Gráfico cuántico

En matemáticas y física , un grafo cuántico es una estructura lineal en forma de red formada por vértices conectados por aristas (es decir, un grafo ) en la que a cada arista se le asigna una longitud y se plantea una ecuación diferencial (o pseudodiferencial) en cada una de ellas. Un ejemplo sería una red eléctrica compuesta por líneas de alta tensión (aristas) conectadas en subestaciones transformadoras (vértices); las ecuaciones diferenciales describirían entonces la tensión a lo largo de cada línea, con condiciones de contorno para cada arista en los vértices adyacentes que garantizan que la corriente sumada a través de todas las aristas sea igual a cero en cada vértice.

Linus Pauling estudió por primera vez los grafos cuánticos como modelos de electrones libres en moléculas orgánicas en la década de 1930. También aparecen en diversos contextos matemáticos, ^{[ 1 ]} por ejemplo, como sistemas modelo en el caos cuántico , en el estudio de guías de onda , en cristales fotónicos y en la localización de Anderson , o como un límite en la contracción de cables delgados. Los grafos cuánticos se han convertido en modelos prominentes en la física mesoscópica, utilizados para obtener una comprensión teórica de la nanotecnología . Freedman et al. ^{[ 2 ]} introdujeron otra noción más simple de grafos cuánticos.

Además de resolver las ecuaciones diferenciales planteadas en un grafo cuántico para aplicaciones concretas, las preguntas típicas que surgen son las de controlabilidad (qué entradas deben proporcionarse para llevar el sistema a un estado deseado, por ejemplo, proporcionar energía suficiente a todas las casas en una red eléctrica) e identificabilidad (cómo y dónde se debe medir algo para obtener una imagen completa del estado del sistema, por ejemplo, medir la presión de una red de tuberías de agua para determinar si hay o no una fuga).

Un gráfico métrico es un gráfico que consta de un conjunto${\displaystyle V}$de vértices y un conjunto${\displaystyle E}$de bordes donde cada borde${\ Displaystyle e = (v_ {1}, v_ {2}) \ en E}$se ha asociado con un intervalo${\displaystyle [0,L_{e}]}$de modo que${\displaystyle x_{e}}$es la coordenada en el intervalo, el vértice${\displaystyle v_{1}}$corresponde a${\displaystyle x_{e}=0}$y ${\displaystyle v_{2}}$a${\displaystyle x_{e}=L_{e}}$o viceversa. La elección del vértice que se encuentra en cero es arbitraria, correspondiendo la alternativa a un cambio de coordenadas en la arista. El grafo tiene una métrica natural: para dos puntos${\displaystyle x,y}$en el gráfico,${\displaystyle \rho (x,y)}$es la distancia más corta entre ellos donde la distancia se mide a lo largo de los bordes del gráfico.

Grafos abiertos: en el modelo de grafo combinatorio, las aristas siempre unen pares de vértices; sin embargo, en un grafo cuántico también se pueden considerar aristas semiinfinitas. Estas son aristas asociadas con el intervalo ${\displaystyle [0,\infty )}$unido a un único vértice en${\displaystyle x_{e}=0}$Un grafo con una o más aristas abiertas de este tipo se denomina grafo abierto.

Los grafos cuánticos son grafos métricos equipados con un operador diferencial (o pseudodiferencial ) que actúa sobre funciones en el grafo. Una función${\displaystyle f}$en un gráfico métrico se define como el${\displaystyle |E|}$-tupla de funciones ${\displaystyle f_{e}(x_{e})}$en los intervalos. El espacio de Hilbert del grafo es${\displaystyle \bigoplus _ {e\in E}L^{2}([0,L_{e}])}$ donde el producto interno de dos funciones es

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\sum _{e\in E}\int _{0}^{L_{e}}f_{e}^{*}(x_{e})g_{e}(x_{e})\,dx_{e},}$

${\displaystyle L_{e}}$puede ser infinito en el caso de una arista abierta. El ejemplo más simple de un operador en un grafo métrico es el operador de Laplace . El operador en una arista es${\displaystyle -{\frac {{\textrm {d}}^{2}}{{\textrm {d}}x_{e}^{2}}}}$dónde${\displaystyle x_{e}}$es la coordenada en el borde. Para que el operador sea autoadjunto, se debe especificar un dominio adecuado. Esto se logra típicamente tomando el espacio de Sobolev.${\displaystyle H^{2}}$de funciones en las aristas del grafo y especificando condiciones de coincidencia en los vértices.

