Prueba de comparación de límites

En matemáticas , la prueba de comparación límite (LCT) (en contraste con la prueba de comparación directa relacionada ) es un método para probar la convergencia de una serie infinita .

Supongamos que tenemos dos series y con para todo . Entonces, si con , entonces ambas series convergen o ambas series divergen. ^[1]${\displaystyle \Sigma _{n}a_{n}}$${\displaystyle \Sigma _{n}b_{n}}$${\displaystyle a_{n}\geq 0,b_{n}>0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$${\displaystyle 0<c<\infty }$

Porque sabemos que para cada hay un entero positivo tal que para todos tenemos que , o equivalentemente ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle n\geq n_{0}}$${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon }$

${\displaystyle -\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon }$

${\displaystyle c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon }$

${\displaystyle (c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}$

Como podemos elegir que sea suficientemente pequeño de modo que sea positivo, y por la prueba de comparación directa , si converge, entonces también lo hace . ${\displaystyle c>0}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle c-\varepsilon }$${\displaystyle b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}}$${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$

De manera similar , entonces si diverge, nuevamente por la prueba de comparación directa, también lo hace . ${\displaystyle a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}$${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$

Es decir, ambas series convergen o ambas series divergen.

Queremos determinar si la serie converge. Para ello la comparamos con la serie convergente${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

Como tenemos que la serie original también converge. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0}$

Se puede formular una prueba de comparación unilateral utilizando el límite superior . Sea para todo . Entonces, si con y converge, necesariamente converge. ${\displaystyle a_{n},b_{n}\geq 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$${\displaystyle 0\leq c<\infty }$${\displaystyle \Sigma _{n}b_{n}}$${\displaystyle \Sigma _{n}a_{n}}$

Sea y para todos los números naturales . Ahora no existe, por lo que no podemos aplicar la prueba de comparación estándar. Sin embargo, y dado que converge, la prueba de comparación unilateral implica que converge. ${\displaystyle a_{n}={\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}}$${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})=2\in [0,\infty )}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}}$

Sea para todos . Si diverge y converge, entonces necesariamente , es decir, . El contenido esencial aquí es que en cierto sentido los números son mayores que los números . ${\displaystyle a_{n},b_{n}\geq 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Sigma _{n}a_{n}}$${\displaystyle \Sigma _{n}b_{n}}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty }$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=0}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle b_{n}}$

Sea analítico en el disco unitario y tenga imagen de área finita. Por la fórmula de Parseval el área de la imagen de es proporcional a . Además, diverge. Por lo tanto, por el inverso de la prueba de comparación, tenemos , es decir, . ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n|a_{n}|^{2}}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1/n}$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {n|a_{n}|^{2}}{1/n}}=\liminf _{n\to \infty }(n|a_{n}|)^{2}=0}$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }n|a_{n}|=0}$

• Pruebas de convergencia
• Prueba de comparación directa

• Rinaldo B. Schinazi: Del cálculo al análisis . Springer, 2011, ISBN 9780817682897 , pp. 50 
• Michele Longo y Vincenzo Valori: La prueba de comparación: no sólo para series no negativas . Mathematics Magazine, vol. 79, n.º 3 (junio de 2006), págs. 205-210 (JSTOR)
• J. Marshall Ash: La prueba de comparación de límites necesita positividad . Mathematics Magazine, vol. 85, n.º 5 (diciembre de 2012), págs. 374-375 (JSTOR)

• Notas en línea de Paul sobre la prueba de comparación