proceso de nacimiento

Un proceso de nacimiento con tasas de natalidad${\displaystyle (\lambda _{n},n\in \mathbb {N} )}$y valor inicial${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$es un proceso mínimo continuo por la derecha${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$de tal manera que${\displaystyle X_{0}=k}$y los tiempos entre llegadas${\displaystyle T_{i}=\inf\{t\geq 0:X_{t}=i+1\}-\inf\{t\geq 0:X_{t}=i\}}$son variables aleatorias exponenciales independientes con parámetro${\displaystyle \lambda _{i}}$. ^{[ 2 ]}

Un proceso de nacimiento con tasas${\displaystyle (\lambda _{n},n\in \mathbb {N} )}$y valor inicial${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$es un proceso${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$de tal manera que:

• ${\displaystyle X_{0}=k}$
• ${\displaystyle \forall s,t\geq 0:s<t\implies X_{s}\leq X_{t}}$
• ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}=X_{t}+1)=\lambda _{X_{t}}h+o(h)}$
• ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}=X_{t})=o(h)}$
• ${\displaystyle \forall s,t\geq 0:s<t\implies X_{t}-X_{s}}$es independiente de${\displaystyle (X_{u},u<s)}$

(La tercera y la cuarta condición utilizan la notación con o minúscula ).

Estas condiciones aseguran que el proceso comience en${\displaystyle i}$, no es decreciente y tiene nacimientos únicos independientes de forma continua a una tasa${\displaystyle \lambda _{n}}$cuando el proceso tiene valor${\displaystyle n}$. ^{[ 3 ]}

Un proceso de nacimiento puede definirse como un proceso de Markov de tiempo continuo (CTMC).${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$con las entradas de la matriz Q distintas de cero${\displaystyle q_{n,n+1}=\lambda _ {n}=-q_{n,n}}$y distribución inicial${\displaystyle i}$(la variable aleatoria que toma valor${\displaystyle i}$con probabilidad 1). ^{[ 4 ]}

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}-\lambda _{0}&\lambda _{0}&0&0&\cdots \\0&-\lambda _{1}&\lambda _{1}&0&\cdots \\0&0&-\lambda _{2}&\lambda _{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \ddots \end{pmatrix}}}$

Algunos autores requieren que un proceso de nacimiento comience desde 0, es decir, que${\displaystyle X_{0}=0}$[ ^{3 ]} mientras que otros permiten que el valor inicial esté dado por una distribución de probabilidad ^sobre los números naturales. ^{[ 2 ]} El espacio de estados puede incluir el infinito, en el caso de un proceso de natalidad explosivo. ^{[ 2 ]} Las tasas de natalidad también se denominan intensidades. ^{[ 3 ]}

Un proceso de nacimiento simple es un proceso de nacimiento con tasas${\displaystyle \lambda _{n}=n\lambda }$. ^{[ 10 ]} Modela una población en la que cada individuo da a luz repetidamente y de forma independiente a una tasa${\displaystyle \lambda }$. Udny Yule estudió los procesos, por lo que pueden ser conocidos como procesos de Yule . ^{[ 11 ]}

El número de nacimientos en el tiempo${\displaystyle t}$a partir de un simple proceso de nacimiento de población${\displaystyle n}$está dado por: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle p_{n,n+m}(t)={\binom {n}{m}}(\lambda t)^{m}(1-\lambda t)^{nm}+o(h)}$

En forma exacta, el número de nacimientos es la distribución binomial negativa con parámetros${\displaystyle n}$y${\displaystyle e^{-\lambda t}}$. Para el caso especial${\displaystyle n=1}$Esta es la distribución geométrica con tasa de éxito${\displaystyle e^{-\lambda t}}$. ^{[ 12 ]}

La expectativa del proceso crece exponencialmente; específicamente, si${\displaystyle X_{0}=1}$entonces${\displaystyle \mathbb {E} (X_{t})=e^{\lambda t}}$. ^{[ 10 ]}

Un proceso de nacimiento simple con inmigración es una modificación de este proceso con tasas${\displaystyle \lambda _ {n}=n\lambda +\nu }$. Este modelo representa una población con nacimientos por cada miembro de la población, además de una tasa constante de inmigración al sistema. ^{[ 3 ]}