núcleo de transición

En matemáticas de probabilidad , un núcleo de transición o núcleo es una función matemática con diversas aplicaciones. Los núcleos pueden utilizarse, por ejemplo, para definir medidas aleatorias o procesos estocásticos . El ejemplo más importante de núcleos son los núcleos de Markov .

Definición

Dejar $(S,{\mathcal {S}})$ , $(T,{\mathcal {T}})$ sean dos espacios medibles . Una función

\kappa \colon S\times {\mathcal {T}}\to [0,+\infty ]

se denomina núcleo (de transición) $S$ a $T$ si se cumplen las dos condiciones siguientes: ^{[ 1 ]}

Para cualquier fijo $B\in {\mathcal {T}}$ , el mapeo

s\mapsto \kappa (s,B)

es

{\mathcal {S}}/{\mathcal {B}}([0,+\infty ])

- medible ;

Para cada fijo $s\in S$ , el mapeo

B\mapsto \kappa (s,B)

es una medida sobre

(T,{\mathcal {T}})

.

Clasificación de los núcleos de transición

Los núcleos de transición se clasifican generalmente según las medidas que definen. Dichas medidas se definen como:

\kappa _{s}\colon {\mathcal {T}}\to [0,+\infty ]

con

\kappa _{s}(B)=\kappa (s,B)

a pesar de $B\in {\mathcal {T}}$ y todo $s\in S$ Con esta notación, el núcleo $\kappa$ se llama ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

un núcleo subestocástico , un núcleo de subprobabilidad o un núcleo sub-Markov si todos $\kappa _{s}$ son medidas de subprobabilidad
un núcleo de Markov , núcleo estocástico o núcleo de probabilidad si todos $\kappa _{s}$ son medidas de probabilidad
un núcleo finito si todos $\kappa _{s}$ son medidas finitas
a $\sigma$ -núcleo finito si todos $\kappa _{s}$ son $\sigma$ -medidas finitas
a $s$ -núcleo finito si $\kappa$ se puede escribir como una suma contable de núcleos finitos (de modo que en particular, todos $\kappa _{s}$ son $s$ -medidas finitas ).
un uniformemente $\sigma$ -núcleo finito si hay como máximo una cantidad numerable de conjuntos medibles. $B_{1},B_{2},\dots$ en $T$ con $\kappa _{s}(B_{i})<\infty$ a pesar de $s\in S$ y todo $i\in \mathbb {N}$ .

Operaciones

En esta sección, deje que $(S,{\mathcal {S}})$ , $(T,{\mathcal {T}})$ y $(U,{\mathcal {U}})$ sean espacios medibles y denotemos el σ-álgebra producto de ${\mathcal {S}}$ y ${\mathcal {T}}$ con ${\mathcal {S}}\otimes {\mathcal {T}}$

Producto de granos

Definición

Dejar $\kappa ^{1}$ ser un núcleo s-finito de $S$ a $T$ y $\kappa ^{2}$ ser un núcleo s-finito de $S\times T$ a $U$ . Luego el producto $\kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}$ de los dos núcleos se define como ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

\kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}\colon S\times ({\mathcal {T}}\otimes {\mathcal {U}})\to [0,\infty ]

\kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}(s,A)=\int _{T}\kappa ^{1}(s,\mathrm {d} t)\int _{U}\kappa ^{2}((s,t),\mathrm {d} u)\mathbf {1} _{A}(t,u)

a pesar de $A\in {\mathcal {T}}\otimes {\mathcal {U}}$ .

Propiedades y comentarios

El producto de dos núcleos es un núcleo de $S$ a $T\times U$ . Es de nuevo un núcleo s-finito y es un $\sigma$ -núcleo finito si $\kappa ^{1}$ y $\kappa ^{2}$ son $\sigma$ -núcleos finitos. El producto de núcleos también es asociativo , lo que significa que satisface

(\kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2})\otimes \kappa ^{3}=\kappa ^{1}\otimes (\kappa ^{2}\otimes \kappa ^{3})

para cualesquiera tres núcleos s-finitos adecuados $\kappa ^{1},\kappa ^{2},\kappa ^{3}$ .

El producto también está bien definido si $\kappa ^{2}$ es un núcleo de $T$ a $U$ En este caso, se trata como un núcleo de $S\times T$ a $U$ que es independiente de $S$ Esto es equivalente a establecer

\kappa ((s,t),A):=\kappa (t,A)

a pesar de $A\in {\mathcal {U}}$ y todo $s\in S$ . ^{[ 4 ]}^{[ 3 ]}

Composición de los granos

Definición

Dejar $\kappa ^{1}$ ser un núcleo s-finito de $S$ a $T$ y $\kappa ^{2}$ un núcleo s-finito de $S\times T$ a $U$ . Luego la composición $\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}$ de los dos núcleos se define como ^{[ 5 ]}^{[ 3 ]}

\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}\colon S\times {\mathcal {U}}\to [0,\infty ]

(s,B)\mapsto \int _{T}\kappa ^{1}(s,\mathrm {d} t)\int _{U}\kappa ^{2}((s,t),\mathrm {d} u)\mathbf {1} _{B}(u)

a pesar de $s\in S$ y todo $B\in {\mathcal {U}}$ .

Propiedades y comentarios

La composición es un núcleo de $S$ a $U$ que nuevamente es s-finito. La composición de núcleos es asociativa , lo que significa que satisface

(\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2})\cdot \kappa ^{3}=\kappa ^{1}\cdot (\kappa ^{2}\cdot \kappa ^{3})

para cualesquiera tres núcleos s-finitos adecuados $\kappa ^{1},\kappa ^{2},\kappa ^{3}$ . Al igual que el producto de núcleos, la composición también está bien definida si $\kappa ^{2}$ es un núcleo de $T$ a $U$ .

Una notación alternativa para la composición es $\kappa ^{1}\kappa ^{2}$ ^{[ 3 ]}

Núcleos como operadores

Dejar ${\mathcal {T}}^{+},{\mathcal {S}}^{+}$ sea el conjunto de funciones medibles positivas en $(S,{\mathcal {S}}),(T,{\mathcal {T}})$ .

Cada grano $\kappa$ de $S$ a $T$ puede asociarse con un operador lineal

A_{\kappa }\colon {\mathcal {T}}^{+}\to {\mathcal {S}}^{+}

dado por ^{[ 6 ]}

(A_{\kappa }f)(s)=\int _{T}\kappa (s,\mathrm {d} t)\;f(t).

La composición de estos operadores es compatible con la composición de núcleos, lo que significa ^{[ 3 ]}

A_{\kappa ^{1}}A_{\kappa ^{2}}=A_{\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}}

Referencias

1 2 Klenke, Achim (2008). Teoría de la probabilidad . Berlín: Springer. pág. 180. doi : 10.1007 /978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.
↑ Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. p. 30. doi : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.
1 2 3 4 5 Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. pág. 33. doi : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.
1 2 Klenke, Achim (2008). Teoría de la probabilidad . Berlín: Springer. pág. 279. doi : 10.1007 /978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.
↑ Klenke, Achim (2008). Teoría de la probabilidad . Berlín: Springer . p. 281. doi : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.
↑ Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. pp. 29–30 . doi : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.