El ejemplo trivial de condiciones de coincidencia que hacen que el operador sea autoadjunto son las condiciones de contorno de Dirichlet ,${\displaystyle f_{e}(0)=f_{e}(L_{e})=0}$para cada arista. Una autofunción en una arista finita se puede escribir como

${\displaystyle f_{e}(x_{e})=\sin \left({\frac {n\pi x_{e}}{L_{e}}}\right)}$

para entero${\displaystyle n}$Si el grafo es cerrado sin aristas infinitas y las longitudes de las aristas del grafo son racionalmente independientes, entonces una autofunción está soportada en una sola arista del grafo y los autovalores son${\displaystyle {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L_{e}^{2}}}}$Las condiciones de Dirichlet no permiten la interacción entre los intervalos, por lo que el espectro es el mismo que el del conjunto de aristas desconectadas.

Las condiciones de emparejamiento autoadjunto más interesantes que permiten la interacción entre aristas son las condiciones de emparejamiento de Neumann o naturales. Una función${\displaystyle f}$en el dominio del operador es continuo en todas partes del gráfico y la suma de las derivadas salientes en un vértice es cero,

${\displaystyle \sum _{e\sim v}f'(v)=0\ ,}$

dónde${\displaystyle f'(v)=f'(0)}$si el vértice${\displaystyle v}$está en${\displaystyle x=0}$y${\displaystyle f'(v)=-f'(L_{e})}$si${\displaystyle v}$está en${\displaystyle x=L_{e}}$.

También se han estudiado las propiedades de otros operadores en grafos métricos.

• Estos incluyen la clase más general de operadores de Schrödinger,$${\displaystyle \left(i{\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x_{e}}}+A_{e}(x_{e})\right)^{2}+V_{e}(x_{e})\ ,}$$dónde${\displaystyle A_{e}}$es un " potencial vectorial magnético " en el borde y${\displaystyle V_{e}}$es un potencial escalar .
• Otro ejemplo es el operador de Dirac en un gráfico, que es un operador con valores matriciales que actúa sobre funciones con valores vectoriales que describen la mecánica cuántica de partículas con un momento angular intrínseco de un medio, como el electrón .
• El operador de Dirichlet a Neumann en un grafo es un operador pseudodiferencial que surge en el estudio de los cristales fotónicos .

Todas las condiciones de emparejamiento autoadjunto del operador de Laplace en un grafo pueden clasificarse según un esquema de Kostrykin y Schrader. En la práctica, suele ser más conveniente adoptar un formalismo introducido por Kuchment, ^{[ 3 ]} que genera automáticamente un operador en forma variacional.

Dejar${\displaystyle v}$ser un vértice con${\displaystyle d}$bordes que emanan de él. Para simplificar, elegimos las coordenadas en los bordes de modo que${\displaystyle v}$se encuentra en${\displaystyle x_{e}=0}$para cada reunión de borde en${\displaystyle v}$. Para una función${\displaystyle f}$en el gráfico dejemos

${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{e_{1}}(0),f_{e_{2}}(0),\dots ,f_{e_{d}}(0))^{T},\qquad \mathbf {f} '=(f'_{e_{1}}(0),f'_{e_{2}}(0),\dots ,f'_{e_{d}}(0))^{T}.}$

Condiciones coincidentes en${\displaystyle v}$puede especificarse mediante un par de matrices ${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$a través de la ecuación lineal ,

${\displaystyle A\mathbf {f} +B\mathbf {f} '=\mathbf {0} .}$

Las condiciones de coincidencia definen un operador autoadjunto si ${\displaystyle (A,B)}$tiene el rango máximo${\displaystyle d}$y${\displaystyle AB^{*}=BA^{*}.}$

El espectro del operador de Laplace en un grafo finito se puede describir convenientemente utilizando un enfoque de matriz de dispersión introducido por Kottos y Smilansky. ^{[ 4 ] [ 5 ]} El problema de valores propios en una arista es:

${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dx_{e}^{2}}}f_{e}(x_{e})=k^{2}f_{e}(x_{e}).\,}$

Así pues, una solución en el borde puede escribirse como una combinación lineal de ondas planas .

