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Articulo de referencia

Rigidez de las medidas

En matemáticas , la compacidad es un concepto de la teoría de la medida . La idea intuitiva es que una colección dada de medidas no "escapa al infinito ". Definiciones Dejar ( i...

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En matemáticas , la compacidad es un concepto de la teoría de la medida . La idea intuitiva es que una colección dada de medidas no "escapa al infinito ".

Definiciones

Dejar(incógnita,T){\displaystyle (X,T)}ser un espacio Hausdorff y dejarΣ{\displaystyle \Sigma }ser un σ -álgebra enincógnita{\displaystyle X}que contiene la topologíaT{\displaystyle T}. (Por lo tanto, cada subconjunto abierto deincógnita{\displaystyle X}es un conjunto medible yΣ{\displaystyle \Sigma }es al menos tan fino como el σ -álgebra de Borel enincógnita{\displaystyle X}.) DejarMETRO{\displaystyle M}ser una colección de medidas (posiblemente con signo o complejas ) definidas enΣ{\displaystyle \Sigma }La colecciónMETRO{\displaystyle M}Se dice ajustado (o a veces uniformemente ajustado ) si, para cualquierε>0{\displaystyle \varepsilon >0}, hay un subconjunto compactoKε{\ Displaystyle K _ {\ varepsilon}}deincógnita{\displaystyle X}de tal manera que, para todas las medidasμ∈METRO{\displaystyle \mu \in M},

|μ|(incógnita∖Kε)<ε.{\displaystyle |\mu |(X\setminus K_{\varepsilon })<\varepsilon .}

dónde|μ|{\displaystyle |\mu |}es la medida de variación total deμ{\displaystyle \mu }. Muy a menudo, las medidas en cuestión son medidas de probabilidad , por lo que la última parte se puede escribir como

μ(Kε)>1−ε.{\displaystyle \mu (K_{\varepsilon })>1-\varepsilon .\,}

Si una colección ajustadaMETRO{\displaystyle M}consta de una sola medidaμ{\displaystyle \mu }, entonces (dependiendo del autor)μ{\displaystyle \mu }Se puede decir que es una medida estricta o una medida interna regular .

SiY{\displaystyle Y}es unincógnita{\displaystyle X}variable aleatoria con valor cuya distribución de probabilidad enincógnita{\displaystyle X}entonces es una medida estrictaY{\displaystyle Y}Se dice que es una variable aleatoria separable o una variable aleatoria de Radon .

Otro criterio equivalente de la cohesión de una colecciónMETRO{\displaystyle M}es compacidad débil secuencial. Decimos que la familiaMETRO{\displaystyle M}de medidas de probabilidad es secuencialmente débilmente compacto si para cada secuencia{μnorte}{\displaystyle \left\{\mu _{n}\right\}}De la familia, hay una subsecuencia de medidas que converge débilmente a alguna medida de probabilidad.μ{\displaystyle \mu }Se puede demostrar que una familia de medidas es compacta si y solo si es secuencialmente débilmente compacta.

Ejemplos

Espacios compactos

Siincógnita{\displaystyle X}es un espacio compacto metrizable , entonces cada conjunto de medidas (posiblemente complejas) enincógnita{\displaystyle X}es ajustado. Esto no es necesariamente así para espacios compactos no metrizables. Si tomamos[0,ω1]{\displaystyle [0,\omega _ {1}]}con su topología de orden , entonces existe una medidaμ{\displaystyle \mu }en él que no es interno regular. Por lo tanto, el singleton{μ}{\displaystyle \{\mu \}}no está apretado.

espacios polacos

Siincógnita{\displaystyle X}es un espacio polaco , entonces cada medida finita enincógnita{\displaystyle X}es ajustado; este es el teorema de Ulam. Además, por el teorema de Prokhorov , una colección de medidas de probabilidad enincógnita{\displaystyle X}es ajustado si y solo si es precompacto en la topología de convergencia débil .

