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Articulo de referencia

Geodésico

Cuártica de Klein con 28 geodésicas (marcadas con 7 colores y 4 patrones). En geometría , una geodésica ( / ˌ dʒ iː . ə ˈ d ɛ s ɪ k , - oʊ -, - ˈ d iː s ɪ k , - z ɪ k / ) [ 1 ] ...

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Cuártica de Klein con 28 geodésicas (marcadas con 7 colores y 4 patrones).

En geometría , una geodésica ( / ˌ dʒ iː . ə ˈ d ɛ s ɪ k , - oʊ -, - ˈ d iː s ɪ k , - z ɪ k / ) [ 1 ] [ 2 ] es una curva que representa en cierto sentido el camino ( arco ) localmente [ a ] ​​más corto [ b ] entre dos puntos en una superficie , o más generalmente en una variedad riemanniana . El término también tiene significado en cualquier variedad diferenciable con una conexión . Es una generalización de la noción de " línea recta ".

El sustantivo geodésico y el adjetivo geodésico provienen de la geodesia , la ciencia que mide el tamaño y la forma de la Tierra , aunque muchos de sus principios subyacentes pueden aplicarse a cualquier geometría elipsoidal . En su sentido original, una geodésica era la ruta más corta entre dos puntos de la superficie terrestre . Para una Tierra esférica , es un segmento de un círculo máximo (véase también distancia de círculo máximo ). El término se ha generalizado posteriormente a espacios matemáticos más abstractos; por ejemplo, en la teoría de grafos , se podría considerar una geodésica entre dos vértices /nodos de un grafo .

En una variedad o subvariedad riemanniana , las geodésicas se caracterizan por tener una curvatura geodésica nula . De forma más general, en presencia de una conexión afín , una geodésica se define como una curva cuyos vectores tangentes permanecen paralelos si se transportan a lo largo de ella. Al aplicar esto a la conexión de Levi-Civita de una métrica riemanniana, se recupera la noción anterior.

Las geodésicas son de particular importancia en la relatividad general . Las geodésicas de tipo temporal en la relatividad general describen el movimiento de partículas de prueba en caída libre .

Introducción

Un camino localmente más corto entre dos puntos dados en un espacio curvo, asumiendo que [ b ] es una variedad riemanniana , se puede definir usando la ecuación para la longitud de una curva (una función f de un intervalo abierto de R al espacio), y luego minimizando esta longitud entre los puntos usando el cálculo de variaciones . Esto tiene algunos problemas técnicos menores porque hay un espacio de dimensión infinita de diferentes maneras de parametrizar el camino más corto. Es más simple restringir el conjunto de curvas a aquellas que están parametrizadas "con velocidad constante" 1, lo que significa que la distancia de f ( s ) a f ( t ) a lo largo de la curva es igual a | s − t |. Equivalentemente, se puede usar una cantidad diferente, llamada energía de la curva; minimizar la energía conduce a las mismas ecuaciones para una geodésica (aquí "velocidad constante" es una consecuencia de la minimización). Intuitivamente, esta segunda formulación se puede comprender al observar que una banda elástica estirada entre dos puntos contrae su anchura, minimizando así su energía. La forma resultante de la banda es una geodésica.

Es posible que varias curvas diferentes entre dos puntos minimicen la distancia, como ocurre entre dos puntos diametralmente opuestos en una esfera. En tal caso, cualquiera de estas curvas es una geodésica.

Un segmento contiguo de una geodésica es, a su vez, una geodésica.

En general, las geodésicas no son lo mismo que las "curvas más cortas" entre dos puntos, aunque ambos conceptos están estrechamente relacionados. La diferencia radica en que las geodésicas representan la distancia más corta entre puntos solo localmente y se parametrizan con una "velocidad constante". Recorrer el "camino largo" en un círculo máximo entre dos puntos de una esfera constituye una geodésica, pero no el camino más corto entre ellos. La transformación del intervalo unitario en la recta numérica real en sí mismo proporciona el camino más corto entre 0 y 1, pero no es una geodésica porque la velocidad del movimiento correspondiente de un punto no es constante.t→t2{\displaystyle t\to t^{2}}

Las geodésicas se encuentran comúnmente en el estudio de la geometría riemanniana y, más generalmente, en la geometría métrica . En la relatividad general , las geodésicas en el espaciotiempo describen el movimiento de partículas puntuales bajo la influencia de la gravedad. En particular, la trayectoria de una roca que cae, un satélite en órbita o la forma de una órbita planetaria son todas geodésicas [ c ] en el espaciotiempo curvo. De manera más general, el tema de la geometría subriemanniana trata sobre las trayectorias que pueden tomar los objetos cuando no son libres y su movimiento está restringido de diversas maneras.

