Clasificación de discontinuidades

Si bien las funciones continuas son importantes en matemáticas , no todas lo son. Si una función no es continua en un punto límite (también llamado punto de acumulación o punto de agrupamiento) de su dominio , presenta una discontinuidad en ese punto. El conjunto de todos los puntos de discontinuidad de una función puede ser un conjunto discreto , un conjunto denso o incluso todo el dominio de la función.

En análisis real elemental , las discontinuidades de funciones reales de una variable real suelen distinguirse según el comportamiento de los límites laterales. Si bien no existe una clasificación totalmente estandarizada, una división común es entre discontinuidades de primer tipo, donde existen los límites laterales relevantes, y discontinuidades de segundo tipo, donde al menos un límite lateral no existe o es infinito. Casos especiales incluyen discontinuidades removibles y discontinuidades de salto .

Para cada uno de los siguientes casos, considere una función de valor real.${\displaystyle f}$de una variable real${\displaystyle x,}$definido en un vecindario del punto${\displaystyle x_{0}}$en el cual${\displaystyle f}$es discontinuo.

discontinuidad removible

Consideremos la función por partes$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\text{ para }}x<1\\0&{\text{ para }}x=1\\2-x&{\text{ para }}x>1\end{cases}}}$$

El punto${\displaystyle x_{0}=1}$es una discontinuidad removible . Para este tipo de discontinuidad:

El límite unilateral desde la dirección negativa: $${\displaystyle L^{-}=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)}$$ y el límite unilateral desde la dirección positiva: $${\displaystyle L^{+}=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)}$$ en${\displaystyle x_{0}}$ambos existen, son finitos y son iguales.${\displaystyle L=L^{-}=L^{+}.}$En otras palabras, dado que los dos límites laterales existen y son iguales, el límite${\displaystyle L}$de${\displaystyle f(x)}$como${\displaystyle x}$aproches${\displaystyle x_{0}}$existe y es igual a este mismo valor. Si el valor real de${\displaystyle f\left(x_{0}\right)}$no es igual a${\displaystyle L,}$entonces${\displaystyle x_{0}}$se llama undiscontinuidad removible . Esta discontinuidad se puede eliminar para hacer${\displaystyle f}$continuo en${\displaystyle x_{0},}$o más precisamente, la función $${\displaystyle g(x)={\begin{cases}f(x)&x\neq x_{0}\\L&x=x_{0}\end{cases}}}$$ es continuo en${\displaystyle x=x_{0}.}$

El término discontinuidad removible a veces se amplía para incluir una singularidad removible , en la que los límites en ambas direcciones existen y son iguales, mientras que la función no está definida en el punto${\displaystyle x_{0}.}$^{[ a ]} ​​Este uso es unabuso de la terminologíaporquela continuidady la discontinuidad de una función son conceptos definidos solo para puntos en el dominio de la función.

discontinuidad de salto

Consideremos la función $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ para }}x<1\\0&{\mbox{ para }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ para }}x>1\end{cases}}}$$

Entonces, el punto${\displaystyle x_{0}=1}$es undiscontinuidad de salto .

En este caso, no existe un único límite porque los límites unilaterales,${\displaystyle L^{-}}$y${\displaystyle L^{+}}$existen y son finitos, pero no son iguales: puesto que,${\displaystyle L^{-}\neq L^{+},}$el límite${\displaystyle L}$no existe. Entonces,${\displaystyle x_{0}}$Se denomina discontinuidad de salto , discontinuidad de paso o discontinuidad de primer tipo . Para este tipo de discontinuidad, la función${\displaystyle f}$puede tener algún valor en${\displaystyle x_{0}.}$

discontinuidad esencial

Para una discontinuidad esencial, al menos uno de los dos límites unilaterales no existe en${\displaystyle \mathbb {R} }$. (Observe que uno o ambos límites unilaterales pueden ser${\displaystyle \pm \infty }$).

Consideremos la función $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ para }}x<1\\0&{\text{ para }}x=1\\{\frac {1}{x-1}}&{\text{ para }}x>1.\end{cases}}}$$

Entonces, el punto${\displaystyle x_{0}=1}$es undiscontinuidad esencial .

En este ejemplo, ambos${\displaystyle L^{-}}$y ${\displaystyle L^{+}}$no existen en${\displaystyle \mathbb {R} }$, satisfaciendo así la condición de discontinuidad esencial. Por lo tanto,${\displaystyle x_{0}}$es una discontinuidad esencial, una discontinuidad infinita o una discontinuidad de segundo tipo. (Esto es distinto de una singularidad esencial , que se usa a menudo al estudiar funciones de variables complejas ).

