Proceso de puntos de Poisson

Un proceso puntual de Poisson se caracteriza mediante la distribución de Poisson . La distribución de Poisson es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria.${\textstyle N}$(llamada variable aleatoria de Poisson ) tal que la probabilidad de que${\displaystyle \textstyle N}$igual${\displaystyle \textstyle n}$está dado por:

${\displaystyle \Pr\{N=n\}={\frac {\Lambda ^{n}}{n!}}e^{-\Lambda }}$

dónde${\textstyle n!}$denota factorial y el parámetro${\textstyle \Lambda }$determina la forma de la distribución. (De hecho,${\textstyle \Lambda }$es igual al valor esperado de${\textstyle N}$.)

Por definición, un proceso puntual de Poisson tiene la propiedad de que el número de puntos en una región acotada del espacio subyacente del proceso es una variable aleatoria con distribución de Poisson. ^{[ 36 ]}

Consideremos un conjunto de subregiones disjuntas y acotadas del espacio subyacente. Por definición, el número de puntos de un proceso puntual de Poisson en cada subregión acotada será completamente independiente del de las demás.

Esta propiedad se conoce con varios nombres , como aleatoriedad completa , independencia completa ^{[ 38 ]} o dispersión independiente ^{[ 39 ] [ 40 ]} , y es común a todos los procesos puntuales de Poisson. En otras palabras, hay una falta de interacción entre las diferentes regiones y los puntos en general ^{[ 41 ]} , lo que motiva que el proceso de Poisson a veces se denomine un proceso puramente o completamente aleatorio ^{[ 38 ] .}

El proceso de puntos de Poisson homogéneo, cuando se considera en la semirrecta positiva, puede definirse como un proceso de conteo , un tipo de proceso estocástico, que puede denotarse como${\textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$. ^{[ 29 ] [ 32 ]} Un proceso de conteo representa el número total de ocurrencias o eventos que han ocurrido hasta el momento inclusive.${\textstyle t}$. Un proceso de conteo es un proceso de conteo de Poisson homogéneo con tasa${\textstyle \lambda >0}$si tiene las siguientes tres propiedades: ^{[ 29 ] [ 32 ]}

• ${\textstyle N(0)=0;}$
• tiene incrementos independientes ; y
• el número de eventos (o puntos) en cualquier intervalo de longitud${\textstyle t}$es una variable aleatoria de Poisson con parámetro (o media)${\textstyle \lambda t}$.

La última propiedad implica:

${\displaystyle \operatorname {E} [N(t)]=\lambda t.}$

En otras palabras, la probabilidad de la variable aleatoria${\textstyle N(t)}$ser igual a${\textstyle n}$está dado por:

${\displaystyle \Pr\{N(t)=n\}={\frac {(\lambda t)^{n}}{n!}}e^{-\lambda t}.}$

El proceso de conteo de Poisson también se puede definir estableciendo que las diferencias de tiempo entre eventos del proceso de conteo son variables exponenciales con media${\textstyle 1/\lambda }$. ^{[ 45 ]} Las diferencias de tiempo entre los eventos o llegadas se conocen como tiempos entre llegadas ^{[ 46 ]} o tiempos entre ocurrencias . ^{[ 45 ]}

Interpretado como un proceso puntual , un proceso puntual de Poisson puede definirse en la recta real considerando el número de puntos del proceso en el intervalo${\textstyle (a,b]}$Para el proceso de puntos de Poisson homogéneo en la recta real con parámetro${\textstyle \lambda >0}$, la probabilidad de este número aleatorio de puntos, escrito aquí como${\textstyle N(a,b]}$, siendo igual a algún número de conteo${\textstyle n}$está dado por: ^{[ 47 ]}

${\displaystyle \Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\lambda (ba)]^{n}}{n!}}e^{-\lambda (ba)},}$

Para algún entero positivo${\textstyle k}$, el proceso de puntos de Poisson homogéneo tiene la distribución de dimensión finita dada por: ^{[ 47 ]}

${\displaystyle \Pr\{N(a_{i},b_{i}]=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {[\lambda (b_{i}-a_{i})]^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda (b_{i}-a_{i})},}$

donde los números reales${\textstyle a_{i}<b_{i}\leq a_{i+1}}$.