Este artículo presenta el formalismo matemático necesario para definir, hallar y demostrar la existencia de geodésicas en el caso de variedades riemannianas . El artículo «Conexión Levi-Civita» analiza el caso más general de una variedad pseudoriemanniana, y «Geodésica (relatividad general)» aborda con mayor detalle el caso particular de la relatividad general.

Ejemplos

Una geodésica en un elipsoide triaxial .
Si se coloca un insecto sobre una superficie y este camina continuamente "hacia adelante", por definición trazará una geodésica.

Los ejemplos más conocidos son las líneas rectas en la geometría euclidiana . En una esfera , las geodésicas son las imágenes de los círculos máximos . El camino más corto entre el punto A y el punto B en una esfera viene dado por el arco más corto del círculo máximo que pasa por A y B. Si A y B son puntos antipodales , existen infinitos caminos más cortos entre ellos. Las geodésicas en un elipsoide se comportan de forma más compleja que en una esfera; en particular, no son cerradas en general (véase la figura).

Triángulos

Un triángulo geodésico sobre la esfera.

Un triángulo geodésico se forma mediante las geodésicas que unen cada par de tres puntos en una superficie dada. En la esfera, las geodésicas son arcos de círculo máximo , formando un triángulo esférico .

Triángulos geodésicos en espacios de curvatura positiva (arriba), negativa (medio) y cero (abajo).

Geometría métrica

En geometría métrica , una geodésica es una curva que es localmente un minimizador de distancia en todas partes . Más precisamente, una curva γ  : I → M de un intervalo I de los números reales al espacio métrico M es una geodésica si existe una constante v ≥ 0 tal que para cualquier t ∈ I existe un entorno J de t en I tal que para cualesquiera t 1 , t 2 ∈ J tenemos

d(γ(t1),γ(t2))=v|t1−t2|.{\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=v\left|t_{1}-t_{2}\right|.}

Esto generaliza la noción de geodésica para variedades riemannianas. Sin embargo, en geometría métrica la geodésica considerada a menudo está equipada con una parametrización natural , es decir, en la identidad anterior v  =  1 y

d(γ(t1),γ(t2))=|t1−t2|.{\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=\left|t_{1}-t_{2}\right|.}

Si la última igualdad se satisface para todo t 1 , t 2 ∈ I , la geodésica se denomina geodésica minimizadora o camino más corto .

En general, un espacio métrico puede carecer de geodésicas, salvo curvas constantes. En el otro extremo, dos puntos cualesquiera en un espacio métrico de longitud están unidos por una sucesión minimizadora de caminos rectificables , aunque esta sucesión minimizadora no necesariamente converge a una geodésica. El teorema de Hopf-Rinow para espacios métricos proporciona situaciones en las que un espacio de longitud es automáticamente un espacio geodésico.

Algunos ejemplos comunes de espacios métricos geodésicos que a menudo no son variedades incluyen grafos métricos , complejos poliédricos métricos (localmente compactos) , espacios pre-Hilbert de dimensión infinita y árboles reales .

geometría riemanniana

En una variedad riemanniana con tensor métrico , la longitud de una curva continuamente diferenciable se define porMETRO{\displaystyle M}gramo{\displaystyle g}L{\displaystyle L}γ:[a,b]→METRO{\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}

L(γ)=∫abgramoγ(t)(γ˙(t),γ˙(t))dt.{\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt.}

La distancia entre dos puntos y se define como el ínfimo de la longitud tomada sobre todas las curvas continuas y diferenciables por partes tales que y . En geometría riemanniana, todas las geodésicas son trayectorias que minimizan localmente la distancia, pero lo contrario no es cierto. De hecho, solo las trayectorias que minimizan localmente la distancia y que están parametrizadas proporcionalmente a la longitud de arco son geodésicas.d(pag,q){\displaystyle d(p,q)}pag{\displaystyle p}q{\displaystyle q}METRO{\displaystyle M}γ:[a,b]→METRO{\displaystyle \gamma :[a,b]\to M} γ(a)=pag{\displaystyle \gamma (a)=p}γ(b)=q{\displaystyle \gamma (b)=q}