${\displaystyle f_{e}(x_{e})=c_{e}{\textrm {e}}^{ikx_{e}}+{\hat {c}}_{e}{\textrm {e}}^{-ikx_{e}}.\,}$

donde en una ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo${\displaystyle c}$es el coeficiente de la onda plana saliente en${\displaystyle 0}$y${\displaystyle {\hat {c}}}$coeficiente de la onda plana incidente en${\displaystyle 0}$. Las condiciones coincidentes en${\displaystyle v}$definir una matriz de dispersión

${\displaystyle S(k)=-(A+ikB)^{-1}(A-ikB).\,}$

La matriz de dispersión relaciona los vectores de coeficientes de onda plana entrantes y salientes en${\displaystyle v}$,${\displaystyle \mathbf {c} =S(k){\hat {\mathbf {c} }}}$. Para condiciones de coincidencia autoadjunta${\displaystyle S}$es unitario. Un elemento de ${\displaystyle \sigma _{(uv)(vw)}}$de${\displaystyle S}$es una amplitud de transición compleja desde un borde dirigido${\displaystyle (uv)}$ hasta el borde${\displaystyle (vw)}$que en general depende de${\displaystyle k}$Sin embargo, para una gran clase de condiciones de coincidencia, la matriz S es independiente de${\displaystyle k}$Por ejemplo, con las condiciones de adaptación de Neumann.

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{ccccc}1&-1&0&0&\dots \\0&1&-1&0&\dots \\&&\ddots &\ddots &\\0&\dots &0&1&-1\\0&\dots &0&0&0\\\end{array}}\right),\quad B=\left({\begin{array}{cccc}0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\dots &0\\1&1&\dots &1\\\end{array}}\right).}$

Sustituyendo en la ecuación para${\displaystyle S}$ produce${\displaystyle k}$amplitudes de transición independientes

${\displaystyle \sigma _{(uv)(vw)}={\frac {2}{d}}-\delta _{uw}.\,}$

dónde${\displaystyle \delta _{uw}}$es la función delta de Kronecker que es una si${\displaystyle u=w}$y cero en caso contrario. A partir de las amplitudes de transición podemos definir una ${\displaystyle 2|E|\times 2|E|}$matriz

${\displaystyle U_{(uv)(lm)}(k)=\delta _{vl}\sigma _{(uv)(vm)}(k){\textrm {e}}^{ikL_{(uv)}}.\,}$

${\displaystyle U}$se denomina matriz de dispersión de enlace y puede considerarse como un operador de evolución cuántica en el gráfico. Es unitario y actúa sobre el vector de${\displaystyle 2|E|}$coeficientes de onda plana para el gráfico donde${\displaystyle c_{(uv)}}$es el coeficiente de la onda plana que viaja desde${\displaystyle u}$a${\displaystyle v}$. La fase${\displaystyle {\textrm {e}}^{ikL_{(uv)}}}$es la fase adquirida por la onda plana al propagarse desde el vértice${\displaystyle u}$al vértice${\displaystyle v}$.

Condición de cuantización: Una autofunción en el gráfico se puede definir a través de su asociada${\displaystyle 2|E|}$coeficientes de onda plana. Como la autofunción es estacionaria bajo la evolución cuántica, se puede escribir una condición de cuantización para el gráfico utilizando el operador de evolución.

${\displaystyle |U(k)-I|=0.\,}$

valores propios${\displaystyle k_{j}}$ocurren en valores de${\displaystyle k}$donde la matriz${\displaystyle U(k)}$tiene un valor propio uno. Ordenaremos el espectro con ${\displaystyle 0\leqslant k_{0}\leqslant k_{1}\leqslant \dots }$.

