Módulo de convergencia

En el análisis real , una rama de las matemáticas , un módulo de convergencia es una función que indica la rapidez con la que converge una secuencia convergente . Estos módulos se emplean a menudo en el estudio del análisis computable y las matemáticas constructivas .

Si una secuencia de números reales converge a un número real , entonces, por definición, para cada real existe un número natural tal que si entonces . Un módulo de convergencia es esencialmente una función que, dado , devuelve un valor correspondiente de . $Estilo de visualización x_{i}}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\estilo de visualización N}$${\displaystyle i>N}$${\displaystyle \izquierda|x-x_{i}\derecha|<\varepsilon }$${\estilo de visualización \varepsilon}$${\estilo de visualización N}$

Supongamos que es una sucesión convergente de números reales con límite . Hay dos formas de definir un módulo de convergencia como función de números naturales a números naturales: $Estilo de visualización x_{i}}$ ${\estilo de visualización x}$

• Como una función tal que para todo , si entonces .${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle i>f(n)}$${\displaystyle \izquierda|x-x_{i}\derecha|<1/n}$
• Como una función tal que para todo , si entonces .${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle i\geq j>g(n)}$${\displaystyle \izquierda|x_{i}-x_{j}\derecha|<1/n}$

La última definición se emplea a menudo en contextos constructivos, donde el límite puede identificarse en realidad con la secuencia convergente. Algunos autores utilizan una definición alternativa que reemplaza por . ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización 1/n}$${\estilo de visualización 2^{-n}}$

• Módulo de continuidad

• Klaus Weihrauch (2000), Análisis computable .