Otra forma equivalente de definir geodésicas en una variedad riemanniana es definirlas como los mínimos de la siguiente función de acción o energía.

mi(γ)=12∫abgramoγ(t)(γ˙(t),γ˙(t))dt.{\displaystyle E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.}

Todos los mínimos de son también mínimos de , pero es un conjunto mayor ya que los caminos que son mínimos de pueden ser reparametrizados arbitrariamente (sin cambiar su longitud), mientras que los mínimos de no pueden. Para una curva a trozos (más generalmente, una curva ), la desigualdad de Cauchy-Schwarz dami{\displaystyle E}L{\displaystyle L}L{\displaystyle L}L{\displaystyle L}mi{\displaystyle E}do1{\displaystyle C^{1}}W1,2{\displaystyle W^{1,2}}

L(γ)2≤2(b−a)mi(γ){\displaystyle L(\gamma )^{2}\leq 2(ba)E(\gamma )}

con igualdad si y solo si es igual a una constante ae; el camino debe recorrerse a velocidad constante. Sucede que los minimizadores de también minimizan , porque resultan estar parametrizados afínmente, y la desigualdad es una igualdad. La utilidad de este enfoque es que el problema de buscar minimizadores de es un problema variacional más robusto. De hecho, es una "función convexa" de , de modo que dentro de cada clase de isotopía de "funciones razonables", se debería esperar la existencia, unicidad y regularidad de los minimizadores. En contraste, los "minimizadores" del funcional generalmente no son muy regulares, porque se permiten reparametrizaciones arbitrarias.gramo(γ′,γ′){\displaystyle g(\gamma ',\gamma ')}mi(γ){\displaystyle E(\gamma )}L(γ){\displaystyle L(\gamma )}mi{\displaystyle E}mi(γ){\displaystyle E(\gamma )}γ{\displaystyle \gamma }L(γ){\displaystyle L(\gamma )}

Las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange para el funcional se dan entonces en coordenadas locales pormi{\displaystyle E}

d2incógnitaλdt2+Γμνλdincógnitaμdtdincógnitaνdt=0,{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,}

donde están los símbolos de Christoffel de la métrica. Esta es la ecuación geodésica , que se analiza más adelante .Γμνλ{\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}

Cálculo de variaciones

Se pueden aplicar técnicas del cálculo clásico de variaciones para examinar el funcional de energía . La primera variación de energía se define en coordenadas locales mediantemi{\displaystyle E}

δmi(γ)(φ)=∂∂t|t=0mi(γ+tφ).{\displaystyle \delta E(\gamma )(\varphi )=\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\right|_{t=0}E(\gamma +t\varphi ).}

Los puntos críticos de la primera variación son precisamente las geodésicas. La segunda variación se define por

δ2mi(γ)(φ,ψ)=∂2∂s∂t|s=t=0mi(γ+tφ+sψ).{\displaystyle \delta ^{2}E(\gamma )(\varphi ,\psi )=\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\,\partial t}}\right|_{s=t=0}E(\gamma +t\varphi +s\psi ).}

En cierto sentido, los ceros de la segunda variación a lo largo de una geodésica surgen a lo largo de los campos de Jacobi . Por lo tanto, los campos de Jacobi se consideran variaciones a través de geodésicas.γ{\displaystyle \gamma }

Aplicando técnicas variacionales de la mecánica clásica , también se pueden considerar las geodésicas como flujos hamiltonianos . Son soluciones de las ecuaciones de Hamilton asociadas , tomando como hamiltoniano la métrica (pseudo)riemanniana .

geodésicas afines

Una geodésica en una variedad diferenciable con una conexión afín se define como una curva tal que el transporte paralelo a lo largo de la curva preserva el vector tangente a la curva, por lo queMETRO{\displaystyle M}∇{\displaystyle \nabla }γ(t){\displaystyle \gamma (t)}

en cada punto a lo largo de la curva, donde es la derivada con respecto a . Más precisamente, para definir la derivada covariante de es necesario primero extender a un campo vectorial continuamente diferenciable en un conjunto abierto . Sin embargo, el valor resultante de ( 1 ) es independiente de la elección de la extensión.γ˙{\displaystyle {\dot {\gamma }}}t{\displaystyle t}γ˙{\displaystyle {\dot {\gamma }}}γ˙{\displaystyle {\dot {\gamma }}}

