Proceso aditivo

Un proceso aditivo , en teoría de la probabilidad , es un proceso cadlag , continuo en probabilidad , estocástico con incrementos independientes . Un proceso aditivo es la generalización de un proceso de Lévy (un proceso de Lévy es un proceso aditivo con incrementos estacionarios). Un ejemplo de un proceso aditivo que no es un proceso de Lévy es un movimiento browniano con una deriva dependiente del tiempo. ^[1] El proceso aditivo fue introducido por Paul Lévy en 1937. ^[2]

Existen aplicaciones del proceso aditivo en finanzas cuantitativas ^[3] (esta familia de procesos puede capturar características importantes de la volatilidad implícita ) y en el procesamiento de imágenes digitales . ^[4]

Un proceso aditivo es una generalización de un proceso de Lévy que se obtiene relajando la hipótesis de incrementos estacionarios. Gracias a esta característica, un proceso aditivo puede describir fenómenos más complejos que un proceso de Lévy.

Un proceso estocástico tal que casi con seguridad es un proceso aditivo si satisface la siguiente hipótesis: ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle X_{0}=0}$

1. Tiene incrementos independientes.
2. Es continua en probabilidad. ^[1]

Un proceso estocástico tiene incrementos independientes si y sólo si para cualquier variable aleatoria es independiente de la variable aleatoria . ^{[5] [ aclaración necesaria ]}${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle 0\leq p<r\leq s<t}$$Estilo de visualización X_{t}-X_{s}}$$Estilo de visualización X_{r}-X_{p}}$

Un proceso estocástico es continuo en probabilidad si, y sólo si, para cualquier${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle t>0}$

${\displaystyle \lim_{s\to t^{-}}\Pr \left({\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}\geq \varepsilon \right)=0.}$^[5]

Existe un fuerte vínculo entre el proceso aditivo y las distribuciones infinitamente divisibles . Un proceso aditivo en el tiempo tiene una distribución infinitamente divisible caracterizada por el triplete generador . es un vector en , es una matriz en y es una medida en tal que y . ^[6]${\estilo de visualización t}$${\displaystyle (\gamma_{t},A_{t},\nu_{t})}$${\displaystyle \gamma_{t}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$$Estilo de visualización A_{t}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d\times d}}$${\displaystyle \nu_{t}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \nu _ {t}(\{0\})=0}$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}(1\wedge x^{2})\nu _{t}(dx)<\infty }$

${\displaystyle \gamma_{t}}$Se denomina término de deriva, matriz de covarianza y medida de Lévy. Es posible escribir explícitamente la función característica del proceso aditivo utilizando la fórmula de Lévy-Khintchine : $Estilo de visualización A_{t}}$${\displaystyle \nu_{t}}$

${\displaystyle \varphi _{X}(u)(t):=\operatorname {E} \left[e^{iu'X_{t}}\right]=\exp \left(u'\gamma _{t}i-{\frac {1}{2}}u'A_{t}u+\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left(e^{iu'x}-1-iu'x\mathbf {I} _{|x|<1}\right)\,\nu _{t}(dx)\right),}$

donde es un vector en y es la función indicadora del conjunto . ^[7]${\estilo de visualización u}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbf {I_{C}}}$${\estilo de visualización C}$

Una función característica del proceso de Lèvy tiene la misma estructura pero con y con un vector en , una matriz definida positiva en y es una medida en . ^[8]${\displaystyle \gamma _ {t}=t\gamma,\nu _ {t}=t\nu}$${\displaystyle A_{t}=At}$${\estilo de visualización \gamma}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d\times d}}$${\estilo de visualización \nu}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

El siguiente resultado junto con la fórmula de Lévy-Khintchine caracteriza el proceso aditivo.

Sea un proceso aditivo en . Entonces, su distribución infinitamente divisible es tal que: ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

1. Para todo , es una matriz definida positiva.${\estilo de visualización t}$$Estilo de visualización A_{t}}$
2. ${\displaystyle \gamma _{0}=0,A_{0}=0,\nu _{0}=0}$y para todo es tal que , es una matriz definida positiva y para cada en .${\estilo de visualización s,t}$${\displaystyle s<t}$$Estilo de visualización A_{t}-A_{s}}$${\displaystyle \nu _ {t}(B)\geq \nu _ {s}(B)}$${\estilo de visualización B}$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbb {R} ^{d})}$
3. Si y cada en , .${\displaystyle s\to t}$ ${\displaystyle \gamma_{s}\to \gamma_{t},A_{s}\to A_{t}}$${\displaystyle \nu _{s}(B)\to \nu _{t}(B)}$${\estilo de visualización B}$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle 0\no \en B}$

