Operación de proceso puntual

En probabilidad y estadística , una operación de proceso puntual o transformación de proceso puntual es un tipo de operación matemática realizada sobre un objeto aleatorio conocido como proceso puntual , que se utiliza a menudo como modelo matemático de fenómenos que pueden representarse como puntos ubicados aleatoriamente en el espacio. Estas operaciones pueden ser puramente aleatorias, deterministas o ambas, y se utilizan para construir nuevos procesos puntuales, que luego también pueden utilizarse como modelos matemáticos. Las operaciones pueden incluir la eliminación o el adelgazamiento de puntos de un proceso puntual, la combinación o superposición de múltiples procesos puntuales en un solo proceso puntual, o la transformación del espacio subyacente del proceso puntual en otro espacio. Las operaciones de procesos puntuales y los procesos puntuales resultantes se utilizan en la teoría de procesos puntuales y campos relacionados, como la geometría estocástica y la estadística espacial . ^{[ 1 ]}

Un proceso puntual que proporciona resultados particularmente convenientes bajo operaciones de procesos puntuales aleatorios es el proceso puntual de Poisson , ^{[ 2 ]} El proceso puntual de Poisson a menudo exhibe un tipo de cierre matemático tal que cuando se aplica una operación de proceso puntual a algún proceso puntual de Poisson, y luego dadas ciertas condiciones sobre la operación del proceso puntual, el proceso resultante a menudo será otra operación de proceso puntual de Poisson, por lo que se usa frecuentemente como modelo matemático. ^{[ 2 ]}^{[ 1 ]}

Las operaciones de procesos puntuales se han estudiado en el límite matemático cuando el número de operaciones aleatorias de procesos puntuales aplicadas tiende a infinito. Esto ha llevado a teoremas de convergencia de operaciones de procesos puntuales, que tienen su origen en el trabajo pionero de Conny Palm en la década de 1940 y posteriormente de Aleksandr Khinchin en las décadas de 1950 y 1960, quienes estudiaron procesos puntuales en la línea real, en el contexto del estudio de la llegada de llamadas telefónicas y la teoría de colas en general. ^{[ 3 ]} Siempre que el proceso puntual original y la operación de proceso puntual cumplan ciertas condiciones matemáticas, entonces, a medida que se aplican operaciones de procesos puntuales al proceso, entonces a menudo el proceso puntual resultante se comportará estocásticamente más como un proceso puntual de Poisson si tiene una medida media no aleatoria , que da el número promedio de puntos del proceso puntual ubicados en alguna región. En otras palabras, en el límite cuando el número de operaciones aplicadas tiende a infinito, el proceso puntual convergerá en distribución (o débilmente) a un proceso puntual de Poisson o, si su medida es una medida aleatoria, a un proceso puntual de Cox . ^{[ 4 ]} Los resultados de convergencia, como el teorema de Palm-Khinchin para procesos de renovación, también se utilizan para justificar el uso del proceso puntual de Poisson como modelo matemático de diversos fenómenos.

notación de procesos puntuales

Los procesos puntuales son objetos matemáticos que pueden usarse para representar conjuntos de puntos dispersos aleatoriamente en algún espacio matemático subyacente . Tienen varias interpretaciones, lo cual se refleja en los distintos tipos de notación de procesos puntuales . ^{[ 1 ]}^{[ 5 ]} Por ejemplo, si un punto $\textstyle x$ pertenece a, o es miembro de, un proceso puntual, denotado por $\textstyle {N}$ , entonces esto se puede escribir como: ^{[ 1 ]}

\textstyle x\en {N},

y representa el proceso de puntos como un conjunto aleatorio . Alternativamente, el número de puntos de $\textstyle {N}$ ubicado en algún conjunto de Borel $\textstyle B$ a menudo se escribe como: ^{[ 1 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

\textstyle {N}(B),

lo cual refleja una interpretación de medida aleatoria para procesos puntuales.

Un proceso puntual debe definirse en un espacio matemático subyacente. A menudo, este espacio es el espacio euclidiano d -dimensional , denotado aquí por $\textstyle {\textbf {R}}^{d}$ , aunque los procesos puntuales pueden definirse en espacios matemáticos más abstractos . ^[⁴^]

Ejemplos de operaciones

Para desarrollar modelos adecuados con procesos puntuales en geometría estocástica, estadística espacial y campos relacionados, existen varias transformaciones útiles que se pueden realizar sobre los procesos puntuales, entre las que se incluyen: adelgazamiento, superposición, mapeo (o transformación del espacio), agrupamiento y desplazamiento aleatorio. ^{[ 2 ]}^{[ 1 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

Aclareo

La operación de adelgazamiento implica el uso de alguna regla predefinida para eliminar puntos de un proceso de puntos. $\textstyle {N}$ para formar un nuevo proceso de puntos $\textstyle {N}_{p}$ Estas reglas de adelgazamiento pueden ser deterministas, es decir, no aleatorias, lo cual es el caso de una de las reglas más simples conocida como $\textstyle p$ -adelgazamiento: ^{[ 1 ]} cada punto de $\textstyle {N}$ se elimina (o se conserva) de forma independiente con cierta probabilidad $\textstyle p$ (o $\textstyle 1-p$ ). Esta regla puede generalizarse introduciendo una función no negativa. $\textstyle p(x)\leq 1$ para definir la dependencia de la ubicación $\textstyle p(x)$ -adelgazamiento donde ahora la probabilidad de que se elimine un punto es $\textstyle p(x)$ y depende de dónde se encuentre el punto de $\textstyle {N}$ está ubicado en el espacio subyacente. Una generalización adicional es tener la probabilidad de adelgazamiento $\textstyle p$ aleatorio en sí mismo.