En otras palabras,${\textstyle N(a,b]}$es una variable aleatoria de Poisson con media${\textstyle \lambda (ba)}$, dónde${\textstyle a\leq b}$. Además, el número de puntos en dos intervalos disjuntos cualesquiera, digamos,${\textstyle (a_{1},b_{1}]}$y${\textstyle (a_{2},b_{2}]}$son independientes entre sí, y esto se extiende a cualquier número finito de intervalos disjuntos. ^{[ 47 ]} En el contexto de la teoría de colas, se puede considerar un punto existente (en un intervalo) como un evento , pero esto es diferente a la palabra evento en el sentido de la teoría de la probabilidad. ^{[ b ]} De ello se deduce que${\textstyle \lambda }$es el número esperado de llegadas que ocurren por unidad de tiempo. ^{[ 32 ]}

Un proceso de Poisson espacial es un proceso de puntos de Poisson definido en el plano${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$. ^{[ 57 ] [ 64 ]} Para su definición matemática, primero se considera una región acotada, abierta o cerrada (o más precisamente, medible de Borel ).${\textstyle B}$del plano. El número de puntos de un proceso puntual.${\displaystyle \textstyle N}$existente en esta región${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{2}}$es una variable aleatoria, denotada por${\displaystyle \textstyle N(B)}$Si los puntos pertenecen a un proceso de Poisson homogéneo con parámetro${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$, entonces la probabilidad de${\displaystyle \textstyle n}$puntos existentes en${\displaystyle \textstyle B}$está dado por:

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

dónde${\displaystyle \textstyle |B|}$denota el área de${\displaystyle \textstyle B}$.

Para algún entero finito${\displaystyle \textstyle k\geq 1}$Podemos dar la distribución de dimensión finita del proceso puntual de Poisson homogéneo considerando primero una colección de conjuntos de Borel (medibles) disjuntos y acotados.${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots,B_{k}}$. El número de puntos del proceso de puntos ${\displaystyle \textstyle N}$existente en${\displaystyle \textstyle B_ {i}}$se puede escribir como${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$. Luego, el proceso de puntos de Poisson homogéneo con parámetro${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$tiene la distribución de dimensión finita: ^{[ 65 ]}

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

Aplicaciones

El proceso de puntos de Poisson espacial ocupa un lugar destacado en la estadística espacial , ^{[ 21 ] [ 22 ]} la geometría estocástica y la teoría de percolación continua . ^{[ 23 ]} Este proceso de puntos se aplica en varias ciencias físicas, como un modelo desarrollado para la detección de partículas alfa. En los últimos años, se ha utilizado con frecuencia para modelar configuraciones espaciales aparentemente desordenadas de ciertas redes de comunicación inalámbricas. ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} Por ejemplo, se han desarrollado modelos para redes celulares o de telefonía móvil donde se supone que los transmisores de la red telefónica, conocidos como estaciones base, están posicionados de acuerdo con un proceso de puntos de Poisson homogéneo.

El proceso de puntos de Poisson homogéneo anterior se extiende inmediatamente a dimensiones superiores reemplazando la noción de área por volumen (de alta dimensión). Para alguna región acotada${\displaystyle \textstyle B}$del espacio euclidiano${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$, si los puntos forman un proceso de Poisson homogéneo con parámetro${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$, entonces la probabilidad de${\displaystyle \textstyle n}$puntos existentes en${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{d}}$está dado por:

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

dónde${\displaystyle \textstyle |B|}$ahora denota el${\displaystyle \textstyle d}$-volumen dimensional de${\displaystyle \textstyle B}$Además, para una colección de conjuntos de Borel disjuntos y acotados${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}\subset \mathbb {R} ^{d}}$, dejar${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$denotan el número de puntos de${\displaystyle \textstyle N}$existente en${\displaystyle \textstyle B_ {i}}$. Luego, el correspondiente proceso puntual de Poisson homogéneo con parámetro${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$tiene la distribución de dimensión finita: ^{[ 67 ]}

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

Los procesos puntuales de Poisson homogéneos no dependen de la posición del espacio subyacente a través de su parámetro${\displaystyle \textstyle \lambda}$, lo que implica que es tanto un proceso estacionario (invariante a la traslación) como un proceso estocástico isotrópico (invariante a la rotación). ^{[ 25 ]} De manera similar al caso unidimensional, el proceso puntual homogéneo está restringido a algún subconjunto acotado de${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$, entonces, dependiendo de algunas definiciones de estacionariedad, el proceso ya no es estacionario. ^{[ 25 ] [ 52 ]}