Por el contrario, para una familia de distribuciones infinitamente divisibles caracterizadas por un triplete generador que satisface 1, 2 y 3, existe un proceso aditivo con esta distribución. ^{[9] [10]}${\displaystyle (\gamma_{t},A_{t},\nu_{t})}$${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$

Familia de procesos aditivos con distribución logística generalizada . Su función característica de 5 parámetros es

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{iuX_{t}}\right]=\left({\frac {B(\alpha _{t}+i\sigma _{t}u,\beta _{t}-i\sigma u)}{B(\alpha _{t},\beta _{t})}}\right)^{\delta _{t}}e^{i\mu _{t}u}\;\;.}$

Dos subcasos del proceso logístico aditivo son el proceso aditivo logístico simétrico con distribución logística estándar ( , , ) y el proceso aditivo Dagum de potencia conjugada con distribución Dagum ( , , ). ${\displaystyle \alpha _{t}=1}$${\displaystyle \beta _{t}=1}$${\displaystyle \delta _{t}=1}$${\displaystyle \alpha _{t}=1}$${\displaystyle \beta _{t}=1-\sigma (t)}$${\displaystyle \alpha _{t}=1}$

La función siempre se puede elegir, pero el proceso aditivo es una martingala . ^[11]${\displaystyle \mu_{t}}$

Extensión de los procesos estables templados normales de Lévy; algunos procesos estables templados normales de Lévy bien conocidos tienen distribución gaussiana normal-inversa y distribución varianza-gamma . Los procesos estables templados normales aditivos ^[12] tienen la misma función característica de los procesos estables templados normales de Lévy pero con parámetros dependientes del tiempo (el nivel de volatilidad), (la varianza de los saltos) y (vinculados a la asimetría): ${\displaystyle \sigma _{t}}$$estilo de visualización k_{t}}$$estilo de visualización {\eta _{t}}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{iuX_{t}}\right]={\cal {L}}_{t}\left(iu\left({\frac {1}{2}}+\eta _{t}\right)\sigma _{t}^{2}+{\frac {u^{2}\sigma _{t}^{2}}{2}};\;k_{t},\;\alpha \right)e^{iu\varphi _{t}t},}$

dónde

${\displaystyle \ln {\cal {L}}_{t}\left(u;\;k_{t},\;\alpha \right):={\begin{cases}\displaystyle {\frac {t}{k_{t}}}\displaystyle {\frac {1-\alpha }{\alpha }}\left\{1-\left(1+{\frac {u\;k_{t}}{1-\alpha }}\right)^{\alpha }\right\}&{\mbox{if }}\;0<\alpha <1\\[4mm]\displaystyle -{\frac {t}{k_{t}}}\ln \left(1+u\;k_{t}\right)&{\mbox{if }}\;\alpha =0\end{cases}}}$

La función siempre se puede elegir, pero el proceso aditivo es una martingala . ^[12]${\displaystyle \varphi _{t}}$

Un proceso aditivo positivo no decreciente con valores en es un subordinador aditivo . Un subordinador aditivo es una semimartingala (gracias al hecho de que no es decreciente) y siempre es posible reescribir su transformada de Laplace como ${\displaystyle \{S_{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{-uS_{t}}\right]=\exp \left(ub_{t}+\int _{\mathbb {R} ^{d}}(e^{iux}-1)\nu _{t}(dx)\right).}$^[13]

Es posible utilizar un subordinador aditivo para cambiar el tiempo de un proceso de Lévy obteniendo una nueva clase de procesos aditivos. ^[14]

Un proceso autosimilar aditivo se denomina proceso Sato. ^[15] Es posible construir un proceso Sato a partir de un proceso Lévy que tenga la misma ley de . ${\displaystyle \{Z_{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle Z_{t}}$${\displaystyle t^{h}X_{1}}$

Un ejemplo es el SSD de varianza gamma, el proceso Sato obtenido a partir del proceso de varianza gamma .