Utilizando coordenadas locales en , podemos escribir la ecuación geodésica (usando la convención de sumatoria ) comoMETRO{\displaystyle M}

d2γλdt2+Γμνλdγμdtdγνdt=0 ,{\displaystyle {\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0\ ,}

donde son las coordenadas de la curva y son los símbolos de Christoffel de la conexión . Esta es una ecuación diferencial ordinaria para las coordenadas. Tiene una solución única, dada una posición inicial y una velocidad inicial. Por lo tanto, desde el punto de vista de la mecánica clásica , las geodésicas pueden pensarse como trayectorias de partículas libres en una variedad. De hecho, la ecuación significa que el vector de aceleración de la curva no tiene componentes en la dirección de la superficie (y por lo tanto es perpendicular al plano tangente de la superficie en cada punto de la curva). Así, el movimiento está completamente determinado por la curvatura de la superficie. Esta es también la idea de la relatividad general, donde las partículas se mueven en geodésicas y la curvatura es causada por la gravedad.γμ=incógnitaμ∘γ(t){\displaystyle \gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)}γ(t){\displaystyle \gamma (t)}Γμνλ{\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}∇{\displaystyle \nabla }∇γ˙γ˙=0{\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}

Existencia y singularidad

El teorema de existencia y unicidad local para geodésicas establece que las geodésicas en una variedad diferenciable con una conexión afín existen y son únicas. Más precisamente:

Para cualquier punto p en M y para cualquier vector V en T p M (el espacio tangente a M en p ) existe una geodésica única : I → M tal que γ{\displaystyle \gamma \,} 
γ(0)=p{\displaystyle \gamma (0)=p\,}y
γ˙(0)=V,{\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=V,}
donde I es un intervalo abierto máximo en R que contiene 0.

La demostración de este teorema se deriva de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias , al observar que la ecuación geodésica es una EDO de segundo orden. La existencia y unicidad se deducen entonces del teorema de Picard-Lindelöf para las soluciones de EDO con condiciones iniciales prescritas. γ depende suavemente tanto de p como de V. 

En general, puede que no sea todo R como por ejemplo para un disco abierto en R 2 . Cualquier γ se extiende a todo ℝ si y solo si M es geodésicamente completo .

Flujo geodésico

El flujo geodésico es una acción local R sobre el haz tangente TM de una variedad M definida de la siguiente manera :

Gt(V)=γ˙V(t){\displaystyle G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)}

donde t  ∈ R , V ∈ TM y denota la geodésica con datos iniciales . Por lo tanto, es el mapa exponencial del vector tV . Una órbita cerrada del flujo geodésico corresponde a una geodésica cerrada en M .   γV{\displaystyle \gamma _{V}}γ˙V(0)=V{\displaystyle {\dot {\gamma }}_{V}(0)=V}Gt(V)=exp⁡(tV){\displaystyle G^{t}(V)=\exp(tV)} 

En una variedad (pseudo)riemanniana, el flujo geodésico se identifica con un flujo hamiltoniano en el fibrado cotangente. El hamiltoniano viene dado entonces por la inversa de la métrica (pseudo)riemanniana, evaluada frente a la 1-forma canónica . En particular, el flujo preserva la métrica (pseudo)riemanniana , es decirg{\displaystyle g}

g(Gt(V),Gt(V))=g(V,V).{\displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,}

En particular, cuando V es un vector unitario, la velocidad permanece unitaria en todo momento, por lo que el flujo geodésico es tangente al fibrado tangente unitario . El teorema de Liouville implica la invariancia de una medida cinemática en el fibrado tangente unitario.γV{\displaystyle \gamma _{V}}

Pulverizador geodésico

El flujo geodésico define una familia de curvas en el fibrado tangente . Las derivadas de estas curvas definen un campo vectorial en el espacio total del fibrado tangente, conocido como el rocío geodésico .

