Incrementos independientes

En teoría de probabilidad , los incrementos independientes son una propiedad de los procesos estocásticos y las medidas aleatorias . La mayoría de las veces, un proceso o medida aleatoria tiene incrementos independientes por definición, lo que subraya su importancia. Algunos de los procesos estocásticos que por definición poseen incrementos independientes son el proceso de Wiener , todos los procesos de Lévy , todos los procesos aditivos ^[1] y el proceso puntual de Poisson .

Definición de procesos estocásticos

Sea un proceso estocástico . En la mayoría de los casos, o . Entonces el proceso estocástico tiene incrementos independientes si y solo si para cada y cualquier elección con $(X_{t})_{t\in T}$ $T=\mathbb {N}$ $T=\mathbb {R} ^{+}$ $m\in \mathbb {N}$ $t_{0},t_{1},t_{2},\puntos ,t_{m-1},t_{m}\en T$

t_{0}<t_{1}<t_{2}<\puntos <t_{m}

Las variables aleatorias

(X_{t_{1}}-X_{t_{0}}),(X_{t_{2}}-X_{t_{1}}),\puntos ,(X_{t_{m}}-X_{t_{m-1}})

son estocásticamente independientes . ^[2]

Definición de medidas aleatorias

Una medida aleatoria tiene incrementos independientes si y sólo si las variables aleatorias son estocásticamente independientes para cada selección de conjuntos medibles disjuntos por pares y cada . ^[3] ${\estilo de visualización \xi}$ $\xi (B_{1}),\xi (B_{2}),\puntos ,\xi (B_{m})$ $B_{1},B_{2},\puntos ,B_{m}$ $m\in \mathbb {N}$

Incrementos S independientes

Sea una medida aleatoria en y defina para cada conjunto medible acotado la medida aleatoria en como ${\estilo de visualización \xi}$ $S\times T$ ${\estilo de visualización B}$ $\xi_{B}$ ${\estilo de visualización T}$

\xi _{B}(\cdot ):=\xi (B\times \cdot )

Entonces se llama una medida aleatoria con incrementos S independientes , si para todos los conjuntos acotados y todas las medidas aleatorias son independientes. ^[4] ${\estilo de visualización \xi}$ $B_{1},B_{2},\puntos ,B_{n}$ $n\in \mathbb {N}$ $\xi _{B_{1}},\xi _{B_{2}},\puntos ,\xi _{B_{n}}$

Solicitud

Los incrementos independientes son una propiedad básica de muchos procesos estocásticos y a menudo se incorporan en su definición. La noción de incrementos independientes e incrementos S independientes de medidas aleatorias desempeña un papel importante en la caracterización del proceso puntual de Poisson y la divisibilidad infinita.

Referencias

^ Sato, Ken-Ito (1999). Procesos de Lévy y distribuciones infinitamente divisibles . Cambridge University Press. pp. 31–68. ISBN 9780521553025.
^ Klenke, Achim (2008). Probability Theory . Berlín: Springer. pág. 190. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
^ Klenke, Achim (2008). Probability Theory . Berlín: Springer. pág. 527. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
^ Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. p. 87. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.

[1] Sato, Ken-Ito (1999). Procesos de Lévy y distribuciones infinitamente divisibles . Cambridge University Press. pp. 31–68. ISBN 9780521553025.

[Klenke190-2] Klenke, Achim (2008). Probability Theory . Berlín: Springer. pág. 190. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[Klenke527-3] Klenke, Achim (2008). Probability Theory . Berlín: Springer. pág. 527. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[Kallenberg87-4] Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. p. 87. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.