Càdlàg

En matemáticas , una función càdlàg ( del francés : continue à droite, limite à gauche ), RCLL ("continua por la derecha con límites por la izquierda") o corlol ("continua por la derecha, límite por la izquierda") es una función definida en los números reales (o un subconjunto de ellos) que es continua por la derecha en todas partes y tiene límites por la izquierda en todas partes. Las funciones càdlàg son importantes en el estudio de procesos estocásticos que admiten (o incluso requieren) saltos, a diferencia del movimiento browniano , que tiene trayectorias de muestra continuas. El conjunto de funciones càdlàg en un dominio dado se conoce como espacio de Skorokhod .

Dos términos relacionados son càglàd , que significa " continue à gauche, limite à droite ", la inversión izquierda-derecha de càdlàg, y càllàl, que significa " continue à l'un, limite à l'autre " (continua por un lado, límite por el otro), para una función que en cada punto del dominio es càdlàg o càglàd.

Dejar${\displaystyle (M,d)}$Sea un espacio métrico y sea${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$. Una función${\displaystyle f:E\to M}$Se denomina función càdlàg si, para cada${\displaystyle t\in E}$,

• el límite izquierdo${\displaystyle f(t-):=\lim _{s\to t^{-}}f(s)}$existe; y
• el límite correcto${\displaystyle f(t+):=\lim _{s\to t^{+}}f(s)}$existe y es igual a${\displaystyle f(t)}$.

Eso es,${\displaystyle f}$es continua por la derecha con límites por la izquierda.

• Todas las funciones continuas en un subconjunto de los números reales son funciones càdlàg en ese subconjunto.
• Como consecuencia de su definición, todas las funciones de distribución acumulativa son funciones càdlàg. Por ejemplo, la acumulativa en el punto${\displaystyle r}$corresponder a la probabilidad de ser menor o igual que${\displaystyle r}$, es decir${\displaystyle \mathbb {P} [X\leq r]}$En otras palabras, el intervalo semiabierto de interés para una distribución de dos colas${\displaystyle (-\infty ,r]}$está cerrado a la derecha.
• El derivado correcto${\displaystyle f_{+}^{\prime }}$de cualquier función convexa${\displaystyle f}$Definida en un intervalo abierto, es una función cadlag creciente.

El conjunto de todas las funciones càdlàg de${\displaystyle E}$a${\displaystyle M}$a menudo se denota por${\displaystyle \mathbb {D} (E:M)}$(o simplemente${\displaystyle \mathbb {D} }$) y se denomina espacio de Skorokhod en honor al matemático ucraniano Anatoliy Skorokhod . Al espacio de Skorokhod se le puede asignar una topología que intuitivamente nos permite "mover un poco el espacio y el tiempo" (mientras que la topología tradicional de convergencia uniforme solo nos permite "mover un poco el espacio"). ^{[ 1 ]} Para simplificar, tomemos${\displaystyle E=[0,T]}$y${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$— véase Billingsley ^{[ 2 ]} para una construcción más general.

Primero debemos definir un análogo del módulo de continuidad ,${\displaystyle \varpi '_{f}(\delta)}$. Para cualquier${\displaystyle F\subseteq E}$, colocar

${\displaystyle w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|}$

y, para${\displaystyle \delta >0}$, definimos el módulo càdlàg como

${\displaystyle \varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),}$

donde el ínfimo recorre todas las particiones${\displaystyle \Pi =\{0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T\},\;k\in E}$, con${\displaystyle \min _{i}(t_{i+1}-t_{i})>\delta }$Esta definición tiene sentido para los no-càdlàg${\displaystyle f}$(del mismo modo que el módulo de continuidad habitual tiene sentido para funciones discontinuas).${\displaystyle f}$es càdlàg si y solo si${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\varpi '_{f}(\delta )=0}$.

Ahora dejemos${\displaystyle \Lambda }$denotemos el conjunto de todas las biyecciones estrictamente crecientes y continuas de${\displaystyle E}$a sí mismo (estos son "ondulaciones en el tiempo"). Deje

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|}$

denotemos la norma uniforme en funciones en${\displaystyle E}$Defina la métrica de Skorokhod${\displaystyle \sigma }$en${\displaystyle \mathbb {D} }$por

${\displaystyle \sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|fg\circ \lambda \|\},}$

dónde${\displaystyle I:E\to E}$es la función identidad. En términos de la intuición de "ondulación",${\displaystyle \|\lambda -I\|}$mide el tamaño de la "oscilación en el tiempo", y${\displaystyle \|fg\circ \lambda \|}$mide el tamaño del "ondulación en el espacio".

La métrica de Skorokhod es, en efecto, una métrica. La topología${\displaystyle \Sigma }$generado por${\displaystyle \sigma }$se denomina topología de Skorokhod en${\displaystyle \mathbb {D} }$.

Una métrica equivalente,

${\displaystyle d(f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }(\|\lambda -I\|+\|fg\circ \lambda \|),}$

fue introducido de forma independiente y utilizado en la teoría de control para el análisis de sistemas de conmutación. ^{[ 3 ]}

• Espacio de Wiener clásico – Espacio de procesos estocásticos 

• Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida . Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
• Billingsley, Patrick (1999). Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.