Variedad subriemanniana

En matemáticas , una variedad subriemanniana es un tipo particular de generalización de una variedad riemanniana . En términos generales, para medir distancias en una variedad subriemanniana, solo se permite recorrer curvas tangentes a los llamados subespacios horizontales .

Las variedades subriemannianas (y, por consiguiente , las variedades riemannianas) poseen una métrica intrínseca natural denominada métrica de Carnot-Carathéodory . La dimensión de Hausdorff de estos espacios métricos es siempre un número entero y mayor que su dimensión topológica (a menos que se trate de una variedad riemanniana).

Las variedades subriemannianas suelen aparecer en el estudio de sistemas restringidos en mecánica clásica , como el movimiento de vehículos sobre una superficie, el movimiento de brazos robóticos y la dinámica orbital de satélites. Cantidades geométricas como la fase de Berry pueden entenderse en el lenguaje de la geometría subriemanniana. El grupo de Heisenberg , importante para la mecánica cuántica , posee una estructura subriemanniana natural.

Mediante una distribución en${\displaystyle M}$nos referimos a un subfibrado del fibrado tangente de${\displaystyle M}$(véase también distribución ).

Dada una distribución${\displaystyle H(M)\subset T(M)}$un campo vectorial en${\displaystyle H(M)}$se llama horizontal . Una curva${\displaystyle \gamma }$en${\displaystyle M}$se llama horizontal si${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)\in H_{\gamma (t)}(M)}$para cualquier ${\displaystyle t}$.

Una distribución${\displaystyle H(M)}$se denomina completamente no integrable o generador de corchetes si para cualquier${\displaystyle x\in M}$Tenemos que cualquier vector tangente puede representarse como una combinación lineal de corchetes de Lie de campos horizontales, es decir, vectores de la forma$${\displaystyle A(x),\ [A,B](x),\ [A,[B,C]](x),\ [A,[B,[C,D]]](x),\dotsc \in T_{x}(M)}$$donde todos los campos vectoriales${\displaystyle A,B,C,D,\dots }$son horizontales. Este requisito también se conoce como la condición de Hörmander .

Una variedad subriemanniana es una triple${\displaystyle (M,H,g)}$, dónde${\displaystyle M}$es una variedad diferenciable ,${\displaystyle H}$es una distribución "horizontal" completamente no integrable y${\displaystyle g}$es una sección suave de formas cuadráticas definidas positivas en${\displaystyle H}$.

Cualquier variedad subriemanniana (conectada) posee una métrica intrínseca natural , llamada métrica de Carnot-Carathéodory, definida como

${\displaystyle d(x,y)=\inf \int _{0}^{1}{\sqrt {g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt,}$

donde el ínfimo se toma a lo largo de todas las curvas horizontales${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to M} tal que${\displaystyle \gamma (0)=x}$,${\displaystyle \gamma (1)=y}$Las curvas horizontales pueden ser continuas de Lipschitz , absolutamente continuas o estar en el espacio de Sobolev.${\displaystyle H^{1}([0,1],M)}$produciendo la misma métrica en todos los casos.

El hecho de que la distancia entre dos puntos sea siempre finita (es decir, que dos puntos cualesquiera estén conectados por una curva horizontal) es una consecuencia de la condición de Hörmander conocida como teorema de Chow-Rashevskii .

La posición de un automóvil en el plano está determinada por tres parámetros: dos coordenadas${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$para la ubicación y un ángulo${\displaystyle \alpha }$que describe la orientación del automóvil. Por lo tanto, la posición del automóvil se puede describir mediante un punto en un colector.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{1}.}$

Cabe preguntarse: ¿cuál es la distancia mínima que se debe recorrer para ir de una posición a otra? Esto define una métrica de Carnot-Carathéodory en la variedad.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{1}.}$

Un ejemplo estrechamente relacionado de una métrica subriemanniana se puede construir en un grupo de Heisenberg : tomemos dos elementos.${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$en el álgebra de Lie correspondiente tal que

${\displaystyle \{\alpha ,\beta ,[\alpha ,\beta ]\}}$

abarca todo el álgebra. La distribución${\displaystyle H}$abarcado por desplazamientos a la izquierda de${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$es completamente no integrable . Entonces, eligiendo cualquier forma cuadrática positiva suave en${\displaystyle H}$proporciona una métrica subriemanniana en el grupo.

Para cada variedad subriemanniana, existe un hamiltoniano , denominado hamiltoniano subriemanniano , construido a partir de la métrica de dicha variedad. Recíprocamente, todo hamiltoniano cuadrático de este tipo induce una variedad subriemanniana.

Las soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi correspondientes para el hamiltoniano subriemanniano se denominan geodésicas y generalizan las geodésicas riemannianas .

• Grupo de Carnot , una clase de grupos de Lie que forman variedades subriemannianas.
• Distribución
• La condición de Hörmander
• Control óptimo

• Agrachev, Andrei; Barilari, Davide; Boscain, Ugo, eds. (2019), Introducción integral a la geometría subriemanniana (PDF) , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, doi : 10.1017/9781108677325 , ISBN 9781108677325
• Bellaïche, André; Risler, Jean-Jacques, eds. (1996), Geometría subriemanniana , Progreso en Matemáticas, vol.  144, Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5476-3, MR 1421821 
• Gromov, Mikhael (1996), "Espacios de Carnot-Carathéodory vistos desde dentro", en Bellaïche, André; Risler, Jean-Jacques (eds.), Geometría subriemanniana (PDF) , Progr. Math., vol.  144, Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, pp. 79–323 , ISBN  3-7643-5476-3MR 1421823 , archivado del original (PDF) el 9 de julio de 2015 . 
• Le Donne, Enrico, Apuntes de clase sobre geometría subriemanniana (PDF)
• Montgomery, Richard (2002), Un recorrido por las geometrías subriemannianas, sus geodésicas y aplicaciones , Mathematical Surveys and Monographs, vol.  91, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9