Suponiendo que${\displaystyle f}$es una función definida en un intervalo${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} ,}$lo denotaremos por${\displaystyle D}$el conjunto de todas las discontinuidades de${\displaystyle f}$en${\displaystyle I.}$Por${\displaystyle R}$nos referiremos al conjunto de todos${\displaystyle x_{0}\in I}$de tal manera que${\displaystyle f}$tiene una discontinuidad removible en${\displaystyle x_{0}.}$Análogamente por${\displaystyle J}$denotamos el conjunto constituido por todos${\displaystyle x_{0}\in I}$de tal manera que${\displaystyle f}$tiene una discontinuidad de salto en${\displaystyle x_{0}.}$El conjunto de todos${\displaystyle x_{0}\in I}$de tal manera que${\displaystyle f}$tiene una discontinuidad esencial en${\displaystyle x_{0}}$se denotará por${\displaystyle E.}$Por supuesto entonces${\displaystyle D=R\cup J\cup E.}$

Las dos propiedades siguientes del conjunto${\displaystyle D}$son relevantes en la literatura.

• El conjunto${\displaystyle D}$es un${\displaystyle F_{\sigma }}$conjunto . El conjunto de puntos en los que una función es continua es siempre un${\displaystyle G_{\delta }}$conjunto (ver ^{[ 2 ]} ).
• Si en el intervalo${\displaystyle I,}$${\displaystyle f}$es monótono entonces${\displaystyle D}$es como máximo contable y${\displaystyle D=J.}$Este es el teorema de Froda .

Tom Apostol ^{[ 3 ]} sigue parcialmente la clasificación anterior al considerar solo discontinuidades removibles y de salto. Su objetivo es estudiar las discontinuidades de funciones monótonas, principalmente para demostrar el teorema de Froda. Con el mismo propósito, Walter Rudin ^{[ 4 ]} y Karl R. Stromberg ^{[ 5 ]} también estudian discontinuidades removibles y de salto utilizando terminologías diferentes. Sin embargo, además, ambos autores afirman que${\displaystyle R\cup J}$siempre es un conjunto numerable (ver ^{[ 6 ] [ 7 ]} ).

El término discontinuidad esencial tiene evidencia de uso en contexto matemático ya en 1889. ^{[ 8 ]} Sin embargo, el primer uso del término junto con una definición matemática parece haber sido dado en el trabajo de John Klippert. ^{[ 9 ]} En ese trabajo, Klippert también clasificó las discontinuidades esenciales subdividiendo el conjunto${\displaystyle E}$en los tres conjuntos siguientes:

$${\displaystyle E_{1}=\left\{x_{0}\in I:\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ y }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ no existen en }}\mathbb {R} \right\},}$$$${\displaystyle E_{2}=\left\{x_{0}\in I:\ \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ existe en }}\mathbb {R} {\text{ y }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ no existe en }}\mathbb {R} \right\},}$$$${\displaystyle E_{3}=\left\{x_{0}\in I:\ \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ no existe en }}\mathbb {R} {\text{ y }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ existe en }}\mathbb {R} \right\}.}$$

Por supuesto${\displaystyle E=E_{1}\cup E_{2}\cup E_{3}.}$Cuando sea${\displaystyle x_{0}\in E_{1},}$${\displaystyle x_{0}}$se denomina discontinuidad esencial de primer tipo . Cualquier${\displaystyle x_{0}\in E_{2}\cup E_{3}}$Se dice que es una discontinuidad esencial de segundo tipo. Por lo tanto, amplía el conjunto.${\displaystyle R\cup J}$sin perder su característica de ser contable, al afirmar lo siguiente:

• El conjunto${\displaystyle R\cup J\cup E_{2}\cup E_{3}}$es contable.

Cuando${\displaystyle I=[a,b]}$y${\displaystyle f}$es una función acotada , es bien conocida la importancia del conjunto${\displaystyle D}$en lo que respecta a la integrabilidad de Riemann de${\displaystyle f.}$De hecho, el teorema de Lebesgue (también llamado teorema de Lebesgue-Vitali) afirma que${\displaystyle f}$es integrable de Riemann en${\displaystyle I=[a,b]}$si y solo si${\displaystyle D}$es un conjunto con medida de Lebesgue cero.

En este teorema parece que todo tipo de discontinuidades tienen el mismo peso en la obstrucción que una función acotada${\displaystyle f}$ser integrable de Riemann en${\displaystyle [a,b].}$Dado que los conjuntos numerables son conjuntos de medida de Lebesgue cero y una unión numerable de conjuntos con medida de Lebesgue cero sigue siendo un conjunto de medida de Lebesgue cero, ahora vemos que esto no es así. De hecho, las discontinuidades en el conjunto${\displaystyle R\cup J\cup E_{2}\cup E_{3}}$son absolutamente neutrales con respecto a la integrabilidad de Riemann de${\displaystyle f.}$Las principales discontinuidades para ese propósito son las discontinuidades esenciales de primer tipo y, en consecuencia, el teorema de Lebesgue-Vitali se puede reescribir de la siguiente manera:

• Una función acotada,${\displaystyle f,}$es integrable de Riemann en${\displaystyle [a,b]}$si y solo si el conjunto correspondiente${\displaystyle E_{1}}$de todas las discontinuidades esenciales de primer tipo${\displaystyle f}$tiene la medida de Lebesgue cero.