La primera fórmula de traza para un grafo fue derivada por Roth (1983). En 1997, Kottos y Smilansky utilizaron la condición de cuantización anterior para obtener la siguiente fórmula de traza para el operador de Laplace en un grafo cuando las amplitudes de transición son independientes de${\displaystyle k}$La fórmula de traza relaciona el espectro con las órbitas periódicas en el gráfico.

${\displaystyle d(k):=\sum _{j=0}^{\infty }\delta (k-k_{j})={\frac {L}{\pi }}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{p}{\frac {L_{p}}{r_{p}}}A_{p}\cos(kL_{p}).}$

${\displaystyle d(k)}$Se denomina densidad de estados. El lado derecho de la fórmula de la traza se compone de dos términos, el término de Weyl.${\displaystyle {\frac {L}{\pi }}}$ es la separación media de los valores propios y la parte oscilante es una suma sobre todas las órbitas periódicas${\displaystyle p=(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})}$en el gráfico. ${\displaystyle L_{p}=\sum _{e\in p}L_{e}}$es la longitud de la órbita y ${\displaystyle L=\sum _{e\in E}L_{e}}$es la longitud total del gráfico. Para una órbita generada al repetir una órbita primitiva más corta,${\displaystyle r_{p}}$cuenta el número de reparticiones. ${\displaystyle A_{p}=\sigma _{e_{1}e_{2}}\sigma _{e_{2}e_{3}}\dots \sigma _{e_{n}e_{1}}}$es el producto de las amplitudes de transición en los vértices del gráfico alrededor de la órbita.

Los grafos cuánticos se emplearon por primera vez en la década de 1930 para modelar el espectro de electrones libres en moléculas orgánicas como el naftaleno . Como primera aproximación, se considera que los átomos son vértices, mientras que los electrones σ forman enlaces que fijan una estructura con la forma de la molécula en la que se confinan los electrones libres.

Un problema similar surge al considerar las guías de onda cuánticas. Se trata de sistemas mesoscópicos, es decir, sistemas con un ancho del orden de los nanómetros. Una guía de onda cuántica puede imaginarse como un grafo ensanchado cuyos bordes son tubos delgados. El espectro del operador de Laplace en este dominio converge al espectro del operador de Laplace en el grafo bajo ciertas condiciones. La comprensión de los sistemas mesoscópicos desempeña un papel fundamental en el campo de la nanotecnología .

En 1997 ^{[ 6 ]} Kottos y Smilansky propusieron los grafos cuánticos como un modelo para estudiar el caos cuántico , la mecánica cuántica de sistemas que son clásicamente caóticos. El movimiento clásico en el grafo se puede definir como una cadena de Markov probabilística donde la probabilidad de dispersión desde el borde${\displaystyle e}$borde${\displaystyle f}$viene dado por el valor absoluto de la amplitud de transición cuántica al cuadrado,${\displaystyle |\sigma _{ef}|^{2}}$Para casi todos los grafos cuánticos conectados finitos, la dinámica probabilística es ergódica y mixta, en otras palabras, caótica.

Los gráficos cuánticos integrados en dos o tres dimensiones aparecen en el estudio de los cristales fotónicos . ^{[ 7 ]} En dos dimensiones, un modelo simple de un cristal fotónico consiste en celdas poligonales de un dieléctrico denso con interfaces estrechas entre las celdas llenas de aire. El estudio de los modos dieléctricos que permanecen mayoritariamente dentro del dieléctrico da lugar a un operador pseudodiferencial en el gráfico que sigue las interfaces estrechas.

Los gráficos cuánticos periódicos como la red en${\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}}$Son modelos comunes de sistemas periódicos y los gráficos cuánticos se han aplicado al estudio de los fenómenos de localización de Anderson, donde los estados localizados ocurren en el borde de las bandas espectrales en presencia de desorden.

• La escalera de Schild , una novela que trata sobre una teoría cuántica de grafos ficticia.
• Diagrama de Feynman