Estas tres operaciones son todos tipos de adelgazamiento independiente, lo que significa que la interacción entre puntos no tiene efecto sobre dónde se elimina (o se conserva) un punto. Otra generalización implica el adelgazamiento dependiente, donde los puntos del proceso puntual se eliminan (o se conservan) dependiendo de su ubicación en relación con otros puntos del proceso puntual. El adelgazamiento se puede utilizar para crear nuevos procesos puntuales, como procesos de núcleo duro, donde no existen puntos (debido al adelgazamiento) dentro de un cierto radio de cada punto en el proceso puntual adelgazado. ^{[ 1 ]}

Superposición

La operación de superposición se utiliza para combinar dos o más procesos puntuales en un espacio matemático subyacente o espacio de estados. Si hay un conjunto numerable o una colección de procesos puntuales $\textstyle {N}_{1},{N}_{2}\dots$ con medidas medias $\textstyle \Lambda _{1},\Lambda _{2},\dots$ , luego su superposición

{N}=\bigcup _{i=1}^{\infty }{N}_{i},

También forma un proceso puntual. En esta expresión, la operación de superposición se denota mediante una unión de conjuntos , lo que implica la interpretación de conjuntos aleatorios de los procesos puntuales; consulte la Notación de procesos puntuales para obtener más información.

Caso de proceso de puntos de Poisson

En el caso donde cada $\textstyle {N}_{i}$ es un proceso de puntos de Poisson, entonces el proceso resultante $\textstyle {N}$ También es un proceso de puntos de Poisson con intensidad media

\Lambda =\sum \limits _{i=1}^{\infty }\Lambda _{i}.

Agrupamiento

La operación puntual conocida como agrupamiento implica reemplazar cada punto $\textstyle x$ en un proceso puntual dado $\textstyle {N}$ con un grupo de puntos $\textstyle N^{x}$ Cada clúster es también un proceso puntual, pero con un número finito de puntos. La unión de todos los clústeres forma un proceso puntual de clúster.

{N}_{c}=\bigcup _{x\in {N}}N^{x}.

A menudo se asume que los clústeres $\textstyle N^{x}$ son todos conjuntos de puntos finitos, siendo cada conjunto independiente e idénticamente distribuido . Además, si el proceso de puntos original $\textstyle {N}$ tiene una intensidad constante $\textstyle \lambda$ , entonces la intensidad del proceso de puntos de clúster $\textstyle {N}_{c}$ será

\lambda _{c}=c\lambda ,

donde la constante $\textstyle c$ es la media del número de puntos en cada $\textstyle N^{x}$ .

Desplazamiento y traslación aleatorios

Un modelo matemático puede requerir el movimiento aleatorio de puntos de un proceso puntual desde algunas ubicaciones a otras ubicaciones en el espacio matemático subyacente . ^{[ 2 ]} Esta operación de proceso puntual se denomina desplazamiento aleatorio ^{[ 2 ]} o traslación . ^{[ 4 ]} Si cada punto en el proceso se desplaza o traslada independientemente a todos los demás puntos del proceso, entonces la operación forma un desplazamiento o traslación independiente . ^{[ 4 ]} Generalmente se supone que todas las traslaciones aleatorias tienen una distribución de probabilidad común ; por lo tanto, los desplazamientos forman un conjunto de vectores aleatorios independientes e idénticamente distribuidos en el espacio matemático subyacente.

La aplicación de desplazamientos o traslaciones aleatorias a procesos puntuales puede utilizarse como modelos matemáticos para la movilidad de objetos en, por ejemplo, ecología ^{[ 2 ]} o redes inalámbricas. ^{[ 5 ]}

Teorema de desplazamiento

El resultado conocido como el teorema de desplazamiento ^{[ 2 ]} dice efectivamente que el desplazamiento aleatorio independiente de puntos de un proceso de puntos de Poisson (en el mismo espacio subyacente) forma otro proceso de puntos de Poisson.

Transformación del espacio

^{Otra propiedad que se considera útil es la capacidad de mapear un proceso de} puntos de un espacio subyacente a otro. Por ejemplo, un proceso de puntos definido en el plano R² puede transformarse de coordenadas cartesianas a coordenadas polares . ^[²^]

Teorema de mapeo

Siempre que el mapeo (o transformación) cumpla con ciertas condiciones, entonces un resultado a veces conocido como el Teorema de Mapeo ^{[ 2 ]} dice que si el proceso original es un proceso de puntos de Poisson con alguna medida de intensidad, entonces la colección resultante de puntos mapeados (o transformados) también forma un proceso de puntos de Poisson con otra medida de intensidad.

Convergencia de operaciones de procesos puntuales

Una operación puntual realizada una vez sobre un proceso puntual puede, en general, repetirse una y otra vez. En la teoría de procesos puntuales, se han obtenido resultados para estudiar el comportamiento del proceso resultante, mediante resultados de convergencia , en el límite cuando el número de operaciones realizadas tiende a infinito. ^{[ 4 ]} Por ejemplo, si cada punto de un proceso puntual general se desplaza repetidamente de forma aleatoria e independiente, el nuevo proceso puntual, en términos informales, se asemejará cada vez más a un proceso puntual de Poisson. Se han desarrollado resultados de convergencia similares para las operaciones de adelgazamiento y superposición (con un reescalado adecuado del espacio subyacente). ^{[ 4 ]}

Referencias

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