La función característica de la varianza gamma en el tiempo es ${\displaystyle t=1}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{iuX_{1}}\right]=\left({\frac {1}{1-iu\theta \nu +0.5\sigma ^{2}\nu u^{2}}}\right)^{1/\nu },}$

donde y son constantes positivas. ${\displaystyle \theta ,\nu }$${\displaystyle \sigma }$

La función característica de la varianza gamma SSD es

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{iuZ_{t}}\right]=\left({\frac {1}{1-iut^{h}\theta \nu +0.5\sigma ^{2}\nu u^{2}t^{2}h}}\right)^{1/\nu }}$^[16]

La simulación de procesos aditivos es computacionalmente eficiente gracias a la independencia de los incrementos. Los incrementos del proceso aditivo pueden simularse por separado y la simulación también puede paralelizarse. ^[17]

La simulación de saltos es una generalización a la clase de procesos aditivos de la técnica de simulación de saltos desarrollada para los procesos de Lévy. El método se basa en truncar los saltos pequeños por debajo de un cierto umbral y simular el número finito de saltos independientes. Además, se puede aplicar la aproximación gaussiana para reemplazar los saltos pequeños con un término difusivo. También es posible utilizar el algoritmo Ziggurat para acelerar la simulación de saltos. ^[18]

La simulación del proceso de Lévy mediante la inversión de la función característica es una técnica bien establecida en la literatura. ^[19] Esta técnica se puede extender a los procesos aditivos. La idea clave es obtener una aproximación de la función de distribución acumulativa (CDF) invirtiendo la función característica . La velocidad de inversión se mejora mediante el uso de la transformada rápida de Fourier . Una vez que la aproximación de la CDF está disponible, es posible simular un incremento del proceso aditivo simplemente simulando una variable aleatoria uniforme. El método tiene un costo computacional similar a la simulación de un movimiento browniano geométrico estándar. ^[20]

El proceso de Lévy se utiliza para modelar los retornos logarítmicos de los precios de mercado. Desafortunadamente, la estacionariedad de los incrementos no reproduce correctamente los datos del mercado. Un proceso de Lévy ajusta bien los precios de las opciones de compra y venta ( volatilidad implícita ) para una única fecha de vencimiento, pero no puede ajustar los precios de las opciones con diferentes vencimientos ( superficie de volatilidad ). El proceso aditivo introduce una no estacionariedad determinista que le permite ajustar todas las fechas de vencimiento. ^[3]

Un proceso Sato de cuatro parámetros (proceso aditivo autosimilar) puede reproducir correctamente la superficie de volatilidad (error del 3% en el mercado de acciones S&P 500 ). Este orden de magnitud de error se obtiene generalmente utilizando modelos con 6-10 parámetros para ajustar los datos del mercado. ^[21] Un proceso autosimilar describe correctamente los datos del mercado debido a su asimetría plana y exceso de curtosis ; estudios empíricos han observado este comportamiento en la asimetría del mercado y el exceso de curtosis. ^[22] Algunos de los procesos que ajustan los precios de las opciones con un error del 3% son VGSSD, NIGSSD, MXNRSSD obtenidos a partir del proceso de gamma de varianza, el proceso gaussiano inverso normal y el proceso Meixner. ^[23]

Los procesos aditivos de estabilidad temperada normal se ajustan con precisión a los datos del mercado de valores (error inferior al 0,8 % en el mercado de valores S&P 500 ) específicamente para vencimientos cortos. Esta familia de procesos reproduce muy bien también la desviación de la volatilidad implícita del mercado de valores. Además, surge una característica interesante de escala de potencia en los parámetros calibrados y . Hay evidencia estadística de que y . ^[24]${\displaystyle k_{t}={\bar {k}}t^{\beta }}$${\displaystyle \eta _{t}={\bar {\eta }}t^{\delta }}$${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle \delta =-1/2}$

La subordinación de Lévy se utiliza para construir nuevos procesos de Lévy (por ejemplo, el proceso de varianza gamma y el proceso gaussiano inverso normal). Existe una gran cantidad de aplicaciones financieras de los procesos construidos mediante la subordinación de Lévy. Un proceso aditivo construido mediante subordinación aditiva mantiene la manejabilidad analítica de un proceso construido mediante subordinación de Lévy, pero refleja mejor la estructura no homogénea en el tiempo de los datos del mercado. ^[25] La subordinación aditiva se aplica al mercado de materias primas ^[26] y a las opciones VIX. ^[27]

Se puede aplicar un estimador basado en el mínimo de un proceso aditivo al procesamiento de imágenes. Dicho estimador tiene como objetivo distinguir entre la señal real y el ruido en los píxeles de la imagen. ^[4]

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