El caso donde${\displaystyle E_{1}=\varnothing }$corresponden a las siguientes situaciones clásicas complementarias bien conocidas de integrabilidad de Riemann de una función acotada${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$:

• Si${\displaystyle f}$tiene límite derecho en cada punto de${\displaystyle [a,b[}$entonces${\displaystyle f}$es integrable de Riemann en${\displaystyle [a,b]}$(véase ^{[ 10 ]} )
• Si${\displaystyle f}$tiene límite izquierdo en cada punto de${\displaystyle ]a,b]}$entonces${\displaystyle f}$es integrable de Riemann en${\displaystyle [a,b].}$
• Si${\displaystyle f}$es una función regulada en${\displaystyle [a,b]}$entonces${\displaystyle f}$es integrable de Riemann en${\displaystyle [a,b].}$

Dejar${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$un intervalo abierto, sea${\displaystyle F:I\to \mathbb {R} }$ser diferenciable en${\displaystyle I,}$y dejar${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ser el derivado de${\displaystyle F.}$Eso es,${\displaystyle F'(x)=f(x)}$por cada${\displaystyle x\in I}$Según el teorema de Darboux , la función derivada${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$satisface la propiedad de valor intermedio. La función${\displaystyle f}$por supuesto, puede ser continua en el intervalo${\displaystyle I,}$en cuyo caso también se aplica el teorema de Bolzano . Recordemos que el teorema de Bolzano afirma que toda función continua satisface la propiedad del valor intermedio. Por otro lado, lo contrario es falso: el teorema de Darboux no asume${\displaystyle f}$ser continuo y la propiedad del valor intermedio no implica${\displaystyle f}$es continuo en${\displaystyle I.}$

Sin embargo, el teorema de Darboux tiene una consecuencia inmediata sobre el tipo de discontinuidades que${\displaystyle f}$puede tener. De hecho, si${\displaystyle x_{0}\in I}$es un punto de discontinuidad de${\displaystyle f}$, entonces necesariamente${\displaystyle x_{0}}$es una discontinuidad esencial de${\displaystyle f}$. ^{[ 11 ]} Esto significa, en particular, que no pueden ocurrir las dos situaciones siguientes :

Además, hay que excluir otras dos situaciones (véase John Klippert ^{[ 12 ]} ):

Obsérvese que siempre que se cumpla una de las condiciones (i), (ii), (iii) o (iv) para algún${\displaystyle x_{0}\in I}$se puede concluir que${\displaystyle f}$no posee un antiderivado ,${\displaystyle F}$, en el intervalo${\displaystyle I}$.

Por otro lado, un nuevo tipo de discontinuidad con respecto a cualquier función${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$se puede introducir: una discontinuidad esencial,${\displaystyle x_{0}\in I}$, de la función${\displaystyle f}$Se dice que es una discontinuidad esencial fundamental de${\displaystyle f}$si

$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)\neq \pm \infty }$$y$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)\neq \pm \infty .}$$

Por lo tanto, si${\displaystyle x_{0}\in I}$es una discontinuidad de una función derivada${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$, entonces necesariamente${\displaystyle x_{0}}$es una discontinuidad esencial fundamental de${\displaystyle f}$.

Observe también que cuando ${\displaystyle I=[a,b]}$y${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$es una función acotada, como en los supuestos del teorema de Lebesgue, tenemos para todo${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$: $${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{\pm }}f(x)\neq \pm \infty ,}$$$${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\neq \pm \infty ,}$$y $${\displaystyle \lim _{x\to b^{-}}f(x)\neq \pm \infty .}$$ Por lo tanto, cualquier discontinuidad esencial de${\displaystyle f}$es fundamental.

• Singularidad removible : punto indefinido en una función holomorfa que puede hacerse regular. 
• Singularidad matemática : punto donde un objeto matemático se comporta de manera irregular. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento. 
• Extensión por continuidad – Propiedad del espacio topológico 
• Suavidad : Grado de diferenciabilidad de una función o mapa. 
  • Continuidad geométrica : grado de diferenciabilidad de una función o mapa. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento. 
  • Continuidad paramétrica : concepto de suavidad para curvas paramétricas 

• Malik, SC; Arora, Savita (1992). Análisis matemático (2.ª  ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0-470-21858-4.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: ubicación del editor ( enlace )

• "Discontinuo" . PlanetMath .
• "Discontinuidad" de Ed Pegg, Jr. , The Wolfram Demonstrations Project , 2007.
• Weisstein, Eric W. "Discontinuidad" . MathWorld .
• Kudryavtsev, LD (2001) [1994]. "Punto de discontinuidad" . Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press .