Más precisamente, una conexión afín da lugar a una división del fibrado tangente doble TT M en fibrados horizontales y verticales :

TTM=H⊕V.{\displaystyle TTM=H\oplus V.}

El haz de doble tangente puede visualizarse como el espacio de cambios simultáneos tanto del punto base como de la velocidad, sin comprometerse con ningún método para transportar la velocidad a través de los puntos base.

Para cualquier , la fibra vertical está determinada por el mapa de proyección . Consiste en todas las formas de cambiar la velocidad mientras se fija el punto base , y es esencialmente una copia de trasladada de a . La conexión afín selecciona entonces dónde aterrizaría bajo un cambio de punto base mientras se "fija" la velocidad, lo que extiende la fibra horizontal . Por el contrario, dada la división, transportar un vector a lo largo de una trayectoria simplemente significa arrastrar el vector a lo largo del haz horizontal, es decir, elevar la trayectoria dos veces, de en a en a en , con la condición de que .x∈M,v∈TxM{\displaystyle x\in M,\;v\in T_{x}M}V(x,v){\displaystyle V_{(x,v)}}π:TM→M{\displaystyle \pi :TM\to M}v{\displaystyle v}x{\displaystyle x}TxM{\displaystyle T_{x}M}(x,0){\displaystyle (x,0)}(x,v){\displaystyle (x,v)}(x,v){\displaystyle (x,v)}H(x,v){\displaystyle H_{(x,v)}}v{\displaystyle v}γ{\displaystyle \gamma }γ(t){\displaystyle \gamma (t)}M{\displaystyle M}(γ(t),γ˙(t)){\displaystyle (\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))}TM{\displaystyle TM}(γ(t),v(t),a(t)){\displaystyle (\gamma (t),v(t),a(t))}H{\displaystyle H}dπ(γ(t),v,a(t))=(γ(t),γ˙(t)){\displaystyle d\pi (\gamma (t),v,a(t))=(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))}

El rociado geodésico es el único campo vectorial horizontal W que satisface

dπW(x,v)=(x,v){\displaystyle d\pi W_{(x,v)}=(x,v)}

En cada punto , aquí denota el avance (diferencial) a lo largo de la proyección . Intuitivamente, descarta el cambio de velocidad y conserva el cambio al punto base.x∈M,v∈TxM{\displaystyle x\in M,\;v\in T_{x}M}dπ:TTM→TM{\displaystyle d\pi :TTM\to TM}π:TM→M{\displaystyle \pi :TM\to M}dπ{\displaystyle d\pi }

De manera más general, la misma construcción permite construir un campo vectorial para cualquier conexión de Ehresmann en el fibrado tangente. Para que el campo vectorial resultante sea un spray (en el fibrado tangente eliminado T M  \  {0}), basta con que la conexión sea equivariante bajo reescalamientos positivos, es decir, basta con que, si se transporta mediante a , entonces debe transportarse a para cualquier . No es necesario que, si también se transporta a , entonces deba transportarse .w∈TxM{\displaystyle w\in T_{x}M}γ{\displaystyle \gamma }w′∈Tx′M{\displaystyle w'\in T_{x'}M}kw{\displaystyle kw}kw′{\displaystyle kw'}k>0{\displaystyle k>0}u∈TxM{\displaystyle u\in T_{x}M}u′∈Tx′M{\displaystyle u'\in T_{x'}M}w+u{\displaystyle w+u}w′+u′{\displaystyle w'+u'}

Es decir, (cf. Conexión de Ehresmann#Fibrados vectoriales y derivadas covariantes ) es suficiente que la distribución horizontal satisfaga

HλX=d(Sλ)XHX{\displaystyle H_{\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X}\,}

para cada X  ∈  T M  \  {0} y λ  >  0. Aquí d ( S λ ) es el empuje hacia adelante a lo largo de la homotecia escalar Un caso particular de una conexión no lineal que surge de esta manera es la asociada a una variedad de Finsler .Sλ:X↦λX.{\displaystyle S_{\lambda }:X\mapsto \lambda X.}

La equivariancia bajo reescalamientos positivos es necesaria para asegurar que el transporte vectorial esté bien definido a lo largo de trayectorias dirigidas; es decir, dada cualquier parametrización de la curva y cualquier "cambio de tiempo" estrictamente monótonamente creciente , la nueva parametrización sigue produciendo el mismo transporte vectorial. Sin equivariancia bajo reescalamientos positivos, el transporte vectorial a lo largo de una trayectoria dirigida depende de la parametrización específica.γ:I→M{\displaystyle \gamma :I\to M}f:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }γ∘f{\displaystyle \gamma \circ f}

Geodésicas afines y proyectivas

La ecuación ( 1 ) es invariante bajo reparametrizaciones afines; es decir, parametrizaciones de la forma

t↦at+b{\displaystyle t\mapsto at+b}

donde a y b son números reales constantes. Así, además de especificar una cierta clase de curvas incrustadas, la ecuación geodésica también determina una clase preferida de parametrizaciones en cada una de las curvas. En consecuencia, las soluciones de ( 1 ) se denominan geodésicas con parámetro afín .