Si el proceso de puntos homogéneos se define en la recta real como un modelo matemático para la ocurrencia de algún fenómeno, entonces tiene la característica de que las posiciones de estas ocurrencias o eventos en la recta real (a menudo interpretada como tiempo) estarán distribuidas uniformemente. Más específicamente, si un evento ocurre (según este proceso) en un intervalo${\displaystyle \textstyle (a,b]}$dónde${\displaystyle \textstyle a\leq b}$, entonces su ubicación será una variable aleatoria uniforme definida en ese intervalo. ^{[ 65 ]} Además, el proceso de puntos homogéneo a veces se denomina proceso de puntos de Poisson uniforme (véase Terminología ). Esta propiedad de uniformidad se extiende a dimensiones superiores en coordenadas cartesianas, pero no en, por ejemplo, coordenadas polares. ^{[ 68 ] [ 69 ]}

En la recta real, el proceso puntual de Poisson no homogéneo o no homogéneo tiene una medida media dada por una integral unidimensional. Para dos números reales${\displaystyle \textstyle a}$y${\displaystyle \textstyle b}$, dónde${\displaystyle \textstyle a\leq b}$, denotemos por${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$el número de puntos de un proceso de Poisson no homogéneo con función de intensidad${\displaystyle \textstyle \lambda (t)}$que ocurre en el intervalo${\displaystyle \textstyle (a,b]}$. La probabilidad de${\displaystyle \textstyle n}$puntos existentes en el intervalo mencionado${\displaystyle \textstyle (a,b]}$está dado por:

${\displaystyle \Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\Lambda (a,b)]^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (a,b)}.}$

donde la media o la medida de intensidad es:

${\displaystyle \Lambda (a,b)=\int _{a}^{b}\lambda (t)\,\mathrm {d} t,}$

lo que significa que la variable aleatoria${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$es una variable aleatoria de Poisson con media${\displaystyle \textstyle \operatorname {E} [N(a,b]]=\Lambda (a,b)}$.

Una característica del entorno unidimensional es que un proceso de Poisson no homogéneo puede transformarse en uno homogéneo mediante una transformación o mapeo monótono, que se logra con la inversa de${\displaystyle \textstyle \Lambda }$. ^{[ 70 ] [ 71 ]}

Un proceso de Poisson no homogéneo definido en el plano ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$se denomina proceso de Poisson espacial ^{[ 16 ]} Se define con una función de intensidad y su medida de intensidad se obtiene realizando una integral de superficie de su función de intensidad sobre alguna región. ^{[ 20 ] [ 74 ]} Por ejemplo, su función de intensidad (como función de coordenadas cartesianas${\textstyle x}$y${\displaystyle \textstyle y}$) puede ser

${\displaystyle \lambda (x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})},}$

Por lo tanto, la medida de intensidad correspondiente viene dada por la integral de superficie.

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y,}$

dónde${\textstyle B}$es una región delimitada en el plano${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$.

En el avión,${\textstyle \Lambda (B)}$corresponde a una integral de superficie mientras que en${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$la integral se convierte en una (${\textstyle d}$integral de volumen (-dimensional).

Cuando la línea real se interpreta como tiempo, el proceso no homogéneo se utiliza en los campos de los procesos de conteo y en la teoría de colas. ^{[ 72 ] [ 75 ]} Ejemplos de fenómenos que se han representado o aparecen como un proceso de puntos de Poisson no homogéneo incluyen:

• Goles que se marcan en un partido de fútbol. ^{[ 76 ]}
• Defectos en una placa de circuito ^{[ 77 ]}

En el plano, el proceso de puntos de Poisson es importante en las disciplinas relacionadas de geometría estocástica ^{[ 1 ] [ 33 ]} y estadística espacial. ^{[ 21 ] [ 22 ]} La medida de intensidad de este proceso de puntos depende de la ubicación del espacio subyacente, lo que significa que puede usarse para modelar fenómenos con una densidad que varía en una región. En otras palabras, los fenómenos pueden representarse como puntos que tienen una densidad dependiente de la ubicación. ^{[ 20 ]} Este proceso se ha utilizado en varias disciplinas y sus usos incluyen el estudio del salmón y los piojos de mar en los océanos, ^{[ 78 ]} la silvicultura, ^{[ 6 ]} y problemas de búsqueda. ^{[ 79 ]}

