Prueba integral de convergencia

En matemáticas , la prueba integral de convergencia es un método utilizado para comprobar la convergencia de series infinitas de términos monótonos . Fue desarrollada por Colin Maclaurin y Augustin-Louis Cauchy y a veces se la conoce como prueba de Maclaurin-Cauchy .

Considérese un entero N y una función f definida en el intervalo no acotado [ N , ∞) , en el que es monótona decreciente . Entonces la serie infinita

${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f(n)}$

converge a un número real si y sólo si la integral impropia

${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}$

es finito. En particular, si la integral diverge, entonces la serie diverge también.

Si la integral impropia es finita, entonces la prueba también da los límites inferior y superior.

para la serie infinita.

Tenga en cuenta que si la función es creciente, entonces la función es decreciente y se aplica el teorema anterior. ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle -f(x)}$

Muchos libros de texto requieren que la función sea positiva, ^{[1] [2] [3]} pero esta condición no es realmente necesaria. Dado que cuando es negativa y decreciente, tanto y diverge como se analiza en Mathematics Stack Exchange. ^{[4] [ se necesita una mejor fuente ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f(n)}$${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}$

La prueba utiliza la prueba de comparación , comparando el término con la integral de en los intervalos y respectivamente. ${\displaystyle f(n)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [n-1,n)}$${\displaystyle [n,n+1)}$

La función monótona es continua casi en todas partes . Para demostrarlo, sea ${\displaystyle f}$

${\displaystyle D=\{x\in [N,\infty )\mid f{\text{ is discontinuous at }}x\}}$

Para cada , existe por la densidad de , un tal que . ${\displaystyle x\in D}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle c(x)\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle c(x)\in \left[\lim _{y\downarrow x}f(y),\lim _{y\uparrow x}f(y)\right]}$

Nótese que este conjunto contiene un intervalo abierto no vacío precisamente si es discontinuo en . Podemos identificar de forma única como el número racional que tiene el índice más pequeño en una enumeración y satisface la propiedad anterior. Dado que es monótono , esto define una aplicación inyectiva y, por lo tanto, es contable . De ello se deduce que es continuo casi en todas partes . Esto es suficiente para la integrabilidad de Riemann . ^[5]${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c:D\to \mathbb {Q} ,x\mapsto c(x)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f}$

Como f es una función decreciente monótona, sabemos que

${\displaystyle f(x)\leq f(n)\quad {\text{for all }}x\in [n,\infty )}$

y

${\displaystyle f(n)\leq f(x)\quad {\text{for all }}x\in [N,n].}$

Por lo tanto, para cada entero n ≥ N ,

y, para cada entero n ≥ N + 1 ,

Sumando todos los n desde N hasta algún entero mayor M , obtenemos ( 2 )

${\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx=\sum _{n=N}^{M}\underbrace {\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx} _{\leq \,f(n)}\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)}$

y de ( 3 )

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=N}^{M}f(n)&=f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}f(n)\\&\leq f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}\underbrace {\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} _{\geq \,f(n)}\\&=f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.\end{aligned}}}$

Combinando estas dos estimaciones se obtiene:

${\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.}$

Si M tiende a infinito, se siguen los límites en ( 1 ) y el resultado.

La serie armónica

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$

diverge porque, utilizando el logaritmo natural , su antiderivada y el teorema fundamental del cálculo , obtenemos

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{n}}\,dn=\ln n{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty \quad {\text{for }}M\to \infty .}$

Por otra parte, la serie

${\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}}$

(cf. función zeta de Riemann ) converge para cada ε > 0 , porque por la regla de potencia

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\,dn=\left.-{\frac {1}{\varepsilon n^{\varepsilon }}}\right|_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}\left(1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}\right)\leq {\frac {1}{\varepsilon }}<\infty \quad {\text{for all }}M\geq 1.}$

De ( 1 ) obtenemos la estimación superior

${\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\leq {\frac {1+\varepsilon }{\varepsilon }},}$

que puede compararse con algunos de los valores particulares de la función zeta de Riemann .

Los ejemplos anteriores que involucran la serie armónica plantean la pregunta de si existen secuencias monótonas tales que f ( n ) disminuye a 0 más rápido que 1/ n pero más lento que 1/ n ^{1+ ε} en el sentido de que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n}}=0\quad {\text{and}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n^{1+\varepsilon }}}=\infty }$

para cada ε > 0 , y si la serie correspondiente de f ( n ) todavía diverge. Una vez que se encuentra dicha secuencia, se puede plantear una pregunta similar con f ( n ) tomando el papel de 1/ n , y así sucesivamente. De esta manera es posible investigar el límite entre la divergencia y la convergencia de series infinitas.

Utilizando la prueba integral de convergencia, se puede demostrar (ver más abajo) que, para cada número natural k , la serie

todavía diverge (cf. prueba de que la suma de los recíprocos de los primos diverge para k = 1 ) pero

converge para cada ε > 0. Aquí ln _k denota la composición k -fold del logaritmo natural definido recursivamente por

${\displaystyle \ln _{k}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{for }}k=1,\\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{for }}k\geq 2.\end{cases}}}$

Además, N _k denota el número natural más pequeño tal que la composición k -fold está bien definida y ln _k ( N _k ) ≥ 1 , es decir

${\displaystyle N_{k}\geq \underbrace {e^{e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}}}} _{k\ e'{\text{s}}}=e\uparrow \uparrow k}$

utilizando tetración o notación de flecha hacia arriba de Knuth .

Para ver la divergencia de la serie ( 4 ) utilizando la prueba integral, observe que mediante la aplicación repetida de la regla de la cadena

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}},}$

por eso

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}=\ln _{k+1}(x){\bigr |}_{N_{k}}^{\infty }=\infty .}$

Para ver la convergencia de la serie ( 5 ), observe que por la regla de potencia , la regla de la cadena y el resultado anterior

${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}},}$

por eso

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{N_{k}}^{\infty }<\infty }$

y ( 1 ) da límites para la serie infinita en ( 5 ).

• Pruebas de convergencia
• Convergencia (matemáticas)
• Prueba de comparación directa
• Teorema de convergencia dominada
• Fórmula de Euler-Maclaurin
• Prueba de comparación de límites
• Teorema de convergencia monótona

• Knopp, Konrad , "Secuencias y series infinitas", Dover Publications , Inc., Nueva York, 1956. (§ 3.3) ISBN  0-486-60153-6
• Whittaker, ET, y Watson, GN, Un curso de análisis moderno , cuarta edición, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3 
• Ferreira, Jaime Campos, Ed Calouste Gulbenkian, 1987, ISBN 972-31-0179-3