Proceso de renovación generalizada

El proceso de G-renovación es introducido por Kijima y Sumita a través de la noción de la era virtual . ^{[ 1 ]}

${\displaystyle y_{i}=qt_{i}}$

dónde:

${\displaystyle t_{i}}$y${\displaystyle y_{i}}$es la edad real y virtual (respectivamente) del sistema en/después de la i ^-ésima reparación,

${\displaystyle q}$es el factor de restauración (también conocido como factor de eficacia de la reparación),

${\displaystyle q=0}$, representa la condición de una reparación perfecta, donde la edad del sistema se restablece a cero después de la reparación. Esta condición corresponde al Proceso de Renovación Ordinario .

${\displaystyle q=1}$, representa la condición de una reparación mínima, donde la condición del sistema después de la reparación permanece igual que justo antes de la reparación. Esta condición corresponde al proceso de Poisson no homogéneo .

${\displaystyle 0<q<1}$, representa la condición de una reparación general, donde la condición del sistema está entre reparación perfecta y reparación mínima. Esta condición corresponde al Proceso de Renovación Generalizado .

Kaminskiy y Krivtsov ^{[ 2 ]} extendieron los modelos de Kijima permitiendo q  >  1, de modo que la reparación daña (envejece) el sistema en un grado mayor que el que tenía justo antes de la falla correspondiente.

Matemáticamente, el proceso de renovación G se cuantifica mediante la solución de la ecuación de renovación G:

${\displaystyle W(t)=\int _{0}^{t}(g(\tau \mid 0)+\int _{0}^{\tau }w(x)\cdot (g(\tau -x\mid x)\,dx)\,d\tau }$

dónde,

${\displaystyle g(\tau \mid x)={\frac {(t+qx,\theta )}{1-F(qx,\theta )}}}$${\displaystyle t,x\geq 0}$

${\displaystyle w(x)={\frac {dW(x)}{dx}}}$

f ( t ) es la función de densidad de probabilidad (PDF) de la distribución subyacente del tiempo de falla,

F ( t ) es la función de distribución acumulativa (CDF) de la distribución del tiempo de falla subyacente,

q es el factor de restauración,

${\displaystyle {\theta }}$es el vector de parámetros de la distribución subyacente del tiempo de falla.

No es posible obtener una solución analítica para la ecuación de renovación G. Además, las aproximaciones numéricas son difíciles de obtener debido a la serie infinita recurrente. Kaminiskiy y Krivtsov desarrollaron un método basado en el método de Monte Carlo para resolver la ecuación de renovación G. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

La estimación LSQ no lineal del proceso de renovación G fue propuesta por primera vez por Kaminskiy y Krivtsov. ^{[ 2 ]} Un tiempo entre llegadas aleatorio de un proceso de renovación G parametrizado viene dado por:

${\displaystyle X_{i}=F^{-1}(1-U_{i}[1-F(qS_{i-1})])-qS_{i-1}}$

dónde,

${\displaystyle S_{i-1}}$es la edad real acumulada antes del i ^-ésimo intervalo entre llegadas,

${\displaystyle U_{i}}$es una variable aleatoria con distribución uniforme ,

${\displaystyle F}$es la función de distribución acumulada (CDF) de la distribución subyacente del tiempo de falla.

La solución de Monte Carlo fue posteriormente mejorada ^{[ 4 ]} e implementada como un recurso web. ^{[ 5 ]}

Los procedimientos de máxima verosimilitud fueron posteriormente analizados por Yañez et al. ^{[ 6 ]} y Mettas & Zhao ^{[ 7 ]} . La estimación del factor de restauración G-renovación fue abordada en detalle por Kahle & Love ^{[ 8 ] .}

La estimación de los parámetros del proceso de renovación G es un problema inverso mal condicionado y, por lo tanto, la solución puede no ser única y es sensible a los datos de entrada. Krivtsov y Yevkin ^{[ 9 ] [ 10 ]} sugirieron primero estimar los parámetros de distribución subyacentes utilizando únicamente el tiempo hasta el primer fallo. Luego, los parámetros obtenidos se utilizan como valores iniciales para el segundo paso, donde todos los parámetros del modelo (incluidos los factores de restauración) se estiman simultáneamente. Este enfoque permite, por un lado, evitar soluciones irrelevantes (máximos o mínimos locales erróneos de la función objetivo) y, por otro lado, mejorar la velocidad de cálculo, ya que el número de iteraciones depende significativamente de los valores iniciales seleccionados.