Función regulada

En matemáticas , una función regulada , o función reglada , es un tipo específico de función bien comportada de una sola variable real . Las funciones reguladas surgen como una clase de funciones integrables y poseen varias caracterizaciones equivalentes. Nicolas Bourbaki introdujo las funciones reguladas en 1949, en su libro "Livre IV: Fonctions d'une variable réelle".

Sea X un espacio de Banach con norma || - || _X . Se dice que una función f  : [0, T ] → X es una función regulada si se cumple una (y por lo tanto ambas) de las siguientes dos condiciones equivalentes: ^{[ 1 ]}

• para cada t en el intervalo [0, T ], tanto los límites izquierdo como derecho f ( t −) y f ( t +) existen en X (aparte, obviamente, de f (0−) y f ( T +));
• Existe una secuencia de funciones escalonadas φ _n  : [0, T ] → X que convergen uniformemente a f (es decir, con respecto a la norma del supremo || - || _∞ ).

Para que esta equivalencia sea válida, la definición de "función escalonada" debe ser aquella que permite intervalos degenerados (es decir, elementos únicos).

Se requiere un poco de trabajo para demostrar que estas dos condiciones son equivalentes. Sin embargo, es relativamente fácil ver que la segunda condición puede reformularse de las siguientes maneras equivalentes:

• para cada δ > 0, existe alguna función escalón φ _δ  : [0, T ] → X tal que

${\displaystyle \|f-\varphi _{\delta }\|_{\infty }=\sup _{t\in [0,T]}\|f(t)-\varphi _{\delta }(t)\|_{X}<\delta ;}$

• f se encuentra en la clausura del espacio Step([0, T ]; X ) de todas las funciones escalonadas de [0, T ] en X (tomando la clausura con respecto a la norma del supremo en el espacio B([0, T ]; X ) de todas las funciones acotadas de [0, T ] en X ).

Sea Reg([0,  T ];  X ) el conjunto de todas las funciones reguladas f  : [0, T ] → X .

• Las sumas y los múltiplos escalares de funciones reguladas también son funciones reguladas. En otras palabras, Reg([0,  T ];  X ) es un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo K que el espacio X ; típicamente, K serán los números reales o complejos . Si X está dotado de la operación de multiplicación, entonces los productos de funciones reguladas también son funciones reguladas. En otras palabras, si X es un álgebra sobre K , entonces Reg([0,  T ];  X ) también lo es.
• La norma suprema es una norma en Reg([0,  T ];  X ), y Reg([0,  T ];  X ) es un espacio vectorial topológico con respecto a la topología inducida por la norma suprema.
• Como se indicó anteriormente, Reg([0,  T ];  X ) es el cierre en B([0,  T ];  X ) de Step([0,  T ];  X ) con respecto a la norma suprema.
• Si X es un espacio de Banach , entonces Reg([0,  T ];  X ) también es un espacio de Banach con respecto a la norma del supremo.
• Reg([0, T ]; R ) forma un álgebra de Banach real de dimensión infinita : las combinaciones lineales finitas y los productos de funciones reguladas son de nuevo funciones reguladas.
• Dado que una función continua definida en un espacio compacto (como [0, T ]) es automáticamente uniformemente continua , toda función continua f  : [0, T ] → X también está regulada. De hecho, con respecto a la norma del supremo, el espacio C ⁰ ([0,  T ];  X ) de funciones continuas es un subespacio lineal cerrado de Reg([0,  T ];  X ).
• Si X es un espacio de Banach , entonces el espacio BV([0,  T ];  X ) de funciones de variación acotada forma un subespacio lineal denso de Reg([0,  T ];  X ):

${\displaystyle \mathrm {Reg} ([0,T];X)={\overline {\mathrm {BV} ([0,T];X)}}{\mbox{ wrt }}\|\cdot \|_{\infty }.}$

• Si X es un espacio de Banach, entonces una función f  : [0, T ] → X está regulada si y solo si tiene una variación φ acotada para algún φ :

${\displaystyle \mathrm {Reg} ([0,T];X)=\bigcup _{\varphi }\mathrm {BV} _{\varphi }([0,T];X).}$

• Si X es un espacio de Hilbert separable , entonces Reg([0,  T ];  X ) satisface un teorema de compacidad conocido como el teorema de selección de Fraňková–Helly .
• El conjunto de discontinuidades de una función regulada de variación acotada BV es numerable, ya que dichas funciones solo presentan discontinuidades de tipo salto. Para comprobarlo, basta con observar que, dado , el conjunto de puntos en los que los límites derecho e izquierdo difieren en más de es finito. En particular, el conjunto de discontinuidades tiene medida cero , de lo cual se deduce que una función regulada tiene una integral de Riemann bien definida .${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \epsilon }$
• Nota: Según el teorema de la categoría de Baire, el conjunto de puntos de discontinuidad de dicha función es pequeño o bien tiene interior no vacío. Esto no siempre es equivalente a la numerabilidad. ^{[ 2 ]}${\displaystyle F_{\sigma }}$

• La integral, tal como se define en funciones escalonadas de la manera obvia, se extiende naturalmente a Reg([0,  T ];  X ) definiendo la integral de una función regulada como el límite de las integrales de cualquier secuencia de funciones escalonadas que convergen uniformemente a ella. Esta extensión está bien definida y satisface todas las propiedades habituales de una integral. En particular, la integral regulada
  • es una función lineal acotada de Reg([0,  T ];  X ) a X ; por lo tanto, en el caso X = R , la integral es un elemento del espacio que es dual a Reg([0, T ]; R );
  • coincide con la integral de Riemann .

• Aumann, Georg (1954), Reelle Funktionen , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, Bd LXVIII (en alemán), Berlín: Springer-Verlag, págs. viii+416MR  0061652
• Dieudonné, Jean (1969), Fundamentos del análisis moderno , Academic Press, págs. xviii+387MR  0349288
• Fraňková, Dana (1991), "Funciones reguladas", Math. Bohemia. , 116 (1): 20– 59, ISSN  0862-7959MR  1100424
• Gordon, Russell A. (1994), Las integrales de Lebesgue, Denjoy, Perron y Henstock , Estudios de posgrado en matemáticas , 4, Providence, RI: American Mathematical Society, pp.  xii+395 , ISBN 0-8218-3805-9MR  1288751
• Lang, Serge (1985), Variedades diferenciales (Segunda edición), Nueva York: Springer-Verlag, págs. ix+230, ISBN 0-387-96113-5MR  0772023

• "Cómo demostrar que un conjunto de puntos discontinuos de una función creciente es, como máximo, numerable" . Stack Exchange . 23 de noviembre de 2011.
• "Las funciones de variación acotada presentan discontinuidades de tipo salto" . Stack Exchange . 28 de noviembre de 2013.
• "¿Hasta qué punto puede ser discontinua una derivada?" . Stack Exchange . 22 de febrero de 2012.