Una colección de masas puntuales

Consideremos la línea realR{\displaystyle \mathbb {R} }con su topología de Borel habitual. Dejemosδincógnita{\displaystyle \delta _{x}}denotamos la medida de Dirac , una masa unitaria en el puntoincógnita{\displaystyle x}enR{\displaystyle \mathbb {R} }La colección METRO1:={δnorte∣norte∈norte}{\displaystyle M_{1}:=\{\delta _{n}\mid n\in \mathbb {N} \}} no es ajustado, ya que los subconjuntos compactos deR{\displaystyle \mathbb {R} }son precisamente los subconjuntos cerrados y acotados , y cualquier conjunto de este tipo, puesto que es acotado, tieneδnorte{\displaystyle \delta _{n}}-medir cero para lo suficientemente grandenorte{\displaystyle n}Por otro lado, la colección METRO2:={δ1/norte∣norte∈norte}{\displaystyle M_{2}:=\{\delta _{1/n}\mid n\in \mathbb {N} \}} es ajustado: el intervalo compacto[0,1]{\displaystyle [0,1]}funcionará comoKε{\ Displaystyle K _ {\ varepsilon}}para cualquierε>0{\displaystyle \varepsilon >0}. En general, una colección de medidas delta de Dirac enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}es ajustado si, y solo si, el conjunto de sus soportes está acotado.

Una colección de medidas gaussianas

Considerarnorte{\displaystyle n}espacio euclidiano de -dimensionesRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}con su topología de Borel habitual y σ-álgebra. Consideremos una colección de medidas gaussianas.Γ={γi∣i∈I},{\displaystyle \Gamma =\{\gamma _{i}\mid i\in I\},} donde la medidaγi{\displaystyle \gamma _{i}}tiene valor esperado ( media )metroi∈Rnorte{\displaystyle m_{i}\in \mathbb {R} ^{n}}y matriz de covarianzadoi∈Rnorte×norte{\displaystyle C_{i}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}. Luego la colecciónΓ{\displaystyle \Gamma }es ajustado si, y solo si, las colecciones{metroi∣i∈I}⊆Rnorte{\displaystyle \{m_{i}\mid i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}y{doi∣i∈I}⊆Rnorte×norte{\displaystyle \{C_{i}\mid i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n\times n}}ambos están delimitados.

Estrechez y convergencia

La compacidad suele ser un criterio necesario para demostrar la convergencia débil de una secuencia de medidas de probabilidad, especialmente cuando el espacio de medidas tiene dimensión infinita . Véase

Rigidez y ordenamiento estocástico

Una familia de variables aleatorias de valor real{incógnitai}i∈I{\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}es ajustado si y solo si existe una variable aleatoria casi seguramente finita. incógnita{\displaystyle X}de tal manera que |incógnitai|≤stincógnita{\displaystyle |X_{i}|\leq _{\mathrm {st} }X}a pesar dei∈I{\displaystyle i\in I}, dónde ≤st{\displaystyle \leq _{\mathrm {st} }}denota el orden estocástico definido por A≤stB{\displaystyle A\leq _{\mathrm {st} }B}simi[ϕ(A)]≤mi[ϕ(B)]{\displaystyle \mathbb {E} [\phi (A)]\leq \mathbb {E} [\phi (B)]}para todas las funciones no decrecientesϕ{\displaystyle \phi }. [ 1 ]

estrechez exponencial

Un fortalecimiento de la rigidez es el concepto de rigidez exponencial, que tiene aplicaciones en la teoría de grandes desviaciones . Una familia de medidas de probabilidad.(μδ)δ>0{\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}en un espacio topológico de Hausdorffincógnita{\displaystyle X}Se dice que es exponencialmente ajustado si, para cualquierε>0{\displaystyle \varepsilon >0}, hay un subconjunto compactoKε{\displaystyle K_{\varepsilon }}deincógnita{\displaystyle X}de tal manera que

límite superiorδ↓0δregistro⁡μδ(incógnita∖Kε)<−ε.{\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(X\setminus K_{\varepsilon })<-\varepsilon .}

Referencias

  1. ↑ Leskelä, L.; Vihola, M. (2013). "Caracterización del orden estocástico de la integrabilidad y la rigidez uniformes" . Statistics and Probability Letters . 83 (1): 382– 389. arXiv : 1106.0607 . doi : 10.1016/j.spl.2012.09.023 .
  • Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida . Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
  • Billingsley, Patrick (1999). Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.
  • Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Probabilidad en espacios de Banach . Berlín: Springer-Verlag. pp.  xii+480. ISBN 3-540-52013-9.MR 1102015 (Véase el capítulo 2)