Una conexión afín está determinada por su familia de geodésicas parametrizadas afínmente, salvo torsión ( Spivak 1999 , Capítulo 6, Apéndice I) . La torsión en sí misma no afecta, de hecho, a la familia de geodésicas, ya que la ecuación geodésica depende solo de la parte simétrica de la conexión. Más precisamente, si hay dos conexiones tales que el tensor de diferencias∇,∇¯{\displaystyle \nabla ,{\bar {\nabla }}}

D(X,Y)=∇XY−∇¯XY{\displaystyle D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y}

es antisimétrico , entonces y tienen las mismas geodésicas, con las mismas parametrizaciones afines. Además, hay una conexión única que tiene las mismas geodésicas que , pero con torsión nula.∇{\displaystyle \nabla }∇¯{\displaystyle {\bar {\nabla }}}∇{\displaystyle \nabla }

Las geodésicas sin una parametrización particular se describen mediante una conexión proyectiva .

Métodos computacionales

Mitchell, [ 3 ] Kimmel, [ 4 ] Crane, [ 5 ] y otros han propuesto solucionadores eficientes para el problema geodésico mínimo en superficies .

Prueba de cinta

La "prueba de la cinta" es una forma de encontrar una geodésica en una superficie física. [ 6 ] La idea es ajustar un trozo de papel alrededor de una línea recta (una cinta) sobre una superficie curva lo más cerca posible sin estirar ni comprimir la cinta (sin cambiar su geometría interna).

Por ejemplo, cuando una cinta se enrolla formando un anillo alrededor de un cono, la cinta no quedaría sobre la superficie del cono, sino que sobresaldría, por lo que ese círculo no sería una geodésica sobre el cono. Si la cinta se ajusta de manera que todas sus partes toquen la superficie del cono, se obtendría una aproximación a una geodésica.

Matemáticamente, la prueba de la cinta se puede formular como encontrar una correspondencia de un vecindario de una línea en un plano en una superficie de tal manera que la correspondencia "no cambie mucho las distancias alrededor"; es decir, a la distancia de tenemos donde y son métricas en y .f:N(ℓ)→S{\displaystyle f:N(\ell )\to S}N{\displaystyle N}ℓ{\displaystyle \ell }S{\displaystyle S}f{\displaystyle f}ℓ{\displaystyle \ell }ε{\displaystyle \varepsilon }l{\displaystyle l}gN−f∗(gS)=O(ε2){\displaystyle g_{N}-f^{*}(g_{S})=O(\varepsilon ^{2})}gN{\displaystyle g_{N}}gS{\displaystyle g_{S}}N{\displaystyle N}S{\displaystyle S}

Ejemplos de aplicaciones

Si bien la idea del camino más corto es de naturaleza geométrica, es tan general que encuentra fácilmente un uso extensivo en casi todas las ciencias, y también en algunas otras disciplinas.

Topología y teoría geométrica de grupos

Probabilidad, estadística y aprendizaje automático

Física

Química

Biología

Ingeniería

Las geodésicas sirven de base para calcular:

Véase también

Notas

  1. ↑ Para dos puntos en una esfera que no son antípodas, hay dos arcos de círculo máximo de longitudes diferentes que los conectan, ambos geodésicos.
  2. 1 2 Para una variedad pseudoriemanniana , por ejemplo, una variedad lorentziana , la definición es más complicada.
  3. ↑ La trayectoria es un máximo local del intervalo k en lugar de un mínimo local.

