Medida aleatoria de tipo Poisson

Las medidas aleatorias de tipo Poisson son una familia de tres medidas de conteo aleatorias que son cerradas bajo la restricción a un subespacio, es decir, cerradas bajo adelgazamiento. Son las únicas distribuciones en la familia canónica de series de potencias no negativas que poseen esta propiedad e incluyen la distribución de Poisson , la distribución binomial negativa y la distribución binomial . ^{[ 1 ]} La familia de distribuciones PT también se conoce como la familia de distribuciones de Katz, ^{[ 2 ]} la clase de distribuciones de Panjer o (a,b,0) ^{[ 3 ]} y se puede obtener a través de la distribución de Conway-Maxwell-Poisson . ^{[ 4 ]}

Dejar${\displaystyle K}$sea ​​una variable aleatoria con valor entero no negativo${\displaystyle K\in \mathbb {N} _{\geq 0}=\mathbb {N} _{>0}\cup \{0\}}$) con la ley${\displaystyle \kappa }$, significar${\displaystyle c\in (0,\infty )}$y cuando existe varianza${\displaystyle \delta ^{2}>0}$. Dejar${\displaystyle \nu }$sea ​​una medida de probabilidad en el espacio medible${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$. Dejar${\displaystyle \mathbf {X} =\{X_{i}\}}$ser una colección de variables aleatorias i.i.d. (piedras) que toman valores en${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$con la ley${\displaystyle \nu }$.

La medida de conteo aleatorio${\displaystyle N}$en${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$depende del par de medidas de probabilidad deterministas${\displaystyle (\kappa,\nu)}$a través de la construcción de lanzamiento de piedras (STC) ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \quad N_{\omega }(A)=N(\omega ,A)=\sum _{i=1}^{K(\omega )}\mathbb {I} _{A}(X_{i}(\omega ))\quad {\text{para}}\quad \omega \in \Omega ,\,\,\,A\in {\mathcal {E}}}$

dónde${\displaystyle K}$tiene ley${\displaystyle \kappa }$y iid${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsb }$tener ley${\displaystyle \nu }$.${\displaystyle N}$es un proceso binomial mixto ^{[ 6 ]}

Dejar${\displaystyle {\mathcal {E}}_{+}=\{f:E\mapsto \mathbb {R} _{+}\}}$ser la colección de positivo${\displaystyle {\mathcal {E}}}$-funciones medibles. La ley de probabilidad de${\displaystyle N}$está codificado en la función de Laplace

${\displaystyle \quad \mathbb {E} e^{-Nf}=\mathbb {E} (\mathbb {E} e^{-f(X)})^{K}=\mathbb {E} (\nu e^{-f})^{K}=\psi (\nu e^{-f})\quad {\text{para}}\quad f\in {\mathcal {E}}_{+}}$

dónde${\displaystyle \psi (\cdot )}$es la función generadora de${\displaystyle K}$La media y la varianza vienen dadas por

${\displaystyle \quad \mathbb {E} Nf=c\nu f}$

y

${\displaystyle \quad \mathbb {V} {\text{ar}}Nf=c\nu f^{2}+(\delta ^{2}-c)(\nu f)^{2}}$

La covarianza para arbitrario${\displaystyle f,g\in {\mathcal {E}}_{+}}$es dado por

${\displaystyle \quad \mathbb {C} {\text{ov}}(Nf,Ng)=c\nu (fg)+(\delta ^{2}-c)\nu f\nu g}$

Cuando${\displaystyle K}$es Poisson, binomial negativa o binomial, se dice que es de tipo Poisson (PT). La distribución conjunta de la colección${\displaystyle N(A),\ldots ,N(B)}$es para${\displaystyle i,\ldots ,j\in \mathbb {N} }$y${\displaystyle i+\cdots +j=k}$

${\displaystyle \mathbb {P} (N(A)=i,\ldots ,N(B)=j)=\mathbb {P} (N(A)=i,\ldots ,N(B)=j|K=k)\,\mathbb {P} (K=k)={\frac {k!}{i!\cdots j!}}\,\nu (A)^{i}\cdots \nu (B)^{j}\,\mathbb {P} (K=k)}$

El siguiente resultado amplía la construcción de una medida aleatoria.${\displaystyle N=(\kappa,\nu)}$al caso cuando la colección${\displaystyle \mathbf {X} }$se amplía a${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\{(X_ {i},Y_ {i})\}}$dónde${\displaystyle Y_{i}}$es una transformación aleatoria de${\displaystyle X_{i}}$Heurísticamente,${\displaystyle Y_{i}}$representa algunas propiedades (marcas) de${\displaystyle X_{i}}$. Suponemos que la ley condicional de${\displaystyle Y}$sigue algún núcleo de transición según${\displaystyle \mathbb {P} (Y\in B|X=x)=Q(x,B)}$.

La ley de probabilidad de la medida aleatoria está determinada por su funcional de Laplace y, por lo tanto, por su función generadora.

La condición "ósea" en el pgf${\displaystyle \psi _{\theta }}$de${\displaystyle K}$codifica una propiedad de autosimilitud distribucional por la cual todos los recuentos en restricciones (adelgazamientos) a subespacios (codificados por pgf)${\displaystyle \psi _{A}}$) pertenecen a la misma familia que${\displaystyle \psi _{\theta }}$de${\displaystyle K}$a través del reescalado del parámetro canónico. Estas ideas parecen estar estrechamente conectadas con las de autodescomponibilidad y estabilidad de variables aleatorias discretas. ^{[ 7 ]} El adelgazamiento binomial es un modelo fundamental para contar series temporales. ^{[ 8 ] [ 9 ]} La medida aleatoria de Poisson tiene la conocida propiedad de división, es prototípica de la clase de medidas aleatorias aditivas (completamente aleatorias) y está relacionada con la estructura de los procesos de Lévy , los saltos de las ecuaciones de Kolmogorov y las excursiones del movimiento browniano . ^{[ 10 ]} Por lo tanto, la propiedad de autosimilitud de la familia PT es fundamental para múltiples áreas. Los miembros de la familia PT son "primitivas" o medidas aleatorias prototípicas a partir de las cuales se pueden construir muchas medidas y procesos aleatorios.