La función de intensidad de Poisson${\textstyle \lambda (x)}$tiene una interpretación, considerada intuitiva, ^{[ 20 ]} con el elemento de volumen${\textstyle \mathrm {d} x}$en el sentido infinitesimal:${\textstyle \lambda (x)\,\mathrm {d} x}$es la probabilidad infinitesimal de que un punto de un proceso puntual de Poisson exista en una región del espacio con volumen${\textstyle \mathrm {d} x}$ubicado en${\textstyle x}$. ^{[ 20 ]}

Por ejemplo, dado un proceso de puntos de Poisson homogéneo en la recta real, la probabilidad de encontrar un único punto del proceso en un pequeño intervalo de ancho${\textstyle \delta }$es aproximadamente${\textstyle \lambda \delta }$De hecho, esta intuición es la que a veces utiliza el proceso puntual de Poisson y la derivación de su distribución. ^{[ 80 ] [ 41 ] [ 81 ]}

Si un proceso puntual de Poisson tiene una medida de intensidad localmente finita y difusa (o no atómica), entonces es un proceso puntual simple . Para un proceso puntual simple, la probabilidad de que un punto exista en un único punto o ubicación en el espacio subyacente (de estados) es cero o uno. Esto implica que, con probabilidad uno, no hay dos (o más) puntos de un proceso puntual de Poisson que coincidan en ubicación en el espacio subyacente. ^{[ 82 ] [ 18 ] [ 83 ]}

El número de puntos${\textstyle N}$en la ventana, indicada aquí por${\textstyle W}$, necesita ser simulado, lo cual se hace utilizando una función generadora de números (pseudo)aleatorios capaz de simular variables aleatorias de Poisson.

La segunda etapa requiere colocar aleatoriamente el${\displaystyle \textstyle N}$puntos en la ventana${\displaystyle \textstyle W}$.

A pesar de su nombre, el proceso puntual de Poisson no fue descubierto ni estudiado por su homónimo. Se cita como un ejemplo de la ley de eponimia de Stigler . ^{[ 2 ] [ 3 ]} El nombre surge de la relación inherente del proceso con la distribución de Poisson, derivada por Poisson como un caso límite de la distribución binomial . ^{[ 88 ]} Describe la probabilidad de la suma de${\displaystyle \textstyle n}$Ensayos de Bernoulli con probabilidad${\displaystyle \textstyle p}$, a menudo comparado con el número de caras (o cruces) después${\displaystyle \textstyle n}$lanzamientos de moneda sesgados con la probabilidad de que ocurra cara (o cruz)${\displaystyle \textstyle p}$Para alguna constante positiva${\displaystyle \textstyle \Lambda >0}$, como${\displaystyle \textstyle n}$aumenta hacia el infinito y${\displaystyle \textstyle p}$disminuye hacia cero de tal manera que el producto${\displaystyle \textstyle np=\Lambda }$es fijo, la distribución de Poisson se aproxima más a la binomial. ^{[ 89 ]}

En 1841, Poisson derivó la distribución de Poisson estudiando la distribución binomial en el límite como${\displaystyle \textstyle p}$va a cero y${\displaystyle \textstyle n}$va al infinito. La distribución aparece solo una vez en la obra de Poisson, ^{[ 90 ]} y el resultado no era muy conocido en su época. En los años siguientes, otros utilizaron la distribución sin citar a Poisson, incluidos Philipp Ludwig von Seidel y Ernst Abbe . ^{[ 91 ] [ 2 ]} A finales del siglo XIX, Ladislaus Bortkiewicz reavivó el interés en la distribución citando a Poisson y utilizando datos reales sobre el número de muertes por patadas de caballo en el ejército prusiano . ^{[ 88 ] [ 92 ]}

Existen varias afirmaciones sobre los primeros usos o descubrimientos del proceso puntual de Poisson. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Por ejemplo, John Michell en 1767, una década antes del nacimiento de Poisson, se interesó en la probabilidad de que una estrella se encontrara dentro de una región determinada de otra estrella bajo la suposición errónea de que las estrellas estaban "dispersadas por mera casualidad", y estudió un ejemplo que consistía en las seis estrellas más brillantes de las Pléyades , sin derivar la distribución de Poisson. Este trabajo inspiró a Simon Newcomb a estudiar el problema y a calcular la distribución de Poisson como una aproximación de la distribución binomial en 1860. ^{[ 3 ]}