Referencias

  1. ↑ "geodésico" . Diccionario Lexico de inglés británico . Oxford University Press . Archivado del original el 16 de marzo de 2020.
  2. ↑ "geodésico" . Diccionario Merriam-Webster.com . Merriam-Webster. OCLC 1032680871 . 
  3. ↑ Mitchell, J.; Mount, D.; Papadimitriou, C. (1987). "El problema geodésico discreto" . SIAM Journal on Computing . 16 (4): 647– 668. doi : 10.1137/0216045 .
  4. ↑ Kimmel, R.; Sethian, JA (1998). "Cálculo de trayectorias geodésicas en variedades" (PDF) . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 95 (15): 8431– 8435. Bibcode : 1998PNAS...95.8431K . doi : 10.1073/pnas.95.15.8431 . PMC 21092. PMID 9671694. Archivado (PDF) del original el 09-10-2022 .  
  5. ↑ Crane, K.; Weischedel, C.; Wardetzky, M. (2017). "El método del calor para el cálculo de distancias" . Communications of the ACM . 60 (11): 90– 99. doi : 10.1145/3131280 . S2CID 7078650 . 
  6. ↑ Vsauce (2 de noviembre de 2017). ¿Hacia dónde está abajo? . Recuperado el 26 de marzo de 2025 – vía YouTube.
  7. ↑ Aguilar-Mogas, Antoni; Giménez, Xavier; Bofill, Josep Maria (14 de marzo de 2008). "Finding reaction paths using the potential energy as reaction coordinate". The Journal of Chemical Physics . 128 (10): 104102. doi : 10.1063/1.2834930 . ISSN 0021-9606 . PMID 18345872 .  
  8. ↑ Hait, Diptarka; Estrada Pabón, Jan D.; Stöhr, Martin; Martínez, Todd J. (2025-11-25). "Localización de estados de transición ab initio mediante construcción geodésica en superficies de energía potencial aprendidas por máquina". Journal of Chemical Theory and Computation . 21 (22): 11632– 11644. arXiv : 2507.17968 . doi : 10.1021/acs.jctc.5c01221 . ISSN 1549-9626 . PMID 41190940 .  
  9. ↑ Diepeveen, Willem; Esteve-Yagüe, Carlos; Lellmann, Jan; Öktem, Ozan; Schönlieb, Carola-Bibiane (2024-08-13). "Geometría riemanniana para el análisis eficiente de datos de dinámica de proteínas" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 121 ( 33) e2318951121. doi : 10.1073/pnas.2318951121 . ISSN 1091-6490 . PMC 11331106. PMID 39121160 .   
  10. ↑ Neilson, Peter D.; Neilson, Megan D.; Bye, Robin T. (2015-12-01). "Una teoría de la geometría riemanniana del movimiento humano: la hipótesis de la sinergia geodésica" . Human Movement Science . 44 : 42–72 . doi : 10.1016/j.humov.2015.08.010 . ISSN 0167-9457 . PMID 26302481 .  
  11. ↑ Beshkov, Kosio; Tiesinga, Paul (1 de febrero de 2022). "La distancia basada en geodésicas revela características topológicas no lineales en la actividad neuronal de la corteza visual del ratón" . Cibernética Biológica . 116 (1): 53– 68. doi : 10.1007/s00422-021-00906-5 . ISSN 1432-0770 . PMID 34816322 .  
  12. ↑ Zanotti, Giuseppe; Guerra, Concettina (16 de enero de 2003). "¿Es la tensegridad un concepto unificador de los pliegues de las proteínas?" . FEBS Letters . 534 (1): 7– 10. Bibcode : 2003FEBSL.534....7Z . doi : 10.1016/S0014-5793(02)03853-X . ISSN 0014-5793 . PMID 12527354 .  
  13. ^ Clases, Filiz; Kronenburg, Robert (10 de marzo de 2006). Entornos transportables 3 . Taylor y Francisco. pag. 175.ISBN​  978-1-134-28879-3.
  • Spivak, Michael (1999), Introducción completa a la geometría diferencial (Volumen 2) , Houston, TX: Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-71-3

Lecturas adicionales

  • Geodésica : una introducción a la geodésica, incluyendo dos métodos de derivación de la ecuación de una geodésica con aplicaciones en geometría (geodésica en una esfera y en un toroide ), mecánica ( braquistócrona ) y óptica (haz de luz en un medio no homogéneo).
  • Subvariedad totalmente geodésica. Archivada el 10 de agosto de 2015 en la Wayback Machine del Atlas de Variedades.
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