Lista de límites

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$si y solo si${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0:0<|xc|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon }$. Esta es la definición (ε, δ) de límite .

El límite superior y el límite inferior de una secuencia se definen como${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)}$y${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)}$.

Una función,${\displaystyle f(x)}$Se dice que es continua en un punto c si$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c).}$$

Si${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$entonces:

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm a]=L\pm a}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,af(x)=aL}$^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{L}}}$^{[ 4 ]} si L no es igual a 0.
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{n}=L^{n}}$ si n es un entero positivo ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}=L^{1 \over n}}$Si n es un entero positivo, y si n es par, entonces L > 0. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

En general, si g ( x ) es continua en L y${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$entonces

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}g\left(f(x)\right)=g(L)}$^{[ 1 ] [ 2 ]}

Si${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L_{1}}$y${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}}$entonces:

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}}$^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\cdot L_{2}}$^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\qquad {\text{ si }}L_{2}\neq 0}$^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

En estos límites, el cambio infinitesimal${\displaystyle h}$a menudo se denota${\displaystyle \Delta x}$o${\displaystyle \delta x}$. Si${\displaystyle f(x)}$es diferenciable en${\displaystyle x}$,

• ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)}$. Esta es la definición de la derivada . Todas las reglas de diferenciación también pueden reformularse como reglas que involucran límites. Por ejemplo, si g ( x ) es diferenciable en x ,
  • ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f\circ g(x+h)-f\circ g(x) \over h}=f'[g(x)]g'(x)}$Esta es la regla de la cadena .
  • ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) \over h}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$Esta es la regla del producto .
• ${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{1/h}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}$
• ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\left({f(e^{h}x) \over {f(x)}}\right)^{1/h}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)}$

Si${\displaystyle f(x)}$y${\displaystyle g(x)}$son diferenciables en un intervalo abierto que contiene a c , excepto posiblemente a c mismo, y${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty }$Se puede utilizar la regla de L'Hôpital :

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$^{[ 2 ]}

Si${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$para todo x en un intervalo que contiene a c , excepto posiblemente a c mismo, y el límite de${\displaystyle f(x)}$y${\displaystyle g(x)}$ambos existen en c , entonces ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)\leq \lim _{x\to c}g(x)}$$

Si${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L}$y${\displaystyle f(x)\leq g(x)\leq h(x)}$para todo x en un intervalo abierto que contiene a c , excepto posiblemente a c mismo, $${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L.}$$Esto se conoce como el teorema de compresión . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Esto se aplica incluso en los casos en que f ( x ) y g ( x ) toman valores diferentes en c , o son discontinuas en c .

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x=c}$^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}(ax+b)=ac+b}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x^{n}=c^{n}}$si n es un entero positivo ^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x/a={\begin{cases}\infty ,&a>0\\{\text{does not exist}},&a=0\\-\infty ,&a<0\end{cases}}}$

En general, si${\displaystyle p(x)}$es un polinomio entonces, por la continuidad de los polinomios, ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \lim _{x\to c}p(x)=p(c)}$$Esto también es cierto para las funciones racionales , ya que son continuas en sus dominios . ^{[ 5 ]}

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x^{a}=c^{a}.}$^{[ 5 ]} En particular,
  • ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x^{1/a}=c^{1/a}}$. ^{[ 5 ]} En particular,
  • ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{1/a}=\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{a}]{x}}=\infty {\text{ for any }}a>0}$^{[ 6 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{-n}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{n}}}=+\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}x^{-n}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{n}}}={\begin{cases}-\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\+\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is even}}\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }ax^{-1}=\lim _{x\to \infty }a/x=0{\text{ for any real }}a}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}e^{x}=e^{c}}$, debido a la continuidad de${\displaystyle e^{x}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&0<a<1\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{-x}={\begin{cases}0,&a>1\\1,&a=1\\\infty ,&0<a<1\end{cases}}}$^{[ 6 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}=\lim _{x\to \infty }{a}^{1/x}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\\{\text{does not exist}},&a<0\end{cases}}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=\lim _{x\to \infty }{x}^{1/x}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left({\frac {x}{x+k}}\right)^{x}=e^{-k}}$^{[ 2 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e}$^{[ 2 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+kx\right)^{\frac {m}{x}}=e^{mk}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}$^{[ 7 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{mx}=e^{mk}}$^{[ 6 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)^{-{\frac {1}{x}}}=e^{a}}$. Este límite se puede derivar de este límite .

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}xe^{-x}=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }xe^{-x}=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {a^{x}-1}{x}}\right)=\ln {a},}$para todo a positivo . ^{[ 4 ] [ 7 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{x}-1}{x}}\right)=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{ax}-1}{x}}\right)=a}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\ln {x}=\ln c}$, debido a la continuidad de${\displaystyle \ln {x}}$. En particular,
  • ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }$
  • ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(x+1)}{x}}=1}$^{[ 7 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {-\ln \left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)}{x}}=a}$Este límite se deriva de la regla de L'Hôpital .
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}x\ln x=0}$, por eso${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{x}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x}}=0}$^{[ 6 ]}

Para b > 1,

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x=\infty }$

Para b < 1,

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x=-\infty }$

Ambos casos pueden generalizarse a:

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-F(b)\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x=F(b)\infty }$

dónde${\displaystyle F(x)=2H(x-1)-1}$y${\displaystyle H(x)}$es la función escalón de Heaviside

Equivalencias asintóticas ,${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$, son verdaderos si${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}$Por lo tanto, también pueden reformularse como límites. Algunas equivalencias asintóticas notables incluyen:

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x/\ln x}{\pi (x)}}=1}$, debido al teorema de los números primos ,${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}$, donde π(x) es la función de conteo primo .
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}{n!}}=1}$, debido a la aproximación de Stirling ,${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$.

El comportamiento de las funciones descritas mediante la notación Big O también puede describirse mediante límites. Por ejemplo

• ${\displaystyle f(x)\in {\mathcal {O}}(g(x))}$si${\displaystyle \limsup _{x\to \infty }{\frac {|f(x)|}{g(x)}}<\infty }$