A principios del siglo XX, el proceso de Poisson (en una dimensión) surgía de forma independiente en diferentes situaciones. ^{[ 2 ] [ 3 ]} En Suecia, en 1903, Filip Lundberg publicó una tesis que contenía un trabajo, considerado hoy fundamental y pionero, en el que proponía modelar las reclamaciones de seguros con un proceso de Poisson homogéneo. ^{[ 93 ] [ 94 ]}

En Dinamarca, A.K. Erlang derivó la distribución de Poisson en 1909 al desarrollar un modelo matemático para el número de llamadas telefónicas entrantes en un intervalo de tiempo finito. Erlang desconocía el trabajo previo de Poisson y supuso que el número de llamadas telefónicas que llegaban en cada intervalo de tiempo era independiente entre sí. Luego halló el caso límite, que consiste, en efecto, en reformular la distribución de Poisson como un límite de la distribución binomial. ^{[ 2 ]}

En 1910, Ernest Rutherford y Hans Geiger publicaron resultados experimentales sobre el conteo de partículas alfa. Su trabajo experimental contó con contribuciones matemáticas de Harry Bateman , quien derivó las probabilidades de Poisson como solución a una familia de ecuaciones diferenciales, aunque la solución ya se había derivado anteriormente, lo que resultó en el descubrimiento independiente del proceso de Poisson. ^{[ 2 ]} Posteriormente, se realizaron numerosos estudios y aplicaciones del proceso de Poisson, pero su historia temprana es compleja, lo cual se explica por las diversas aplicaciones del proceso en numerosos campos por parte de biólogos, ecólogos, ingenieros y diversos científicos físicos. ^{[ 2 ]}

Los años posteriores a 1909 dieron lugar a numerosos estudios y aplicaciones del proceso de puntos de Poisson; sin embargo, su historia temprana es compleja, lo cual se ha explicado por las diversas aplicaciones del proceso en numerosos campos por parte de biólogos , ecólogos, ingenieros y otros que trabajaban en las ciencias físicas . Los primeros resultados se publicaron en diferentes idiomas y en diferentes contextos, sin utilizar una terminología y notación estándar. ^{[ 2 ]} Por ejemplo, en 1922, el químico sueco y premio Nobel Theodor Svedberg propuso un modelo en el que un proceso de puntos de Poisson espacial es el proceso subyacente para estudiar cómo se distribuyen las plantas en las comunidades vegetales. ^{[ 95 ]} Varios matemáticos comenzaron a estudiar el proceso a principios de la década de 1930, y Andrey Kolmogorov , William Feller y Aleksandr Khinchin , ^{[ 2 ]} entre otros, hicieron importantes contribuciones . ^{[ 96 ]} En el campo de la ingeniería de teletrafico , los matemáticos y estadísticos estudiaron y utilizaron Poisson y otros procesos puntuales. ^{[ 97 ]}

El sueco Conny Palm, en su disertación de 1943 , estudió el proceso de Poisson y otros procesos puntuales en un entorno unidimensional , examinándolos en términos de la dependencia estadística o estocástica entre los puntos en el tiempo. ^{[ 98 ] [ 97 ]} En su trabajo se encuentra el primer uso registrado conocido del término procesos puntuales como Punktprozesse en alemán. ^{[ 98 ] [ 3 ]}

Se cree ^{[ 2 ]} que William Feller fue el primero en referirse a él por escrito como el proceso de Poisson en un artículo de 1940. Aunque el sueco Ove Lundberg usó el término proceso de Poisson en su tesis doctoral de 1940, ^{[ 3 ]} en la que se reconoció a Feller como una influencia, ^{[ 99 ]} se ha afirmado que Feller acuñó el término antes de 1940. ^{[ 89 ]} Se ha observado que tanto Feller como Lundberg usaron el término como si fuera bien conocido, lo que implica que ya se usaba oralmente para entonces. ^{[ 3 ]} Feller trabajó de 1936 a 1939 junto a Harald Cramér en la Universidad de Estocolmo , donde Lundberg era estudiante de doctorado bajo la dirección de Cramér, quien no utilizó el término proceso de Poisson en un libro suyo, terminado en 1936, pero sí en ediciones posteriores, lo que ha llevado a la especulación de que el término proceso de Poisson fue acuñado en algún momento entre 1936 y 1939 en la Universidad de Estocolmo. ^{[ 3 ]}

Para un proceso de puntos de Poisson${\displaystyle \textstyle N}$con medición de intensidad${\displaystyle \textstyle \Lambda }$en algún espacio${\displaystyle X}$, el funcional de Laplace viene dado por: ^{[ 18 ]}

${\displaystyle L_{N}(f)=\mathbb {E} e^{-\int _{X}f(x)\,N(\mathrm {d} x)}=e^{-\int _{X}(1-e^{-f(x)})\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

Una versión del teorema de Campbell involucra el funcional de Laplace del proceso de puntos de Poisson.

La función generadora de probabilidad de una variable aleatoria con valores enteros no negativos lleva a que el funcional generador de probabilidad se defina de forma análoga con respecto a cualquier función acotada no negativa.${\displaystyle \textstyle v}$en${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$de tal manera que${\displaystyle \textstyle 0\leq v(x)\leq 1}$Para un proceso puntual${\displaystyle \textstyle {N}}$El funcional generador de probabilidad se define como: ^{[ 122 ]}

${\displaystyle G(v)=\operatorname {E} \left[\prod _{x\in N}v(x)\right]}$

donde el producto se realiza para todos los puntos en${\textstyle N}$. Si la medida de intensidad${\displaystyle \textstyle \Lambda }$de${\displaystyle \textstyle {N}}$es localmente finito, entonces el${\textstyle G}$está bien definido para cualquier función medible${\displaystyle \textstyle u}$en${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$. Para un proceso de puntos de Poisson con medida de intensidad${\displaystyle \textstyle \Lambda }$El funcional generador viene dado por:

${\displaystyle G(v)=e^{-\int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

que en el caso homogéneo se reduce a

${\displaystyle G(v)=e^{-\lambda \int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\mathrm {d} x}.}$

Para un proceso de puntos de Poisson general con medida de intensidad${\displaystyle \textstyle \Lambda }$La primera medida del momento es su medida de intensidad: ^{[ 18 ] [ 19 ]}

${\displaystyle M^{1}(B)=\Lambda (B),}$

lo cual para un proceso puntual de Poisson homogéneo con intensidad constante${\displaystyle \textstyle \lambda }$medio:

${\displaystyle M^{1}(B)=\lambda |B|,}$

dónde${\displaystyle \textstyle |B|}$es la longitud, área o volumen (o más generalmente, la medida de Lebesgue ) de${\displaystyle \textstyle B}$.

La ecuación de Mecke caracteriza el proceso puntual de Poisson. Sea${\displaystyle \mathbb {N} _{\sigma }}$ser el espacio de todos${\displaystyle \sigma }$-medidas finitas en algún espacio general${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$Un proceso puntual${\displaystyle \eta }$con intensidad${\displaystyle \lambda }$en${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$es un proceso de puntos de Poisson si y solo si para todas las funciones medibles${\displaystyle f:{\mathcal {Q}}\times \mathbb {N} _{\sigma }\to \mathbb {R} _{+}}$lo siguiente se cumple

${\displaystyle E\left[\int f(x,\eta )\eta (\mathrm {d} x)\right]=\int E\left[f(x,\eta +\delta _{x})\right]\lambda (\mathrm {d} x)}$

Para más detalles, véase ^{[ 123 ] .}

Para un proceso de puntos de Poisson general con medida de intensidad${\displaystyle \textstyle \Lambda }$el${\displaystyle \textstyle n}$La medida del momento factorial -ésimo viene dada por la expresión: ^{[ 124 ]}

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i})],}$

dónde${\displaystyle \textstyle \Lambda }$es la medida de intensidad o medida del primer momento de${\displaystyle \textstyle {N}}$, que para algunos Borel se estableció${\displaystyle \textstyle B}$es dado por

${\displaystyle \Lambda (B)=M^{1}(B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

Para un proceso de puntos de Poisson homogéneo,${\displaystyle \textstyle n}$La medida del momento factorial -ésimo es simplemente: ^{[ 18 ] [ 19 ]}

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\lambda ^{n}\prod _{i=1}^{n}|B_{i}|,}$

dónde${\displaystyle \textstyle |B_{i}|}$es la longitud, área o volumen (o más generalmente, la medida de Lebesgue ) de${\displaystyle \textstyle B_{i}}$. Además, el${\displaystyle \textstyle n}$La densidad del momento factorial -ésimo es: ^{[ 124 ]}

${\displaystyle \mu ^{(n)}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lambda ^{n}.}$

Los procesos puntuales simples se caracterizan completamente por sus probabilidades de vacío. ^{[ 126 ]} En otras palabras, la información completa de un proceso puntual simple se captura enteramente en sus probabilidades de vacío, y dos procesos puntuales simples tienen las mismas probabilidades de vacío si y solo si son el mismo proceso puntual. El caso del proceso de Poisson se conoce a veces como el teorema de Rényi , que recibe su nombre de Alfréd Rényi, quien descubrió el resultado para el caso de un proceso puntual homogéneo en una dimensión. ^{[ 127 ]}

En una forma ^{[ 127 ]} el teorema de Rényi dice que, si${\displaystyle \textstyle \Lambda }$es una medida de radón difuso (o no atómico) en${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$y${\displaystyle \textstyle N}$es un proceso de puntos simples localmente finito en${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$de tal manera que para cualquier conjunto${\displaystyle \textstyle A}$Siendo una unión finita de rectángulos, se cumple lo siguiente:

${\displaystyle \Pr\{N(A)=0\}=v(A)=e^{-\Lambda (A)}}$,

entonces${\displaystyle \textstyle N}$es un proceso de puntos de Poisson con medida de intensidad${\displaystyle \textstyle \Lambda }$.

Para el proceso de Poisson, el independiente${\displaystyle \textstyle p(x)}$-las operaciones de aclareo dan como resultado otro proceso de puntos de Poisson. Más específicamente, un${\displaystyle \textstyle p(x)}$-Operación de adelgazamiento aplicada a un proceso de puntos de Poisson con medición de intensidad${\displaystyle \textstyle \Lambda }$proporciona un proceso de puntos eliminados que también es un proceso de puntos de Poisson.${\displaystyle \textstyle {N}_{p}}$con medición de intensidad${\displaystyle \textstyle \Lambda _{p}}$, que para un conjunto de Borel acotado${\displaystyle \textstyle B}$está dado por:

${\displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}p(x)\,\Lambda (\mathrm {d} x)}$

Este resultado de adelgazamiento del proceso de puntos de Poisson se conoce a veces como el teorema de Prekopa . ^{[ 129 ]} Además, después de adelgazar aleatoriamente un proceso de puntos de Poisson, los puntos que se conservan o quedan también forman un proceso de puntos de Poisson, que tiene la medida de intensidad

${\displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}(1-p(x))\,\Lambda (\mathrm {d} x).}$

Los dos procesos puntuales de Poisson separados formados respectivamente a partir de los puntos eliminados y conservados son estocásticamente independientes entre sí. ^{[ 128 ]} En otras palabras, si se sabe que una región contiene${\displaystyle \textstyle n}$Si se conservan los puntos (del proceso de puntos de Poisson original), esto no influirá en el número aleatorio de puntos eliminados en la misma región. Esta capacidad de crear aleatoriamente dos procesos de puntos de Poisson independientes a partir de uno se conoce a veces como división ^{[ 130 ] [ 131 ]} del proceso de puntos de Poisson.

Si existe una colección contable de procesos puntuales${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2},\dots }$, entonces su superposición, o, en lenguaje de teoría de conjuntos, su unión, que es ^{[ 132 ]}

${\displaystyle N=\bigcup _{i=1}^{\infty }N_{i},}$

también forma un proceso de puntos. En otras palabras, cualquier punto ubicado en cualquiera de los procesos de puntos${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2}\dots }$También se ubicarán en la superposición de estos procesos puntuales.${\displaystyle \textstyle {N}}$.

La operación de agrupamiento se realiza cuando cada punto${\displaystyle \textstyle x}$de algún proceso puntual${\displaystyle \textstyle {N}}$es reemplazado por otro proceso puntual (posiblemente diferente). Si el proceso original${\displaystyle \textstyle {N}}$es un proceso de puntos de Poisson, entonces el proceso resultante${\displaystyle \textstyle {N}_{c}}$Se denomina proceso de puntos de agrupamiento de Poisson.

Un modelo matemático puede requerir mover aleatoriamente puntos de un proceso puntual a otras ubicaciones en el espacio matemático subyacente, lo que da lugar a una operación de proceso puntual conocida como desplazamiento ^{[ 134 ]} o traslación. ^{[ 135 ]} El proceso puntual de Poisson se ha utilizado para modelar, por ejemplo, el movimiento de plantas entre generaciones, debido al teorema de desplazamiento, ^{[ 134 ]} que dice, en términos generales, que el desplazamiento aleatorio e independiente de puntos de un proceso puntual de Poisson (en el mismo espacio subyacente) forma otro proceso puntual de Poisson.

Otra propiedad que se considera útil es la capacidad de mapear un proceso de puntos de Poisson de un espacio subyacente a otro espacio. ^{[ 136 ]}

Un método para aproximar eventos o fenómenos aleatorios con procesos de Poisson se denomina heurística de agrupamiento . ^{[ 140 ]} La heurística o principio general consiste en utilizar el proceso puntual de Poisson (o distribución de Poisson) para aproximar eventos, que se consideran raros o improbables, de algún proceso estocástico. En algunos casos, estos eventos raros son casi independientes, por lo que se puede utilizar un proceso puntual de Poisson. Cuando los eventos no son independientes, sino que tienden a ocurrir en grupos o cúmulos , entonces, si estos cúmulos se definen adecuadamente de manera que sean aproximadamente independientes entre sí, entonces el número de cúmulos que ocurren será cercano a una variable aleatoria de Poisson ^{[ 139 ]} y las ubicaciones de los cúmulos serán cercanas a un proceso de Poisson. ^{[ 140 ]}

El método de Stein es una técnica matemática desarrollada originalmente para aproximar variables aleatorias como las variables gaussianas y de Poisson, que también se ha aplicado a procesos puntuales. El método de Stein se puede utilizar para derivar cotas superiores en métricas de probabilidad , que permiten cuantificar cómo varían estocásticamente dos objetos matemáticos aleatorios diferentes. ^{[ 138 ] [ 141 ]} Se han derivado cotas superiores en métricas de probabilidad como la variación total y la distancia de Wasserstein . ^{[ 138 ]}

Los investigadores han aplicado el método de Stein a procesos puntuales de Poisson de diversas maneras, ^{[ 138 ]} como por ejemplo utilizando el cálculo de Palm . ^{[ 108 ]} Se han desarrollado técnicas basadas en el método de Stein para incorporar en los límites superiores los efectos de ciertas operaciones de procesos puntuales, como el adelgazamiento y la superposición. ^{[ 142 ] [ 143 ]} El método de Stein también se ha utilizado para derivar límites superiores en métricas de Poisson y otros procesos, como el proceso puntual de Cox , que es un proceso de Poisson con una medida de intensidad aleatoria. ^{[ 138 ]}

Las medidas aleatorias de tipo Poisson (PT) son una familia de tres medidas de conteo aleatorias que son cerradas bajo la restricción a un subespacio, es decir cerradas bajo la operación de proceso de punto#Thinning . Estas medidas aleatorias son ejemplos del proceso binomial mixto y comparten la propiedad de autosimilitud distribucional de la medida aleatoria de Poisson . Son los únicos miembros de la familia canónica de series de potencias no negativas de distribuciones que poseen esta propiedad e incluyen la distribución de Poisson , la distribución binomial negativa y la distribución binomial . La medida aleatoria de Poisson es independiente en subespacios disjuntos, mientras que las otras medidas aleatorias PT (binomial negativa y binomial) tienen covarianzas positivas y negativas. Las medidas aleatorias PT se discuten ^{[ 146 ]} e incluyen la medida aleatoria de Poisson , la medida aleatoria binomial negativa y la medida aleatoria binomial.

Para los modelos matemáticos, el proceso de puntos de Poisson se define a menudo en el espacio euclidiano, ^{[ 1 ] [ 36 ]} pero se ha generalizado a espacios más abstractos y desempeña un papel fundamental en el estudio de medidas aleatorias, ^{[ 147 ] [ 148 ]} lo que requiere una comprensión de campos matemáticos como la teoría de la probabilidad, la teoría de la medida y la topología. ^{[ 149 ]}