y sólo si para cada hay un número natural N tal que ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

se cumple para todos n > N y todos p ≥ 1 .

Sean y dos sucesiones de números reales. Supongamos que es una sucesión estrictamente monótona y divergente y que existe el siguiente límite: ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\ }$

Entonces, el límite

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\ }$

Supongamos que ( f _n ) es una secuencia de funciones reales o complejas definidas en un conjunto A , y que existe una secuencia de números no negativos ( M _n ) que satisfacen las condiciones

• ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$para todos y todas , y${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle x\in A}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$converge.

Luego la serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$

converge absoluta y uniformemente en A .

La prueba de razón puede no ser concluyente cuando el límite de la razón es 1. Sin embargo, las extensiones de la prueba de razón a veces permiten abordar este caso.

Sea { a _n } una secuencia de números positivos.

Definir

${\displaystyle b_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right).}$

Si

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$

existen tres posibilidades:

• Si L > 1 la serie converge (esto incluye el caso L = ∞)
• Si L < 1 la serie diverge
• y si L = 1 la prueba no es concluyente.

Una formulación alternativa de esta prueba es la siguiente. Sea { a _n } una serie de números reales. Entonces, si b > 1 y K (un número natural) existe tal que

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {b}{n}}}$

para todo n > K entonces la serie { a _n } es convergente.

Sea { a _n } una secuencia de números positivos.

Definir

${\displaystyle b_{n}=\ln n\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right).}$

Si

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$

existe, hay tres posibilidades: ^{[2] [3]}

• Si L > 1 la serie converge (esto incluye el caso L = ∞)
• Si L < 1 la serie diverge
• y si L = 1 la prueba no es concluyente.

Sea { a _n } una sucesión de números positivos. Si para algún β > 1, entonces converge si α > 1 y diverge si α ≤ 1 . ^[4]${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\alpha }{n}}+O(1/n^{\beta })}$${\displaystyle \sum a_{n}}$

Sea { a _n } una sucesión de números positivos. Entonces: ^{[5] [6] [7]}

(1) converge si y sólo si hay una secuencia de números positivos y un número real c > 0 tales que . ${\displaystyle \sum a_{n}}$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\geq c}$

(2) diverge si y sólo si existe una secuencia de números positivos tales que${\displaystyle \sum a_{n}}$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0}$

y diverge. ${\displaystyle \sum 1/b_{n}}$

Sea una serie infinita con términos reales y sea una función real cualquiera tal que para todos los enteros positivos n y la segunda derivada exista en . Entonces converge absolutamente si y diverge en caso contrario. ^[8]${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(1/n)=a_{n}}$${\displaystyle f''}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle f(0)=f'(0)=0}$

• Para algunos tipos específicos de series existen pruebas de convergencia más especializadas, por ejemplo, para las series de Fourier existe la prueba de Dini .

Considere la serie

La prueba de condensación de Cauchy implica que ( i ) es finitamente convergente si

es finitamente convergente. Ya que

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n}}$

( ii ) es una serie geométrica con razón . ( ii ) es finitamente convergente si su razón es menor que uno (es decir ). Por lo tanto, ( i ) es finitamente convergente si y solo si .${\displaystyle 2^{(1-\alpha )}}$${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle \alpha >1}$

Si bien la mayoría de las pruebas se ocupan de la convergencia de series infinitas, también se pueden utilizar para mostrar la convergencia o divergencia de productos infinitos . Esto se puede lograr utilizando el siguiente teorema: Sea una secuencia de números positivos. Entonces, el producto infinito converge si y solo si la serie converge. Asimismo, de manera similar, si se cumple, entonces tiende a un límite distinto de cero si y solo si la serie converge. ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle 0<a_{n}<1}$${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Esto se puede demostrar tomando el logaritmo del producto y utilizando la prueba de comparación límite. ^[9]

• La regla del Hospital
• Regla de cambio

• Leithold, Louis (1972). El cálculo con geometría analítica (2.ª ed.). Nueva York: Harper & Row. pp. 655–737. ISBN 0-06-043959-9.