Prueba de comparación directa

En matemáticas , el criterio de comparación , a veces llamado criterio de comparación directa para distinguirlo de otros criterios similares (especialmente el criterio de comparación de límites ), proporciona una forma de deducir si una serie infinita o una integral impropia converge o diverge comparándola con otra cuyas propiedades de convergencia se conocen.

En cálculo , la prueba de comparación para series generalmente consiste en un par de enunciados sobre series infinitas con términos no negativos ( de valor real ): ^{[ 1 ]}

• Si la serie infinita${\displaystyle \sum b_{n}}$converge y${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}}$para todo n suficientemente grande (es decir, para todo${\displaystyle n>N}$para algún valor fijo N ), entonces la serie infinita${\displaystyle \sum a_{n}}$también converge.
• Si la serie infinita${\displaystyle \sum b_{n}}$diverge y${\displaystyle 0\leq b_{n}\leq a_{n}}$para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita${\displaystyle \sum a_{n}}$También diverge.

Nótese que a veces se dice que la serie con términos más largos domina (o eventualmente domina ) a la serie con términos más cortos. ^{[ 2 ]}

Alternativamente, la prueba puede enunciarse en términos de convergencia absoluta , en cuyo caso también se aplica a series con términos complejos : ^{[ 3 ]}

• Si la serie infinita${\displaystyle \sum b_{n}}$es absolutamente convergente y${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita${\displaystyle \sum a_{n}}$También es absolutamente convergente.
• Si la serie infinita${\displaystyle \sum b_{n}}$no es absolutamente convergente y${\displaystyle |b_{n}|\leq |a_{n}|}$para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita${\displaystyle \sum a_{n}}$Tampoco es absolutamente convergente.

Tenga en cuenta que en esta última declaración, la serie${\displaystyle \sum a_{n}}$aún podría ser condicionalmente convergente ; para series de valores reales, esto podría suceder si los a _n no son todos no negativos.

El segundo par de enunciados es equivalente al primero en el caso de series de valores reales porque${\displaystyle \sum c_{n}}$converge absolutamente si y solo si${\displaystyle \sum |c_{n}|}$, una serie con términos no negativos, converge.

La prueba de comparación para integrales se puede enunciar de la siguiente manera, suponiendo funciones continuas de valor real f y g en${\displaystyle [a,b)}$con b o${\displaystyle +\infty }$o un número real en el que f y g tienen cada uno una asíntota vertical: ^{[ 4 ]}

• Si la integral impropia${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$converge y${\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x)}$para${\displaystyle a\leq x<b}$, entonces la integral impropia${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$también converge con${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$
• Si la integral impropia${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$diverge y${\displaystyle 0\leq g(x)\leq f(x)}$para${\displaystyle a\leq x<b}$, entonces la integral impropia${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$También diverge.

Otra prueba para la convergencia de series de valores reales, similar tanto a la prueba de comparación directa anterior como a la prueba de razón , se llama prueba de comparación de razón : ^{[ 5 ]}

• Si la serie infinita${\displaystyle \sum b_{n}}$converge y${\displaystyle a_{n}>0}$,${\displaystyle b_{n}>0}$, y${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita${\displaystyle \sum a_{n}}$también converge.
• Si la serie infinita${\displaystyle \sum b_{n}}$diverge y${\displaystyle a_{n}>0}$,${\displaystyle b_{n}>0}$, y${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita${\displaystyle \sum a_{n}}$También diverge.

• Pruebas de convergencia
• Series convergentes
• Teorema de convergencia dominada
• Prueba integral de convergencia
• prueba de comparación límite
• Teorema de convergencia monótona

• Ayres, Frank Jr.; Mendelson, Elliott (1999). Schaum's Outline of Calculus (4.ª  ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-041973-6.
• Buck, R. Creighton (1965). Cálculo avanzado (2.ª  ed.). Nueva York: McGraw-Hill.
• Knopp, Konrad (1956). Secuencias y series infinitas . Nueva York: Dover Publications. § 3.1. ISBN 0-486-60153-6.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Munem, MA; Foulis, DJ (1984). Cálculo con geometría analítica (2.ª  ed.). Worth Publishers. ISBN 0-87901-236-6.
• Silverman, Herb (1975). Variables complejas . Houghton Mifflin Company. ISBN 0-395-18582-3.
• Whittaker, ET ; Watson, GN (1963). Un curso de análisis moderno (4.ª  ed.). Cambridge University Press. § 2.34. ISBN 0-521-58807-3.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )